Die historische Erforschung der Zahlen

Sculpteur · Beitrag von **Sculpteur** » 05.01.2024 12:11

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Die historische Erforschung der Zahlen / Besondere Zahlen (1): Die Fibonacci-Zahlen
Mit den Eigenschaften von Zahlen setzt sich der Mensch seit der frühen Entwicklung der Mathematik und der Erfindung des Zählens auseinander. Schon die alten Mesopotamier und alten Ägyptern verfügten über ein umfangreiches mathematisches Wissen [FIL1].
Bereits die alten Griechen verfügten über ausführlicherere Erkenntnisse über Zahlen und deren Eigenschaften und setzen diese Erkenntnisse in universelle logische Schlussfolgerungen um. Damit etablierten u.A. die alten Griechen eine umfassendere Logik, die bis heute hilft, sich z.B. mathematischen Fragestellungen anzunähern [FIL1].
Ein Forschender, der die Möglichkeiten der logischen Analyse mit einer dezidierten Naturbeobachtung verband, war der italienische Mathematiker Leonardo Fibonacci (Leonardo von Pisa, vermutlich 1180-1250) [Reiss, 2005,45-46].

[ZITAT]:
Benannt ist die Folge nach Leonardo Fibonacci, der damit im Jahr 1202 das Wachstum einer Kaninchenpopulation beschrieb. Die Folge war aber schon in der Antike sowohl den Griechen als auch den Indern bekannt.
Weitere Untersuchungen zeigten, dass die Fibonacci-Folge auch noch zahlreiche andere Wachstumsvorgänge in der Natur beschreibt. Es scheint, als sei sie eine Art Wachstumsmuster in der Natur.
[ZITAT ENDE] [gWiki1]

Mit den sog. Fibonacci-Zahlen ist heute üblicherweise eine besondere Zahlenreihe (ℕ = natürliche Zahlen) benannt, die entsteht, wenn folgende Rechenoperation stetig wiederholt wird: Ausgangsbasis der verketteten Rechenoperation ist die erste Summierung der beiden Grundglieder mit dem gleichen Zahlenwert 1 und 1. Dabei lautet die Folge-Rechenregel, jeweils das nächste sich ergebende Glied als Zahlenwert mit dem vorherigen wieder zu einer neuen (nachfolgenden) Summe zu summieren. So entsteht schließlich die Reihe der Fibonacci-Zahlen:

1 + 1 = 2
1 + 2 = 3
2 + 3 = 5
3 + 5 = 8
5 + 8 = 13
8 + 13 = 21
usw. usf.

Die Fibonacci-Folge in ℕ lautet demnach:
F(1 ... ∞) ∈ ℕ = {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 ...}

Bei den Fibonacci-Zahlen handelt es sich also um eine in rekursiver Hinsicht "duale" Zahlenreihenentwicklung (zwei Elemente werden durch Addition jeweils zum Glied summiert).

Fibonacci-Zahlen sind u.A. für Künstler, Kunsthandwerker, Handwerker und Gestalter u.a.; aber auch für die Experimentalarchäologie und Kunsthistorik interessant: die Auseinandersetzung mit den Fibonacci-Zahlen liefert handfeste und einfach umzusetzende "Rezepturen" für die angewandte Gestaltungspraxis. Hervorzuheben ist dabei die gemeinhin bekannte sehr starke Nähe der Fibonacci-Zahlenreihen zum Prinzip des sog. Goldenen Schnitts. Damit ist eine Auseinandersetzung mit den Fibonacci-Zahlen stets dann interessant, wenn gestalterische Produkte der Vergangenheit beforscht und im Hinblick auf angewendete Gestaltungspraxis untersucht werden. Dies weil davon auszugehen ist, dass Künstler, Kunsthandwerker, Handwerker und Gestalter (u.a.) bestimmter Epochen nicht in jedem Fall zu z.B. Zirkel und Reichtscheit (bzw. Lineal) o.ä. griffen um etwa Proportionen in Anlehnung an den Goldenen Schnitt zu gestalten (sofern ableitbare gestaltete Proportionen die dem Goldenen Schnitt nahekamen, keine intuitiven, erfahrungsbasierten oder zufälligen Produkte waren; wie dies etwa beim freihändigen Zeichnen der Fall sein kann). Vielmehr ist naheliegender davon auszugehen, dass sich die gestaltenden bzw. mit gestalterischen Fragestellungen sich auseinandersetzenden Menschen der Vergangenheit für die konstruierende Erzeugung von Proportionen vielfach einfacher Näherungsformeln (als "Faustformeln") bedienten, womit die Fibonacci-Zahlen sehr interessant in dieser Hinsicht werden: um den Goldenen Schnitt (in zahlreichen Variationen) - z.B. für den Entwurf und die Herstellung etwa einer Bildfläche oder eines Möbelstücks (um nur zwei von vielen möglichen Beispielen zu nennen) - zu konstruieren und zu nutzen, genügt es, sich zweier direkt aufeinanderfolgenden Zahlen der Fibonacci-Zahlenreihe zu bedienen (Ausnahme sind hierbei die zweite und die dritte Fibonacci-Zahl mit 1 und 2. Durch die Duale Kombination zweier (spezifischer) direkt aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen (als Näherungs-Faustformel für den Goldenen Schnitt) ist eine Nähe zum Prinzip des Goldenen Schnitts -mit Ausnahmen- automatisch gegeben, z.B. für:
(gerundete Werte)
34 : 21 = 1,61904762 : 1 und 21 : 34 = 0,617647059 : 1
21 : 13 = 1,61538462 : 1 und 13 : 21 = 0,619047619 : 1
13 : 8 = 1,625 : 1 und 8 : 13 = 0,615384615 : 1
8 : 5 = 1,6 : 1 und 5 : 8 = 0,625 : 1
5 : 3 = 1,66(periode)* : 1 und 3 : 5 = 0,6 : 1

Die Proportion 5 : 3 lässt sich dabei unter Verwendung des sog. pythagoreischen Tripels 3 : 4 : 5 auf einfache Art und Weise vermessungstechnisch erzeugen. Nach heutiger gängiger Meinung weist die Chepren-Pyramide auf dem Plateau von Giseh diese Proportion auf [FIL1]. Hervorzuheben in Bezug auf dieses Thema ist auch die noch heute anhaltende Diskussion darüber, ob die alten Ägypter tasächlich die sog. 12-Knotenschnur als Vermessungswerkzeug (und damit auch als potenzielles Gestaltungswerkzeug) nutzten [siehe [FIL1]. Bei der Proportion 5 : 3 greift das (eindeutige) Prinzip Nähe zum (rechnerischen) Prinzip des Goldenen Schnitts als Approximation allerdings nicht mehr stark. Allerdings kann die Proportion 1,66(periode) : 1 und 0,6 : 1 mit der Proportion ~1,618 : 1 und 1 : ~0,618 (je nach Ausführung) durchaus verwechselt werden, bzw. als gestalterisch - je nach Anwendungsbereich und Ausführung - recht guter Ersatz für den Goldenen Schnitt bzw. als (sehr grobe) algebraische Aproxximation für den Goldenen Schnitt funktionieren: wird z.B. die Füllung für die Schwenktür eines Möbelstücks aus Eichenholz in der Proportion 5 : 3 gestaltet, ist es für den (durchschnittlichen) Betrachter wohl eher unerheblich, ob die zugrundeliegende Proportion für die Gestaltung der Füllung mit ~1,61 : 1 oder mit 1,66 : 1 konzipiert wurde. Der prozentuale Unterschied zwischen den beiden messtechnischen Annäherungen an das rechnerische Proportionsverhältnis des Goldenen Schnitts beträgt gerade einmal [1,61 : (1,66 : 100)]% = 96,98% bei rechnerischer Ansetzung des größeren Zahlenwerts für 100% und [1,66 : (1,61 : 100)]% = 103,10% bei rechnerischer Ansetzung des kleineren Zahlenwerts für 100%. Messtechnisch - und auch optisch - fallen solche Unterschiede bei kleineren gestalteten Objekten so gut wie gar nicht ins Gewicht, insbesondere wenn z.B. für die Holzverarbeitung zusätzlich beachtet werden muss, dass entsprechende Zugaben (Messtoleranzen) notwendig mit einkalkuliert werden müssen, weil Holz - je nach Sorte - mehr oder weniger stark arbeitet und z.B. auf Umgebungsluftfeuchte reagiert (siehe Schwundmaß bei Hölzern). Diese bei der Holzverarbeitung notwendig mit einzukalkulierenden Toleranzen bedingen auch gleichermaßen bestimmte handwerkliche und kunsthandwerkliche Vorgehensweisen bei der Gestaltung und Verarbeitung von Holzprodukten. Gleiches gilt dabei i.d.R. (je nach Papier- und Pappart und deren Zustand) sogar wesentlich stärker für Papier und Pappe und damit auch z.B. für die proportionstechnische Analyse historischer Kunstwerke aus Holz, Papier (und Pappe) und auf Holz, Papier und Pappe aufgebrachte historische Kunstwerke (siehe z.B. historische Kupferstiche oder Holzdrucke). Messergebnisse von wenigen Millimetern Unterschied können (und sollten) deshalb für die Analyse solcher historischer Kunstwerke und Objekte gar nicht erst ins Gewicht fallen um zu eindeutigen Schlussfolgerungen über den proportionstechnischen Aufbau eines Kunstwerks zu gelangen.
Das Proportionsverhältnis des Goldenen Schnitts ist von siener Entstehung her mit a/b = a+b/a oder a/a+b = b/a beschrieben (siehe [gWiki8]). Das rechnerische (hier gerundete) Proportionsverhältnis das auch in der Mathematik "Goldener Schnitt" genannt wird und gemeinhin mit dem Formelzeichen "Phi" bezeichnet wird und die Proportionen
~1,6180339887 : 1 bzw. ~0,6180339887 : 1 erzeugt, ist mit der Formelstellung [1 : (sqrt(5)] : 1 bzw. 1 : [1 : (sqrt(5)] anzusetzen (sqrt = international übliche textuelle Abkürzung für "Quadratwurzel", also für das spezifische Wurzelzeichen.) . Eine z.B. zeichnerisch-konstruierende Annäherung des Prinzips des Goldenen Schnitts mit seiner Affinität auch z.B. zu Naturformen lässt sich z.B. mit Zirkel und Richtscheit bzw. Lineal auf verschiedene Arten und Weisen erzeugen (siehe z.B. [gWiki8]).

[ZITAT]:
Der Goldene Schnitt (lateinisch sectio aurea „Goldener Schnitt“, proportio divina „göttliche Proportion“), gelegentlich auch stetige Teilung einer Strecke, bezeichnet ihre Zerlegung in zwei Teilstrecken in der Weise, dass sich die längere Teilstrecke zur kürzeren Teilstrecke verhält wie die Gesamtstrecke zur längeren Teilstrecke. Das Konzept ist bereits seit der Antike zur Zeit des Euklid bekannt. Der Goldene Schnitt findet häufige Anwendung in der Kunst, taucht aber auch in der Natur auf.
[ZITAT ENDE] [gWiki8]

[ZITAT]:
Der Goldene Schnitt tritt seit der Antike in vielen Bereichen der Geometrie, Architektur, Musik, Kunst sowie der Philosophie auf, aber er erscheint auch in neueren Gebieten der Technik und der Fraktale.
[ZITAT ENDE] [Walser, 1996,Vorwort]

Das mathematische Prinzip des Goldenen Schnitts messtechnisch übertrieben exakt auf z.B. einzumessende zu gestaltende Objekte zu übertragen ist technisch selten nur bis zu einem bestimmten Grad möglich und in den allermeisten Fällen auch gar nicht sinnvoll (Ausnahmen bestätigen die Regel). Die Einhaltung einer einzigen Nachkommastelle des mathematisch exakten Proportionsverhältnisses des Goldenen Schnitts in der Ausführung z.B. einer kunsthandwerklichen Holzarbeit ist - je nach Größe und Ausführung - bereits eine Herausforderung. Um so unsinniger erscheint es etwa, wenn sog. Pyramidologen und Alternativtheoretiker selbst heute noch versuchen, mit übertriebenem Eifer Exaktheiten die sich angeblich z.B. aus den Proportionen der Pyramiden von Giseh (Ägypten) und anderen historischen Bauwerken weltweit (angeblich) ablesen lassen, als Argumente für den Nachweis der (angeblichen) Anwendung des Goldenen Schnitts auf z.B. historische Bauwerke anführen, sich dabei jedoch häufig genug in Zahlenspielerein verlieren (siehe z.B. [FIL1]).
In puncto für die Proportionsforschung anzusetzenden Toleranzen gilt gleiches sogar in verstärktem Maße für größere und sehr große Objekte wie etwa Bauwerke und Monumentalbauwerke: z.B. bei Gestaltung und Herstellung eines Bauwerks wie einer Orgel kann zwar gestalterisch (konstruierend zeichnerisch) mit dem Prinzip des Goldenen Schnitts gearbeitet werden - das jedoch bereits beim zeichnerischen Entwurf nur ungefähr und niemals rechnerisch exakt umgesetzt werden kann - und auch bei der anschließenden Herstellung und dem Aufbau z.B. einer Orgel sind sehr viele zusätzliche Toleranzen und sich aufsummierende Messfehler mit zu beachten, weil z.B. für den Bau einer Orgel sehr viele verschiedene Komponenten miteinander verbaut werden (um nur eins von sehr vielen möglichen Beispielen zu nennen).
Das Prinzip des Goldenen Schnitts ist also ein z.B. zur Zeit der Renaissance (in Rückbesinnung auf die Antike) zum Ideal erhobenes proportionstechnisches Prinzip, das in der realistischen alltäglichen Anwendung jedoch rasch seine pragmatischen Grenzen findet. Gleichzeitig ist diese gestalterische Unwägbarkeit jedoch ein gewichtiges Argument für die naheliegende Verwendung von Faustformeln für die (konstruierte) Erzeugung von Proportionen durch Künstler, Kunsthandwerker, Handwerker und Gestalter (u.a.) in der Geschichte des Gestaltens.
Näherungswerte für das proportionstechnische Anlegen des Goldenen Schnitts reichen für eine angewandte Gestaltungspraxis (z.B. messtechnisch, je nach Vorhaben) völlig aus, weil sich feinere Nachkommastellen bei der Ermittlung des originalen Proportionsverhältnisses des Goldenen Schnitts in konkreter Gestaltungspraxis (z.B. bei handwerklich-gestalterischen Entwürfen) ohnehin nicht umsetzen lassen und eine solche Umsetzung auch nicht sinnvoll ist. Deshalb ist es auch naheliegend anzunehmen, dass die Proportion des Goldenen Schnitts mit der Proportion 5 : 3 (1,66p : 1 bzw. 0,6 : 1 - je nach Exaktheit der Ausführung einer Gestaltung) durchaus verwechselt werden kann.
Wie übertrieben (und damit unangebracht) dabei im Hinblick auf die potenzielle Anwendung des Prinzips des Goldenen Schnitts stellenweise interpretiert wird (bzw. in der Geschichte interpretiert wurde) zeigt etwa der Versuch, durch Einzeichnen spezieller geometrischer Muster dem Nachweis dafür liefern zu wollen, dass z.B. ein bestimmtes Kunstwerk nach dem Prinzip des Goldenen Schnitts konzipiert sei: solches Unterfangen ist stellenweise - nicht jedoch generell - fehlgeleitete Forschung: ein Beispiel hierfür ist etwa der Versuch, eine sog. Fibonacci-Spirale in das Gemälde Mona Lisa von Leonardo da Vinci hinein zu konstruieren um dies als Argument dafür zu verwenden, die Mona Lisa sei als Gemälde nach dem Goldenen Schnitt konzipiert: wohlgemerkt mag es sehr wohl möglich sein dass da Vinci die Mona Lisa tatsächlich nach dem Goldenen Schnitt konzipiert hat und sich bestimmte geometrische Indizien hierfür auch aus dem Gesamtbildaufbau des Bildwerks ableiten lassen: es existieren meiner Ansicht nach jedoch keine sinnvoll anzunehmenden Gründe dafür, dass da Vinci die Mona Lisa nach dem Prinzip der Fibonacci-Spirale entworfen, gestaltet und gemalt haben soll [siehe gWiki7], die damit belegt werden könnten, dass eine Fibonacci-Spirale in das Kunstwerk hineinkonstruierbar ist: nach dem Prinzip des Ockham´schen Rasiermessers sprechen zahlreiche Argumente dagegen, dass eine solche Art der Bildwerksinterpretation überhaupt ausreichend exakt genug und damit entsprechend wahrscheinlich im Ergebnis ist.

Albrecht Dürer und seine mögliche Bezugnahme auf Fibonacci-Zahlen
Eine Bezugnahme auf die gestalterische Verwendung von Fibonacci-Zahlen finden wir möglicherweise; dies muss als Vermutung formuliert werden) bei Albrecht Dürer (d.J., 1471 - 1528). In Albrecht Dürers Kupferstich ("Meisterstich") Melencholia I besteht (möglicherweise) eine Bezugnahme Dürers auf die Fibonacci-Zahlen, wenn wir die Proportionen des Dürer-Werks insgesamt und im Speziellen, die im Bildwerk enthaltenen Informationen betrachten: hier damit gemeint sind das in Dürers Bildwerk Melencholia I enthaltene sog. "magische Quadrat" und die Gesamtabmessungen des Bildwerks.
Dürers Bildwerk Melencholia I weist (bezugnehmend auf Quelle [gWiki3]) eine Gesamtabmessung von 24,2 cm × 19,1 cm auf (Abmessungen können von Werk zu Werk tendenziell variieren, z.B. aufgrund von verwendeten Papieren für Drucke, sowie von klimatischen Bedingungen (Luftfeuchte), Erhaltungszustand u.a. ggf. stärker variieren (auch geht aus fden Angaben bei Wikipedia zur Abbildung von Dürers Meelncholia I nicht hervor, ob sich die Angabe der Abmessungen auf das Blatt Papier selbst bezieht auf den das Werk gedruckt ist, auf den das Bilkdwerk umgebenden - gestochenen - feinlinigen Rahmen der das Bildwerk einrahmt. Auch sind bei der Analyse von digitalisierten Abbildungen generell das Erfassungsprinzip (Scan oder Abfototgrafie?) sowie eventuelle Formatierungsfehler bei der Digitalisierung zu berücksichtigen. Scannen und Abfotografieren eines historischen Bildwerks können - je nach Größe des Bildwerks, je nach Abstand der Ablichtung, je nach Verzerrungen durch verwendete Objektive und Sensoren etc. sowie durch Bildbearbeitungen und Umformatierungen entstehen (und sich möglicherweise stellenweise unmerkliche einschleichen bzw. aufsummieren). Ein weiterer Faktor für sich potenziell einschleichende Verzerrungen bei der Reporoduktion eines historischen Bildwerks ist die für eine Vervielfältigung verwendete Belichtungstechnik (bei Papierabzügen) und
generell die verwendete Drucktechnik - etwa bei tintenstrahlgedruckten, thermogedruckten oder offsetgedruckten Reproduktionen. Deshalb sollten für die Analyse von historischen Bildwerken (sofern das Nachmessen am Original nicht möglich, bzw. nicht erlaubt ist) nach Möglichkeit stets Vervielfältigungen verwendet werden, bei denen mit der Ablichtung ein Messlineal o.ä. als Referenz erfasst wurde.
Die reinen Hauptabmessungen eines historischen Bildwerks - insbesondere in Reproduktionen, Ablichtungen und generell Vervielfältigungen können potenziell zu Verwechslungsgefahren für die Ermittlung der von Erzeugern ursprünglich verwendeten Proportionen führen.
Somit geben Reproduktionen eines historischen Bildwerks proportionstechnisch und Abmessungstechnisch häufig genug zu geringfügige Auskünfte, um zu möglichst eindeutigen Schlussfolgerungen zu gelangen. Ein Hinzuziehen weiterer Indizien (neben den genannten messtechnischen (z.B. Lineal mit ablichten oder selber nachmessen) in der für etwaige Schlussfolgerungen im Hinblick auf die Beforschung von Proportionen z.B. eines historischen Bildwerks ist deshalb nicht nur sinnvoll, sondern sogar notwendig: solche Indizien können etwa der generelle Bildwerksaufbau (Bildwerksflächenaufteilung, Orientierung von im Bildwerk dargestellten Objekten und Gegenständen - z.B. dargestellte Personen- sowie weitere in einem Bildwerke enthaltene Informationen sein (z.B. symbolhafte Anspielungen oder etwa das Darstellen von Gerätschaften wie Reißschiene und Reißzirkel (wie in Dürers Werk Melencholia I gegeben).
(mehr und spezielleres zu diesem Thema bei nächster Gelegenheit auch an anderer Stelle in diesem Forum, es ist hierfür erforderlich, noch einige Quellen zu sichten um zu eruieren, inwieweit es sich bei von mir in diesem Thema getätigten Annahmen um bisher noch unbekanntes Wissen handeln könnte).

Dürers Magisches Quadrat in Melencholia I
Das besondere an Dürers im Bildwerk Melencholia I enthaltenen magischem Quadrat ist, dass die Summen der im Quadrat befindlichen Zahlen (die von Dürer auf spezielle Art und Weise zueinander arrangiert wurden und damit die logische Zahlenfolge durchbrechen), jeweils die Zahl 34 ergeben. Die Summierung der Zahlen erfolgt dabei in sämtliche möglichen Richtungen, also horizontal, vertikal und diagonal u.a. [gWiki1]. Dabei ist hervorzuheben, dass es sich bei der Zahl 34 um eine Fibonacci-Zahl handelt, die wiederum Bezug auf aus dem magischen Quadrat Dürers ableitbare Zahlenzusammenhänge (als Summen) ermöglicht, die in Kombination mit der vordergründig auftretenden "Hauptzahl" (mit dem Zahlenwert 34 also) dual kombiniert die Herstellung eines Proportionalen Seitenverhältnisses mit starker Nähe zum Prinzip des Goldenen Schnitts ermöglichen (mehr dazu bei nächster Gelegenheit). So ist z.B. im Hinblick auf Dürer´s in Melencholia I enthaltenem magischen Quadrat festzustellen, dass die verdoppelte Kombination der direkt aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen 3 und 5 in der Summe 16 ergibt, also die Quadratzahl, die sich aus 4² ergibt und der Anzahl der Kästchen des magischen Quadrats im Bildwerk entspricht weil = 3 + 3 + 5 + 5 = 16 (um nur ein mögliches interpretatorisches Beispiel zu nennen, das jedoch auch reine Zahlenspielerei sein kann, die Dürer ursprünglich nicht beabsichtigte. Dieser interpretatorische Zusammenhang zeigt jedoch auf, wieviel verschiedenes sich komplex in Dürers Bildwerk hineininterpretieren lässt, weshalb diese Aspekte entsprechend dezidierter Überprüfung und Beurteilung bedürfen ).

Die Hauptproportionen von Dürers Bildwerk Melencholia I
Wie genau die (spekulierte) Bezugnahme Dürers auf das Prinzip des Goldenen Schnitts mit seinem Bildwerk Melencholia I gemeint ist, wird baldmöglich von mir erörtert. Soviel sei nur vorweggesagt: Die Hauptproportion des Bildwerks (also der quasi gestochene "Rahmen" der den Kupferstich umgibt, entspricht in seinen Abmessungen nicht dem Proportionsverhältnis des Goldenen Schnitts von ~1,618 : ~1, sondern eher der Quadratwurzel aus ~1,6 : ~1 = ~1,27 : ~1. Dürers Werk nimmt damit also (so ist es seitens des Verfassers gemeint) "auf den ersten Blick" - sofern überhaupt ursprünglich gewollt - einen indirekten Bezug auf Goldenen Schnitt.
Wesentlich wahrscheinlicher ist nach meiner Einschätzung jedoch davon auszugehen, dass Dürer sein Bildwerk Melencholia I in einem Proportionsverhältnis von 1,33(periode) : 1 geplant hat (was einer Anwendung des pythagoreischen Tripels 3:4:5 entsprechen würde; mehr dazu baldmöglich): diese Bildwerksplanung Dürers ist als sehr wahrscheinlich anzunehmen, weil sich eine sinnvolle Grundeinteilung des Bildwerks Melencholia I (auf die ich ebenfalls bei nächster Gelegenheit eingehen werde) mit einer solchen Bildwerksplanung korrespondiert.
Interessant an den Proportion von Dürers Bildwerk und hervorzuheben ist dabei, dass der Kupferstich Melencholia I damit Proportionen aufweist, die (ggf. nur ungefähr) denen der Chepren-Pyramide auf dem Plateau von Giseh entsprechen. Eine solche Proportion lässt sich gestalterisch alternativ sehr einfach erzeugen, z.B. indem eine Messschnur von 12 gleichlangen Einheiten Länge (als Teilstrecken) im Verhältnis 3:4:5 = 12 Einheiten aufgespannt wird - um nur eins von sicherlich vielen möglichen Beispielen zu nennen. Eine ungefähr ähnliche Proportion wie sie aus den Bauwerksabmessungen der Chepren-Pyramide ableiten lässt, lässt sich jedoch ebenfalls aus den (ungefähren) Bauwerksabmessungen der Cheops-Pyramide ableiten: die - je nach Interpretationsansatz als ggf. ungefähr zu bezeichnenden - Proportionen der Cheops-Pyramide lassen sich auf einfache Art und Weise erzeugen, indem z.B. eine Messschnur von 25 Grundeinheiten (als Teilstrecken) Länge bei 11 : 14 Einheiten abgewinkelt und z.B. als Schnurzirkel verwendet wird. Die Proportionen beider Pyramiden -sowohl die der Chepren- als auch die der als älter einzustufenden Cheops-Pyramide weisen damit Proportionen auf, die eine starke Nähe zueinander aufweisen und eine eindeutige Zuordnung anhand der aktuellen Quellenlage schwierig bis hin zu unmöglich machen (siehe [FIL1]).
Die potenzielle Nähe von Dürers Bildwerk Melencholia I zu den (potenziellen) Proportionen altägyptischer Pyramiden bedeutet jedoch keineswegs, dass Dürers Bildwerk und die Proportionen der Pyramiden von Giseh in irgendeinem mysteriösen (gewollten) Zusammenhang stehen: vielmehr könnte aus dieser interessanten (potenziell evtl. möglichen) Übereinstimmung lediglich sprechen, dass Gestalter der vergangenen Epochen sich eben stets bewährter Proportionen bedient haben um zu gestalten [qed]. Die Proportionen 4 : 3 (potenziell Chepren-Pyramide) sowie 14 : 11 (potenziell Cheops-Pyramide) lassen sich im Zahlenraum der natürlichen Zahlen relativ leicht entdecken und gehören mit zu den häufigsten, überhaupt aus dem Zahlenraum der natürlichen Zahlen ableitbaren - und deshalb auch von Gestaltern der Vergangenheit - naheliegend genutzten Proportionen (siehe [FIL1]).
Um aufzuzeigen, wie wichtig es deshalb ist, in der Proportionsforschung exakt zu differenzieren, zeigt die Tatsache auf, dass sich die Proportion von Dürers Bildwerk (ggf. ungefähr) ebenfalls mit den Proportionen der Mykerinos-Pyramide auf dem Plateau von Giseh in Verbindung bringen lassen (zwischen geometrischen Formen lassen sich häufig annähernde Übereinstimmungen feststellen. Solche - häufig nur scheinbaren Übereinstimmungen - sagen jedoch nicht zwangsläufig und automatisch grundlegendes über tatsächlich angewendete Gestaltungspraktiken zur Erzeugung von Proportionen und ursprünglich für die Gestaltung gewählte tatsächliche Proportionen aus; siehe zum Vergleich z.B. Varianten nebeneinandergestellter Rechteckflächen mit Nähe zum mathematischen Proportionsverhältnis des Goldenen Schnitts; Anhang 3).
Zum äußerst komplexen Gesamtkontext der Erforschung der Proportionen altägyptischer Pyramiden siehe hier [FIL1]: http://www.archaeoforum.de/viewtopic.ph ... 019#p60019

Meiner Ansicht nach ist - mit sehr großer Wanrhscheinlichkeit - davon auszugehen, dass Albrecht Dürer (d.J.) seinen Kupferstich Melencholia I nach der Proportion 4 : 3 (Höhe zu Breite) bei einer vermutlichen (ggf. gröbsten) Grundrastereinteilung von 8 : 6 (Höhe zu Breite) gestaltete: es sprechen sehr viele Indizien dafür. Diese Vermutung bezieht sich auf den gestochenen dünnlinigen Rahmen, der das Bildwerk als rechteckige Bildwerksfläche einfasst, aber auch im Bildwerk enthaltene Aufteilungen (mehr dazu später).
Sofern diese Einschätzung als stimmig angenommen werden kann [qed], wäre Dürers Bildwerk Melencholia I damit nach einer uralten und vermutlich bereits von z.B. den alten Ägyptern genutzten Proportion gestaltet, die alltagspragmatische Anwendung auch heute noch findet, weil sie auf dem Prinzip des pythagoreischen Tripels 3:4:5 beruht. Nach der Proportion 3:4:5 wird bereits seit vielen Jahrhunderten und ggf. Jahrtausenden gestaltet und vermessen. Besonders naheliegend erscheint diese Proportion für Dürers Proportionierung von Melencholia I weil sich diese Proportion - nach meiner Einschätzung - Verfassers - mit sehr großer Wahrscheinlichkeit auch für Dürers Bildwerk "Der Zeichner der Laute (1525)" nachweisen lässt. Nach dem Prinzip der Anwendung des Ockham´schen Rasiermessers ist die Proportion 3:4:5 eine (nach dem Auschlussprinzip für andere Proportionen) für die historische Bildwerksnalayse stark zu präferierende Proportion, siehe zum Vergleich hier:
http://www.archaeoforum.de/viewtopic.php?f=22&t=6828
[FIL2]

Das kaskadische Summenverhalten der Fibonacci-Zahlen im Zahlenraum der natürlichen Zahlen
Zu einer der leicht zu entdeckenden Eigenschaften der Fibonacci-Zahlen gehören die in den folgenden Ausführungen beschriebenen (siehe auch das Thema "Folgeglieder" in [gWiki8, 2.2] (mit ganz besonderem Dank an N.N. für Hilfestellung und Informationen zum Thema und zur Quellenlage).

Die kaskadische Bildung von Fibonnaci-Zahlen >3 als spezifische Summe jeweils zweier spezifischer aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen als Summanden.
Zu den erwähnenswerten Eigenschaften der Fibonacci-Zahlen gehört der folgende arithmetische Zusammenhang: eine beliebig große Fibonacci-Zahl lässt sich jeweils aus Gliedern der Summen zweier spezifisch kleinerer direkt aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen bilden, wobei die Anzahl der spezifischen Glieder stets aus den Zahlenwerten zweier direkt aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen besteht. Die Gesamtanzahl der zu summierenden Glieder muss dabei mindestens drei Glieder betragen.

Beispiele:
bei F(nc) = F(4), F(5), F(6):
Typ a + 2b = 1+2+2 = 5
Typ 2a + 3b = 1+1+2+2+2 = 8
Typ 3a + 5b = 1+1+1+2+2+2+2+2 = 13
Typ 5a + 8b = 1+1+1+1+1+2+2+2+2+2+2+2+2 = 21
usw. usf.
Typ a + 2b = 2+3+3 = 8
Typ 2a + 3b = 2+2+3+3+3 = 13
Typ 3a + 5b =2+2+2+3+3+3+3+3 = 21
Typ 5a + 8b = 2+2+2+2+2+3+3+3+3+3+3+3+3 = 34
usw. usf.
Typ a + 2b = 3+5+5 = 13
Typ 2a + 3b = 3+3+5+5+5 = 21
Typ 3a + 5b =3+3+3+5+5+5+5+5 = 34
Typ 5a + 8b = 3+3+3+3+3+5+5+5+5+5+5+5+5 = 55
usw. usf.

Die Fibonacci-Zahlen als Flächengesetzmäßigkeit
In einer flächenmäßigen Kombination zweier jeweils direkt aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen zum Quadrat (resp. zu quadratischen Fläche) wird die Flächengesetzmäßigkeit der Fibonacci-Zahlen deutlich: jede flächentechnische Kombination zweier direkt aufeinanderfolgender sog. Fibonacci-Quadrate erzeugt zur jeweils nächstgrößeren möglichen Quadratzahl (resp. Quadratfigur) hin, die beide direkt aufeinanderfolgenden Quadratzahlen (resp. Quadratfiguren) einbeschreibt, einen produktmäßigen (und flächentechnisch) betrachteten "Überschuss" (als "Restprodukt") in Größe jeweils zweier spezifisch direkt aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen. Sehr gut deutlich und einfach darstellbar wird dieser Zusammenhang in der Grafik (siehe Anhang 2). Für dies mit der Systematik
der Fibonacci-Spirale quasi beschriebene Entwicklungsprinzip wird hier im Beitrag aus Gründen des hierfür erforderlichen Umfangs kein explizit mathematischer Beweis zitiert. Das relevante Entstehungsprinzip der Fibonacci-Spirale lässt sich in den genannten Quellen gut nachlesen). Für die Reihenentwicklung der hier sog. "Zwei-Quadrate-Konstellation von Fibonacci-Zahlen" kann also geschrieben werden:

{F(n)² + F(n+1)² + ab(n) ∈ ℕ ׀ ab(n) < F(n)^2; ab(n) < F(n+1)^2; ab(n) = F(n+1)² - F(n)²}

dabei gilt dass die Zwei-Quadrate-Konstellation von Quadraten mit der Seitenlänge zweier direkt aufeinanderfolgender Fibonnaci-Quadrate jeweils die Berechnungsmöglickeit für {a,b} enthält mit:

{(a,b) ∈ ℕ ׀ (a,b) : F(n+1)² = a; (a,b) : F(n)² = b}

Aus dem vorbeschriebenen folgt die Entwicklung der spezifischen Zahlenreihen:
bei: [Spalte I] / [Spalte II] / [Spalte III] / [Spalte IV] // [Spalte V]
[a] / / [F(n)²] / [F(n+1)²] // [Zeile] / [Zuordnung, siehe Anhang 2]
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
[1] / [1] / [ 1²] / [2²] // [Zeile I] / [A]
[1] / [2] / [2²] / [3²] // [Zeile I] /
[2] / [3] / [3²] / [5²] // [Zeile I] / [C]
[3] / [5] / [5²] / [8²] // [Zeile I] / [D]
[5] / [8] / [8²] / [13²] // [Zeile I] / [E]
usw. usf.

oder auch:
[1] / [1] / [ 1] / [4] // [Zeile I] / [A]
[1] / [2] / [4] / [9] // [Zeile I] /
[2] / [3] / [9] / [25] // [Zeile I] / [C]
[3] / [5] / [25] / [64] // [Zeile I] / [D]
[5] / [8] / [64] / [169] // [Zeile I] / [E]
usw. usf.
- - -
Bibliographie:
- - -
(Hinweis: Wikipedia-Quellen werden nicht alphabetisch, sondern chronologisch - nach Zeitpunkt des Zugriffs sortiert - aufgelistet. Gleiches gilt für foreninterne Links als hier gelistete Quellen.)

[Bücher]:
Reiss, K.: Mathematik für das Lehramt – Basiswissen Zahlentheorie. 2. Aufl. Verlag Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2005. (45,46)

Walser, H.: Einblicke in die Wissenschaft : Mathematik: Der Goldene Schnitt. 2. erw. Aufl., vdf Hochschulverlag an der ETH, Stuttgart; Leipzig, 1996

[deutsschprachige Wikipedia]:
[gWiki1]:
Bibliografische Angaben für „Fibonacci-Folge“
Seitentitel: Fibonacci-Folge
Herausgeber: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie.
Autor(en): Wikipedia-Autoren, siehe Versionsgeschichte
Datum der letzten Bearbeitung: 4. Januar 2024, 12:44 UTC
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Permanentlink: https://de.wikipedia.org/w/index.php?ti ... =240832508
Datum des Abrufs: 5. Januar 2024, 11:45 UTC

[gWiki2]:
Bibliografische Angaben für „Albrecht Dürer“
Seitentitel: Albrecht Dürer
Herausgeber: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie.
Autor(en): Wikipedia-Autoren, siehe Versionsgeschichte
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Foreninterne Quellen:
FIL = Foreninterner Link

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Titel des Beitrags: "Die Proportionen altägyptischer Pyramiden"
Datum und Zeitpunkt des Zugriffs: 05.01.2024, 18:49 MEZ
Verfasser: User "Sculpteur"

[FIL2]:
http://www.archaeoforum.de/viewtopic.php?f=22&t=6828
Titel des Beitrags: "Bildwerksanalyse historischer Kunstwerke"
Datum und Zeitpunkt des Zugriffs: 06.01.2024, 11:18 MEZ
Verfasser: User "Sculpteur"

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Sculpteur · Beitrag von **Sculpteur** » 08.01.2024 11:06

- (Hinweis: Für die sämtlichen folgenden vom Verfasser geschilderten Zusammenhänge gilt der an den ersten Themenbeitrag des Verfassers in diesem Thema angehängte Haftungsausschluss (Disclaimer) -

Die historische Erforschung der Zahlen / Besondere Zahlen (2): Die Natürlichen Zahlen
Die heutzutage gemeinhin sog. natürlichen Zahlen sind ganzzahlige (positive) Zahlen mit denen wir tagtäglich z.B. zählen oder die Anzahl von z.B. Dingen und Objekten u.ä. ausdrücken können (z.B. 8 Flintabschläge, 13 Tonscherben, 4 Perlmutknöpfe, 7 Personen die an einer Ausgrabung beteiligt sind, 5 Altersbestimmungen per Radiokarbonmethode, 63 in Frage kommende ternäre Mischungen für die nachvollziehende Erforschung der Rezeptur einer historischen Schießpulvermischung, 15 verrostete historische Kanonenkugeln oder z.B. 25 Pfeilspitzen, denen 1 verrotteter Lederköcher nebst 2 Sehnen für einen Langbogen Platz bietet, 2 unterfinanzierte Archäologen und 1 Experimentalarchäologe, die mit der finanziellen Förderung einer Grabung ringen müssen sowie 5 Blockbergungen, die noch vor Feierabend bewältigt werden müssen weil die Abrissbirne schon mit den Hufen scharrt - aber Spaß Beiseite: Der Möglichkeit, mit Zahlen z.B. Zusammenhänge des alltäglichen Zusammenlebens auszudrücken, sind schier unendlich groß und ebenso nützlich. Einer der Gründe, weshalb Mathematik und im Speziellen z.B. die Zahlen und Zahlenarten seit ihrer Erfindung vor vielen Jahrtausenden seit mindestens ebenso langer Zeit vom Menschen beforscht werden, liegt im großen alltäglichen und gesamtgesellschaftlichen Nutzen der Mathematik als Ganzes und der Zahlen und Zahlenarten im Speziellen.
Bereits die alten Sumerer notierten logistische Zusammenhänge wie Nahrungsmittelmengen und darauf zu erhebende Steuern auf Tontafeln, indem sie mit hölzernen Stäbchen keilutförmige Schriftzeichen in frischen Ton drückten. Auch für die alten Ägypter, Inder, Chinesen u.v.a. waren Schriftzeichen von Anbeginn der schriftlichen Überlieferung von historischen Zusammenhängen mittels Schrift (natürlich) unverzichtbar. Ob diese Schriftzeichen - und ihre quasi Vorgänger als Symbolzeichen - dabei in Ton, Stein, Holz oder später etwa Papier verewigt wurden, war zwar ebenfalls spektakuläre Erfindung der Menschheit, replizierte jedoch stets die eigentlich urtümlichste und bedeutendste Erfindung von allen: die Erfindung der Symbolzeichen selbst und die Methode (neben z.B. den Methoden Weitererzählen und Vormachen von z.B. handwerklichen Zusammenhängen) durch Versymbolisierung und schließlich Verschriftlichung über Generationen, Epochen und ganze - heute - übergeordnete Zeitabschnitte hinweg zu Überliefern. Einen wesentlichen Bestandteil der Symbolzeichen aus dem Repertoire der Menschheit derer sich die Menschen dabei sehr früh - und stellenweise möglicherweise weit vor der Erfindung von Schriften bedienten sind Zahlzeichen als Symbolzeichen: diese konnten von Menschen z.B. in Form von etwa in Knochen, Horn, Elfenbein, Holz oder z.B. Stein gekratzten, geritzten oder gekerbten Zahlzeichen Anwendung finden. Rasch erfand der Mensch für Zahlsymbole zusammenfassende Vereinfachungen, die wiederum ebenfalls eine Entwicklung durchliefen: so schrieben die alten Babylonier und die alten Ägypter, Inder, Chinesen (uva.) Zahlen mit entsprechenden Symbolen entsprechend aufwändig auf ihre ganz eigene Art und Weise. Die alten Ägypter und Babylonier ersonnen spezielle, relativ aufwändig zu schreibende bzw. darzustellende Zahlensysteme. Die alten Römer verwendeten schließlich ihr etwas platzaufwändigeres System der römischen Ziffern um Zahlenzusammenhänge aufzuschreiben, das stellenweise noch heute Nutzung findet, während das noch heute weltweit genutzte System der arabischen Ziffern mit den Ziffern 0 bis 9 als pragmatisches Dezimalsystem (mit Stellenwertsystem zur Basis 10) mit weltweit wohl eins der weitverbreitetsten und alltäglich genutztesten ist, das auch aus unserem heutigen Alltag nicht mehr wegzudenken ist.
Der alltägliche Nutzen und die Anwendungsmöglichkeiten der (natürlichen) Zahlen und des Zählens sind so groß und nahezu so gewöhnlich geworden, dass manchmal in Vergessenheit geraten kann, wie elementar die Erfindung der Zahlen und des Zählens für die Entwicklung der Menschheit war (und noch heute ist): Zahlen und Zählen sind gesamtgesellschaftlich stellenweise zu etwas beinahe banal wirkendem alltäglichem generiert. Manche Menschen "lieben" Zahlen über alles, andere hassen sie wohlmöglich abgrundtief (spätestens seit ihrer Schulzeit). Nicht allen Menschen auf der Welt ist noch heute ein Zugang zu umfassender Bildung gewährt (oder wird absichtlich verhindert). So mag sich so mancher Mensch auch heute in unserer "ach so aufgeklärten Zeit" wohlmöglich neben anderem nichts sehnlicher wünschen, als etwas mehr über Zahlen und das Zählen zu erfahren oder Zahlen, das Zählen und die Mathematik insgesamt besser zu begreifen.
Die Menschheit hat bis heute ungeheure Anstrengungen und entsprechenden Eifer aufgewendet, um mathematische Zusammenhänge zu erforschen und feiert bis heute hierin auch so manchen Erfolg: leider hat sich die Mathematik dabei insgesamt auch sehr stark von ihren urtümlichen und alltagstauglichen Wurzeln entfernt und ist im Bereich der Hochschulen für den Durschnittsrezipienten zu einer Art - stellenweise undurchschaubar wirkender - Fachsprache generiert. Dieser Trend hat sich von den Hochschulen wiederum in die Grundlagen bildenden Schulen zurück verlagert: nicht grundlos wird der Mathematikunterricht deshalb heutzutage wohl im Alltagsjargon zu einem der meistgehassten Schulfächer gekürt: Lernende können heute dezidierte Kurvendiskussionen führen, wissen aber möglicherweise häufig wenig über die grundlegenden Eigenschaften der natürlichen Zahlen.
Missverständnisse im Bereich Mathematik, als übertriebener Eifer wahrnehmbare Entwicklungen "moderner" Bidlungssysteme in Richtung einer stark wissenschaftlich orientierten Schulmathematik und z.B. an Schulen und im Alltagsleben tatsächlich stattfindende Ausgrenzung und Mobbing wegen angeblichem "Lernversagen" - und Unfähigkeit, Lerninhalte im Schulfach Mathematik (u.a.) "ausreichend" lernend umzusetzen, tragen heute ihre Früchte, pressen jede "Andersartigkeit" durch ein schmal geknüpftes gesellschaftliches noten- und bewertungslastiges Raster - und das trotz aller Bemühungen um Inklusion und individuelle Lernförderung: Akzeptanz kommt nicht von Können sondern von (sich und andere) Kennen. Dabei handelt es sich beim angeblichen Lernversagen im Schulfach Mathematik (erfahrungsgemäß) häufig genug um ein eigentliches Versagen des Bildungs- und Schulsystems selbst und damit stellenweise auch um ein Versagen des (stellenweise - nicht jedoch generell - falsch ausgebildeten, bzw. falsch motivierten) Lehrpersonals.
Mathematische Grundbildung ist somit auch heute ein multisoziokulturelles Phänomen ebenso wie eine große soziokulturelle Problemstellung und gesamtgesellschaftliche Herausforderung.
Dabei war es mir persönlich bis heute - trotz umfangreicher Recherche - nicht möglich, ein Schul- oder Fachbuch im Bereich Mathematik (und tangierenden Bereichen der Verwertung und Verwendung von Mathematik) ausfindig zu machen, dass die elementaren Grundlagen im Hinblick auf die natürlichen Zahlen, die fundamental wichtig für die Entwicklung eines umfassenden ganzheitlichen Mathematikverständnisses sind, annähernd ganzheitlich und ausführlich genug behandelt.
Selbst in einem Fachbuch über die Didaktik der Arithmetik bin ich bei meiner jahre- und jahrzehntelangen Recherche nicht fündig geworden.
Geschuldet sein mag dies einem Phänomen der 1970er Jahre: damals konnte sich die (ursprünglich von Cantor ersonnene) Mengenlehre wohl nicht im größeren Stile an (deutschen) Grundschulen durchsetzen, weil Eltern und Erziehungsberechtigte wohl (laut Bezugnahme auf zitierte Quelle) [Reiss/Schmieder, 2005] damit überfordert waren, gemeinsam mit ihren Kindern Mathematik zu üben und Hausaufgaben zu bewältigen, weil die Eltern und Erziehungsberechtigten selbst mit der Materie überfordert waren.
Nun ist es selbstverständlich stets die Frage, wie mathematische Zusammenhänge grundständig in Unterrichten vermittelt werden (und wie motiviert Lernende sind, bzw. wie Lernende motiviert werden). Erfahrungsgemäß wird aber noch heutzutage möglicherweise tatsächlich durchschnittlich flächendeckend versäumt, die wesentlichen Grundlagen der Eigenschaften von natürlichen Zahlen an Grundschulen und auch in weiterführenden Lehrinstitutionen grundständig und ausreichend zu vermitteln. Dabei mag dieser Fehler im Bildungssystem - der stellenweise den Phänomen Zeitmangel, generelle Überforderung (beider Seiten: Lehrender wie Lernender) oder einer Unterbewertung der Thematik (z.B. im Sinne von angeblich "überflüssigem Kinderkram") geschuldet sein: vielfach ist es aber erfahrungsgemäß tatsächlich so dass sich mancher Lernender aus Angst vor Ausgrenzung und Mobbing noch heute (oder gerade heute) nicht traut - und auch nicht dazu ermutigt wird - sich seinen ganz eigenen Zugang zu Lernmethoden zu suchen, die für ihn geeignet sind (z.B. im Unterricht mit den Fingern Zählen; das Zählen mit den Fingern stellt eine uralte und überlieferungswürdige Kulturtechik mit zahlreichen möglichen Variationen dar, die stellenweise näher an der Vermittlung elementarer Mathematik liegt als es mancher hochmoderner Unterricht mit "Laptop und Co" stellenweise tun mag.
Betrachten wir die grundlegenden Zusammenhänge des Zahlenraums (Zahlbereichs) der natürlichen Zahlen aber ausführlicher und genauer, können wir möglicherweise (je nach individueller Disposition) ungemein viel über die Eigenschaften von natürlichen Zahlen lernen und dieses Wissen (erfahrungsgemäß) ganzheitlicher verinnerlichen. Solcher Lernprozess kann möglicherweise helfen, die Welt der Mathematik, die für manche ein Buch mit Sieben Siegeln darstellt, schließlich insgesamt besser zu begreifen und damit insgesamt besser individuell anwendbar zu machen.

Die grundlegendsten Eigenschaften der natürlichen Zahlen über die ein durchschnittlicher Lernender meiner Ansicht nach Kenntnis besitzen sollte um auf Grundlage dieser Ausgangsbasis schließlich weitgreifendere eigene mathematische Schlussfolgerungen anstellen zu können, die z.B. auch bei der Erforschung der Geschichte der Mathematik insgesamt weiterhelfen können - kristallisieren sich in der (von mir) sog. Summenkaskade der natürlichen Zahlen (Summenkaskade aus N) heraus (mehr dazu später).
Viele der Eigenschaften der natürlichen Zahlen sind bis heute ausführlich erforscht. So verfügten z.B. bereits die alten Griechen über ein umfassenderes Wissen über figurierte Zahlen (also Anzahlen von ganzzahligen "Elementen" die sich zu Figuren wie z.B. Dreiecken, Quadraten, Sechsecken u.v.a.auslegen lassen - z.B. Muschelschalen, Kieselsteine, Getreidekörner etc.). Dieses Wissen spiegelte bereits wesentliche Aspekte der z.B. antiken Vermessungstechnik wieder. Ich kann mich anhand meiner persönlichen Erfahrungen und einer breiteren Recherche zum Thema jedoch bis heute nicht des Eindrucks erwehren, dass es unseren Gesellschaften bis heute nicht gelungen ist, einen einheitlichen und möglichst einfachen Gesamtüberblick über den Zahlenraum der natürlichen Zahlen an Lernende (und interessierte) zu vermitteln (sollte ich mich hierin irren, mag man mich eines besseren Belehren, es würde mich sogar freuen, wenn es so wäre, denn ich kenne natürlich nicht alle Schulen und Lehrinstitute, nicht alle Bücher und Überlieferungen und Kulturen der Welt sowie deren Art und Weise zu unterrichten - logisch).
Ein grundlegender und umfassender Gesamtüberblick über die natürlichen Zahlen ist eigentlich ganz simpel zu bewerkstelligen - so simpel, dass ich mich (und unsere Gesellschaften) ernsthaft fragen muss, weshalb z.B. ich persönlich Jahrzehnte benötigt habe, um diese simple Übersicht über den Zahlenraum der natürlichen Zahlen zu entdecken und in ihrer funktionierenden Präsentation selbstständig zu entwickeln zu müssen. Dabei hat das gesamte Thema aber auch rein gar nichts mit "höherer Mathematik" zu tun und kocht mit "ganz normalem Wasser" auf kleiner Flamme. Im Gegenteil: alles kommt so simpel und einfach daher, dass es einem wie Bauklötze von den Augen fallen muss und man sich fragen kann: weshalb sind diese Zusammenhänge nicht in jedem Schul- Lehr und Fachbuch allgegenwärtig(?) - denn da gehören sie unbedingt - und idealerweise ausnahmslos - hin, weil wir sie; ganz egal dabei in welchen Lebensbereichen; eigentlich alltäglich verwenden und nutzen können.

Die Summenkaskade der natürlichen Zahlen:
Natürliche Zahlen werden heutzutage weltweit in ggf. leicht abweichenden Schreibweisen) bezeichnet mit:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

oder wahlweise mit:
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

Ob die Zahl 0 (Null) dabei Bestandteil der natürlichen Zahlen sei, ist üblicherweise vorherige Einigungs- und damit Definitionssache. Ursächlich für solche notwendigen Vorab-Definitionen in der Mathematik ist hier am Beispiel der natürlichen Zahlen dass sich mache mathematische Zusammenhänge besser auf die eine, manche besser auf die andere Art und Weise mathematisch darstellen lassen und manche mathematische Zusammenhänge erst dann plausibel darstellbar werden, wenn die Zahl 0 (Null) Bestandteil der natürlichen Zahlen ist: gemeint ist hierbei wohlgemerkt nicht generell die Ziffer 0 (Null), die z.B. im dezimalen System etwa an die Ziffer 1 angehängt wird um den Zahlenwert 10 auszudrücken. Die Zahl 0 (Null) meint hier den "eigenständigen" Zahlenwert 0 (Null), der also eine Anzahl von 0 (Null) Elementen zum Ausdruck bringt.

In der Summenkaskade der natürlichen Zahlen werden die Ziffern des Dezimalsystems auf spezifische Art und Weise zueinander arrangiert und bringen somit die summenbildenden Eigenschaften der natürlichen Zahlen in sämtlichen überhaupt möglichen Kombinationen zum Ausdruck (diese Aussage ist Definitionssache und wird im Folgenden noch exakter definiert, weil es Ausnahmen gibt, die an dieser Stelle jedoch nicht unnötig verwirren sollen). Damit stellt die Summenkaskade der natürlichen Zahlen eine Art entsprechend komplexer kombinatorischer Grundmatrix für die Eigenschaften natürlicher Zahlen dar. Aus dieser Grundkombinatorik oder auch Basiskombinatorik der natürlichen Zahlen zueinander heraus lassen sich die elementaren Eigenschaften der natürlichen Zahlen übersichtlich und strukturiert darstellen. Aus solcher struktureller Darstellungsart der natürlichen zahlen als eigentlich multidimensionalem Matrixsystem bzw. Eigenschaftsraum lassen sich unzählige Sätze als Theoreme oder Vermutungen ableiten (die vielfach bereits weitreichend bekannt sind).
Die Summenkaskade der natürlichen Zahlen kann deshalb (theoretisch) nicht nur als unterstützende potenzielle "Rechenhilfe" oder Lernhilfe z.B. für das Kopfrechnen ihren Einsatz finden, sondern insgesamt tiefere Einblicke in das generelle Verhalten von natürlichen Zahlen vermitteln (kann aber nicht muss: je nach Art der Vermittlung, je nach Art des Lernens, je nach persönlicher Disposition von Lehrendem, Lernendem und je nach Präsentationsart: es gibt keine Garantien hierfür, aber zumindestens von meiner Seite aus viel wohlwollendes Hoffen das dem so sei).
Dieser Zugang zum Zahlbereich der natürlichen Zahlen beinhaltet deshalb auch das Potenzial für weiterführende Fragestellungen der Mathematik, die auch die höhere Mathematik z.B. der Zahlentheorie ansprechen.
Übertragbar ist das hier gewählte Prinzip der Darstellung der Summenkaskade der natürlichen Zahlen nach meiner aktuellen Einschätzung stellenweise auch auf andere Zahlbereiche (was noch ausführlicher zu beforschen wäre).
Ausgeführt werden kann das hier beispielhaft demonstrierte Prinzip der Summenkaskade der natürlichen Zahlen auf einfache Art und Weise: hierfür genügt entsprechend dimensioniertes Rechenpapier oder einfaches Papier nebst Lineal und Stift, genügen z.B. eine herkömmliche Tafel, oder eine heutzutage alltägliche herkömmliche Tabellenkalkulations-Software auf einem für die EDV entsprechend geeigneten Gerät.
Um die Summenkaskade der natürlichen Zahlen hier im Beispiel als Tabellendokument zu demonstrieren wähle ich der Vollständigkeit und besseren Übersicht halber die Beschreibung der natürlichen Zahlen mit N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ...}.

Beschrieben wird in der tabellarischen Übersicht der Summenkaskade der natürlichen Zahlen von mir auf folgende Art und Weise:

- horizontal = summenbildende Prinzipien (betrifft jeweilige Spalten)
- vertikal = Ergebnisse der Summenbildungen (betrifft jeweilige Zeilen)

Aus Platzgründen und aufgrund der besseren Übersichtlichkeit bei Formatierungsvorgaben durch die Forensoftware* ist die Darstellung des Prinzips der hier geschilderten Summenkaskade der natürlichen Zahlen nur in sehr begrenztem Umfang möglich. Das einfach zu bewerkstelligende Grundprinzip lässt sich jedoch problemlos auch auf größere Formate und Dokumentengrößen übertragen - bitte hierzu den Disclaimer (Haftungsausschluss) im Hinblick auf potenziell hierbei mögliche Gefahren, die z.B. mit dem handschriftlichen Anfertigen umfangreicher Dokumente verbunden sind u.a., unbedingt beachten. Der Disclaimer findet sich als Anhang an den ersten Beitrag des Verfassers ihn diesem Thema.
(Siehe Anhang 1)
*(max. 600 x 600 Pixel für hochgeladene Bilddateien; dem ist auch die schlechte Darstellung der Präsentation geschuldet, die in diesem Sinne nachzusehen sei.)

Die Summenkaskade der natürlichen Zahlen liefert gut strukturierbar und damit sehr übersichtlich eine Grundlage für die analytische Betrachtung des Zahlenraums der natürlichen Zahlen und ihre Eigenschaften. So lassen sich aus der summenkaskadischen Übersicht von N zahlreiche Formelstellungen über die Eigenschaften (und damit das "Verhalten" von natürlichen Zahlen) ableiten (so z.B. auch eine Produkte-Kaskade der natürlichen Zahlen; bzw. Produkte-Kaskade in N (mehr dazu später im eigenständigen Themenbereich über Primzahlen, der aktuell von mir vorbereitet wird).
Bei Rezipierung der Summenkaskade der natürlichen Zahlen z.B. in Form eines tabellarischen Dokuments kann begriffen werden, dass Zahlenräume bzw. Zahlbereiche stets (logischerweise) systemisch agieren (was aber in puncto Rezipierung von Mathematik und ihren Eigenschaften durchschnittlich als gar nicht so selbstverständlich angenommen wird). So kann neben anderem begriffen werden dass in der "Welt der Zahlen" nichts dem Zufall überlassen ist, nichts "mysteriöses" in der Mathematik stattfindet und "auch die Mathematik nur mit Wasser kocht" (gewusst wie): eine solche Erkenntnis, die vielen Menschen als regelrecht banal-logisch erscheinen mag ist manchen anderen Menschen vielleicht mehr als fremd.
Wenn wir jedoch annähernd nachvollziehen wollen, wieviel Mysteriösität und z.B. "Übermenschlichkeit" unsere Vorfahren in weit zurückliegenden Zeiten in die Mathematik und die Zahlen hineininterpretiert haben (und dies stellenweise möglicherweise noch heute tun) dann ist es sinnvoll und notwendig, sich mit den zwischen (im Speziellen den) natürlichen Zahlen wirkenden Gesetzmäßigkeiten näher auseinander zu setzen.
So kann die Auseinandersetzung mit dem Prinzip der Summenkaskade der natürlichen Zahlen idealerweise auch dazu verhelfen, eventuelle Traumata, Ängste Hemmungen vor dem Fach und naturwissenschaftlichen Bereich Mathematik abzubauen (natürlich gibt es hierfür keinerlei Garantien, siehe Haftungsausschluss zum Thema).
Die Summenkaskade der natürlichen Zahlen liefert auch in der stärker naturwissenschaftlich geprägten Auseinandersetzung mit den natürlichen Zahlen (und Zahlbereichen im Allgemeinen) - in einer Übertragung des grundlegenden Prinzips - handfeste und verwertbare Auskünfte über die Eigenschaften der natürlichen Zahlen: So gibt die Summenkaskade der natürlichen Zahlen als Überblick über den Zahlenraum N z.B. Auskunft über die summarischen Entstehungsfolgen der Fibonacci-Zahlen und die Ableitung der primen Faktoren zusammengesetzter Zahlen in N - um nur zwei von zahlreichen Beispielen zu nennen (die Primzahlen werden noch explizit in einem Folgebeitrag erörtert wobei das Prinzip der Generierung der primen Faktoren für zusammengesetzte Zahlen in N aus der Summenkaskade von N heraus erörtert wird).

Beispiele:
Bei Vergegenwärtigung des Prinzips der Summenkaskade in N und der daraus resultierenden Ergebnisse wird ein fundamentaler - jedoch häufig im Unterricht nicht thematisierter (oder sogar gänzlich ausgeklammerter) Aspekt der Summenbildung in N deutlich: für jede Summe in N existieren - in einer grundsätzlichen basalen und mathegogischen Anschauung - (je nach Definition von N mit Null oder ohne Null; auch der Zahlenwert Null kann als Summe, resp. als "Nullsumme" bezeichnet und begriffen werden) für jede Summe >0 und >1mindestens eine Schreibweise, bei größer werdenden Zahlen existieren für jede Summe (als Zahlenwert) entsprechend proportional viele Schreibweisen für ein und dieselbe Summe. Diese elementaren Verständnisschritt für den Zahlenraum der natürlichen Zahlen wirkt zwar logisch nacheliegend, ist jedoch bei näherer Betrachtung von Lehr- und Lernmethoden und von Lernerfolgen für Lernende gar nicht so selbstverständlich rezipierbar: der Zusammenhang aber, dass Zahlen nach festgefügten Schemata zueinander agieren und sich nicht "irgendwie" - sondern eben auf ganz spezielle Art und Weise - verhalten, ist jedoch notwendige Voraussetzung für einen tiefgreifenderen Lernerfolg im Schulfach Mathematik; so zumindestens meine ganz persönliche Meinung.
Bereits die alten Griechen befassten sich ausführlich mit Quadratzahlen und deren Eigenschaften. Carl Friedrich Gauß schließlich veröffentlichte viele Jahrhunderte später eine entsprechende Summenformel für die Bildung von Dreieckszahlen und nahm damit direkten Bezug auf die statisch-proportionale (linear-proportionale) Bildung von Quadratzahlen im Zahlenraum der natürlichen Zahlen. Das folgende kleine Beispiel zeigt auf, wie unterschiedlich z.B. Quadratzahlen in Anlehnung an die Summenkaskade in N betrachtet und summentechnisch veranschaulicht werden können:
1+1+1+1 = 4
1+1+2 = 4
2,2 = 4
0+4 = 4

Dabei ist es sinnvoll, die Summenbetrachtung zum jeweils (individuell) geeigneten Zeitpunkt mit einer Produkte-Betrachtrung zu kombinieren wie etwa:
2*2 = 4
2² = 4

Schließlich sollte der Brückenschlag zwischen Summenbetrachtung und Produktebetrachtung vollzogen werden, denn:
1 + 3 = 2²
oder auch; z.B:
(0+1) + (1+2) = 2²

Dieser "kleine aber feine" Unterschied in der Gesamtanschauung von N und den in N enthaltenen Elementen ist damit auch von fundamentaler Bedeutung für die vollständige und korrekte Beschreibung von N aus mengentheoretischer Sichtweise - und damit für die Mathematik insgesamt und somit auch für die Erforschung der historischen Mathematik (mehr dazu später und an anderer Stelle).

Die Summenkaskade in N aus mengentheoretischer Sichtweise
Die Summenkaskade aus N gibt aus mengentheoretischer Sichtweise einen eindeutigen Überblick über die im Zahlenraum der Natürlichen Zahlen enthaltenen Elemente und ihre Eigenschaften. Eine solche Sichtweise kann helfen, (hier explizit natürliche) Zahlen und ihre Eigenschaften insgesamt wesentlich besser zu verstehen, vor allem aber deren Eigenschaften lückenlos vollständig abzubilden: so lässt sich aus der (hier im Beispiel verwendeten Art und Weise der) Matrixdarstellung der Summenkaskade in N z.B. übersichtlich ableiten, wie viele Schreibweisen für jeweils spezifische Summen in N existieren und wie sich die Übersicht über die Schreibweisen strukturiert (bzw. strukturieren lässt). So wird etwa deutlich, dass die ermittelbare und darstellbare Anzahl der Schreibweisen für spezifische Summen in N (im Sinne von "aus Summen zusammengesetzten Zahlenwerten) von den Bedingungen für N abhängig ist (genauer: ob N = {0, 1, 2, 3 ...} oder N = {1, ,2, 3 ...} gilt).

Weitere Vorteile der Darstellungsweise der Eigenschaften von natürlichen Zahlen mit der Summenkaskade aus N liegen darin, dass sich die Prinzipien der summarischen Bildung von Primzahlen (siehe z.B. starke binäre und schwache ternäre Goldbach´sche Vermutung) sehr anschaulich und logisch lückenlos vollständig abbilden lassen. Damit wird die Summenkaskade aus N auch für die basale Primzahlforschung und die übersichtliche Vermittlung der Eigenschaften von Primzahlen zu einem - eigentlich - unentbehrlichen Hilfswerkzeug das dazu verhelfen kann, Primzahlen (von Beginn an) wesentlich besser und ganzheitlicher zu begreifen: zum Thema Primzahlen ist im Folgenden ein eigenständiger Beitrag in dieser Themenreihe geplant, in dem ich diese Aspekte ausführlicher erläutern werde).

Bibliographie:
- - -
(Hinweis: Wikipedia-Quellen werden nicht alphabetisch, sondern chronologisch - nach Zeitpunkt des Zugriffs sortiert - aufgelistet. Gleiches gilt für foreninterne Links als hier gelistete Quellen.)

[Bücher]:
Padberg, F. Benz, C.: Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II: Didaktik der Arithmetik. 5. überarb. Aufl. Verlag Springer Spektrum, Berlin, 2021.

Reiss, K.: Mathematik für das Lehramt – Basiswissen Zahlentheorie. 2. Aufl. Verlag Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2005. (45,46)

du Sautoy, M.: Die Musik der Primzahlen - Auf den Spuren des größten Rätsels der Mathematik. ungek. Ausg. 2006; 7.Aufl., Verlag dtv Wissen, München, 2013.

[deutsschprachige Wikipedia]:
[gWiki1]:
Bibliografische Angaben für „Dezimalzahl“
Seitentitel: Dezimalzahl
Herausgeber: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie.
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[gWiki2]:
Bibliografische Angaben für „Fibonacci-Folge“
Seitentitel: Fibonacci-Folge
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[gWiki3]:
Bibliografische Angaben für „Primzahl“
Seitentitel: Primzahl
Herausgeber: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie.
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[gWiki4]:
Bibliografische Angaben für „Georg Cantor“
Seitentitel: Georg Cantor
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Sculpteur · Beitrag von **Sculpteur** » 11.01.2024 19:20

Besondere Zahlen: die Primzahlen - ganz besondere, oder einfach nur überbewertete Zahlen?
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Die sog. Primzahlen stellen eine ganz besondere Art von Zahlen dar, die sich im Zahlenraum der natürlichen Zahlen ausfindig machen lassen: Primzahlen zeichnen sich durch einzigartige Eigenschaften aus, die es ermöglichen, sie von allen anderen im Zahlenraum der natürlichen Zahlen enthaltenen Zahlenarten abgrenzen. Die wesentlichste Eigenschaft über die Primzahlen von der Begrifflichkeit her definiert werden gibt dabei gleichzeitig direkte Auskunft darüber, wie wir nichtprime Zahlen in ℕ (sog. zusammengesetzte Zahlen) erkennen können:

Primzahlen sind natürliche Zahlen, die sich ausschließlich durch 1 und durch sich selbst teilen lassen.

[ZITAT]:
Eine Primzahl (von lateinisch numerus primus ‚erste Zahl‘) ist eine natürliche Zahl, die genau zwei Teiler hat (und somit größer als 1 ist). Diese zwei Teiler sind 1 und die Zahl selber. Dabei bedeutet primus speziell „Anfang, das Erste (der Dinge)“, sodass eine „Anfangszahl“ gemeint ist, die aus keiner anderen natürlichen Zahl multiplikativ konstruiert werden kann.
[ZITAT ENDE] [gWiki1]

Dabei gilt jedoch im Hinblick auf die Eigenschaften der Primzahlen vorweg zu betonen, dass diese Festlegung von Eigenschaften der Primzahlen eben eine Festlegung bzw. Definition ist: jemand hat sich einmal Gedanken darüber gemacht, wie eine ganz bestimmte Zahlenart in ℕ - aufgrund ihrer Eigenschaften - zu beschreiben sei und diese Beschreibung damit quasi festgelegt: im Bereich der Primzahlen gibt es durchaus noch heute stellenweise diskutierte "Streitfälle" (die der oben genannten Definition der Primzahlen auf den ersten Blick standhalten, jedoch einer näheren Erörterung - bzw. sich allgemein einigenden Festlegung - aus mathematischer Sichtweise bedürfen. Daraus resultieren dann z.B. bisher Fragen wie:

"Ist die Zahl 1 wirklich keine Primzahl? Sie lässt sich doch nur durch sich selbst und 1 teilen."

[ZITAT]:
Seit hunderten von Jahren diskutieren Mathematiker, ob die Zahl 1 als Primzahl anzusehen ist. Bei dieser Frage handelt es sich nicht um eine mathematische Aussage oder Feststellung, sondern um eine Definition. Definitionen werden intuitiv und/oder pragmatisch begründet; sie sind subjektiv, können aber hinsichtlich ihrer Nützlichkeit durchaus objektiv bewertet werden.
(...)
Die Frage, ob 1 eine Primzahl ist, hängt also davon ab, was wir unter dem Begriff Primzahl intuitiv verstehen wollen und wie nützlich die Definition des Begriffs dann für die Formulierung von Theoremen ist.
(...)
Der bedeutende Mathematiker Godfrey Harold Hardy bezeichnete zum Beispiel noch im Jahr 1908 die Zahl 1 als Primzahl, aber spätestens im Jahr 1929 nicht mehr. Generell gilt seit dem 20. Jahrhundert unter den allermeisten Mathematikern die Übereinkunft, die Zahl 1 nicht zu den Primzahlen zu zählen.
[ZITAT ENDE] [gWiki1]

"Ist die Zahl 2 wirklich eine Primzahl? Sie ist doch die einzige gerade Primzahl als Erste in der Reihe der Primzahlen."

Nun, der gerade Zahlenwert 2 als einzige gerade sowie als erste der Primzahlen ist tatsächlich ein Phänomen im Zahlenraum der natürlichen Zahlen >1. Der Reigen des phänomenalen in der Primzahlforschung geht jedoch noch (ein wneig) so weiter: auch die natürliche Zahl mit dem Zahlenwert 5 ist als gleichzeitige Primzahle eine besondere Zahl, denn die Zahl 5 stellt die einzige Primzahl dar, die auf der Ziffer 5 endet, ganz gleich, von welchen Zahlengrößen bzw. Zahlenraumausschnitten wir sprechen.

Die oben gestellten Fragen scheinen also durchaus ihre Berechtigung zu haben, jedoch muss das vielzitierte Rad nicht permanent neu erfunden werden: die oben gestellten Fragen sind iun der Welt der Mathematik bereits hinlänglich erörtert worden und man hat sich weltweit bereits seit längerem geeinigt: solche allgemeinen Einigungsprozesse in der Mathematik sind nicht nur notwendig, damit mathematische Fragestellungen überhaupt und möglichst allgemeinverständlich bearbeitet werden können; sie machen darüber hinaus sogar einen gewissen Teil dessen aus, was Mathematik heute betreibt.
Bei allen Fragen die es zur Mathematik zu stellen gilt, bzw. die gestellt werden können gibt es deshalb keineswegs ferstgefügte Gegenargumente, die zu akzeptieren wären: über Mathematik und ihre modernen Herangegehnsweisen darf (und stellenweise muss) diskutiert werden um EInigungen als allgemeinverbindliche Grundlagen zu erhalten bzw. neue zu erzeugen - und in manchen möglicherweise seltenen Fällen vielleicht auch wieder über Bord zu werfen. Hierfür ist es jedoch notwendig, sich zunächst einmal über den allgemeinen Stand der Dinge zu informieren, damit dieselben Fragen nicht immer wieder von neuem gestellt werden und gleichartige Diskussionen - die in manchen Fällen sinnlos sein könnten - immer wieder von neuem zu beginnen.

Die Arbeitsfähigkeit der modernen Mathematik gründet sich also summa summarum darauf, wie man sich einigt und wie - z.B. bei neuartigen oder abweichenden Herangehensweisen - vorab definiert wird: so ist niemand gezwungen, eine einzige allgemeingültige Art der Darstellungsweise von Mathematik zu verwenden, denn die existiert eigentlich gar nicht. Dieses Gedankenspiel wiederum macht einen der Kernaspekte dfer Mathematik aus: welche sind die ursprünglichsten, die verbindlichsten - und valide nachweisbaren - Zusammenhänge in der Mathematik, die sich in z.B. in allgemeinverbindliche und der Allgemeinheit nutzende Formeln fassen lassen, damit möglichst viele Menschen Mathematik alltagstauglich anwenden können? Zu dieser Fragestellung darf gernen noch weitergeforscht werden und die Forschung zu dieser methodisch-didaktischen Fragestellung wird vielleicht auch niemals enden. Deutlich wird die Notwendigkeit dieses Diskutierens in der Mathematik, wenn wir uns z.B. die Ergebnisse von sog. PISA-Studien anschauen oder uns z.B. folgende fiktive Frage stellen:

"Wie würden wir einem Außerirdischen erklären, was natürliche Zahlen sind und wie würden wir ihm insbesondere das Phänomen der Primzahlen erklären?"

Viele gehen bei stellen dieser fiktiven Frage, die auf die eine oder andere Art und Weise gestellt werden kann möglicherweise automatisch davon aus, dass der Außerirdische ohnehin wissen muss, was natürliche Zahlen und Primzahlen als Phänomene sind, weil der Außerirdische es ja sonst wohl niemals geschafft hätte unseren Planeten, die Erde, zu besuchen, besser gesagt interstellar zu erreichen. Aber stimmt das? Muss ein Außerirdischer der die Erde besucht automatisch wissen was natürliche Zahlen und Primzahlen sind: nun, ich persönlich würde antworten, das ist gar nicht die Frage um die es geht. Die Frage um die es dabei geht ist ob und wie wir allgemeinverbindlich - zum Beispiel im Bereich der Mathematik - miteinander kommunizieren können, so dass möglichst viele - unabhängig von ihrer Herkunft und ihrer soziokulturellen Entwicklung nachvollziehen und idealerweise verstehen können - wovon wir überhaupt reden.
Auch wenn das fiktive Beispiel mit dem Außerirdischen abgedroschen sein mag: es zeigt immer wieder kristallklar auf, wobei es in der Vermittlung von Mathematik aus methodisch-didaktischer Sichtweise gehen sollte, damit die Mathematik möglichst gut nutzbar wird für möglichst alle Bereiche des alltäglichen Miteinanders; so auch z.B. für die Experimentalarchäologie.
Um es vorwegzunehmen: ich habe eine eigene Lösung dafür, wie ich einem Außerirdischen natürliche Zahlen und Primzahlen als Phänomene erklären würde um herauszufinden, ob der Außerirdische diese Phänomene kennt und wir darüber miteinander kommunizieren können (siehe Anhang 3 mit der zweidimensionalen Produkte-Entwicklungsmatrix der natürlichen Zahlen).
Mein - ganz persönlicher - Vorschlag gibt dabei nur einen von schier unzählig vielen möglichen Lösungswegen wieder. Mein Vorschlag weicht dabei ab von dem, was unter Mitwirkung von Carl Sagan im Zeitgeist der 70er auf den Plaketten der Voyager-Raumsonden (Voyager Golden Record) verweigt wurde in dem damals brennenden Bestreben danach, den Klärungsversuch der Frage da "ob wir allein im Universum sind" oder ob noch anderes Leben "irgendwo da draußen" existiert - in Angriff zu nehmen. Der Vorschlag und ist auch nicht direkt mit den Bestrebungen von SETI zu vergleichen, komplexe Zusammenhänge der Menschlichen Zivilisation in - z.B. mittels Radioteleskopen - kommunizierbare Bilder zu fassen [gWiki10/11/12/13]. Allerdings wäre auch mein Vorschlag durchaus vertonbar und in Chiffre´s [gWiki14] umsetzbar.
Ob dieser Vorschlag jedoch jemals auf teure goldenen Schallplatten gedruckt werden würde, steht natürlich in den Sternen - und das ist auch ganz gut so.

Ist die Behauptung dass Primzahlen die "Atome" der natürlichen Zahlen seien berechtigt?
Primzahlen werden gerne als die "Atome" der natürlichen Zahlen bezeichnet. Um es ohne Umschweife auf den Punkt zu bringen: ja, das kann man aus guten zahlentheoretischen Gründen tatsächlich so formulieren, wie noch aufgezeigt werden wird. Allerdings darf (und muss) dabei vorweg betont werden, dass Primzahlen aufgrund ihrer Eigenschaften zwar als "elementare" Zahlen im Zahlenraum der natürlichen Zahlen verstanden werden können und sich (gerade deshalb) - je nach Größe - sehr schwierig bis überhaupt nicht gut (oder auch gar nicht berechnen lassen), weil wir bis heute nicht über geeignete formale Lösungen und entsprechend erforderliche technische Möglichkeiten verfügen. Dies wiederum macht Primzahlen so interessant und wichtig u.a. für die heutige Kryptologie (siehe z.B. [gWiki14]).
Dabei wurden etwa solche Einsatzmöglichkeiten der Primzahlen bei deren Entdeckung und ausführlicherer Erforschung vor vielen Jahrhunderten und Jahrtausenden noch gar nicht so viel - oder auch gar keine - Aufmerksamkeit geschenkt, weil auch die Kryptologie in ihrer heutigen Form sich erst entwickeln musste: es gab für Primzahlen seit Anbeginn ihrer Entdeckung schlichtweg nicht die Einsatzmöglichkeiten, die Primzahlen heute ganz besonders auszeichnen. Besondere Primzahlen unter den Primzahlen erfahren dabei heute eine regelrecht sportlich umkämpfte gesellschaftliche Bewertung und Aufwertung: sog. Mersenne-Primzahlen und das Finden der jeweils nächstgrößeren (noch unbekannten) Mersenne-Primzahl animieren viele Menschen in der Welt, sich z.B. über das sog, verteilte Rechnen mit Mersenne-Primzahlen auseinander zu setzen (siehe [gWiki8]).
Einer der Gründe für die groß angelegte Suche nach Mersenne-Primzahlen mag die Aussicht auf Preisgelder sein (was jedoch statistisch gesehen mit Glücksfällen gleichzusetzen wäre). Von den Primzahlen und Mersenne-Primzahlen im Speziellen kann jedoch ein solcher mathematischer Reiz ausgehen, dass es Menschen gibt, die sich mit solchen Zahlenarten rein des Interesses und der Fasszination halber auseinandersetzen und es mag recht viele Menschen geben, die Mathematik lieben.
Mersenne-Primzahlen sind Primzahlen mit ganz bestimmten Eigenschaften. Eine existierende Mersenne-Primzahl liegt dann vor, von der Gleichung 2^n (also einer Potenz der Basis 2, siehe auch sog. Mersenne-Zahlen [gWiki2]) der Zahlenwert 1 abgezogen werden kann und dabei am Ende eine Primzahl herauskommt, z.B.:
(2^2) - 1 = (2*2) - 1 = 4 - 1 = 3

Deshalb lautet die Reihe der ersten Mersenne-Primzahlen in ℕ:
(hier) M(p) = Mersenne-Primzahl

mp ∈ ℕ = {3, 7, 31, 127, ...}

weil:
(2^2) - 1 = 3
(2^3) - 1 = 7
(2^5) - 1 = 31
(2^7) - 1 = 127

Dabei existieren bis heute nicht sehr viele bekannte Mersenne-Primzahlen, es kann aber bereits viel über die Eigenschaften dieser besonderen Zahlen ausgesagt werden (siehe gWiki2 u. 8]).
Primzahlen mit ihrer "atomaren" Sonderstellung im Zahlenraum der natürlichen Zahlen können für besonders interessierte zu einer tiefgreifenderen Auseinandersetzung mit der Zahlentheorie (also komplexerer höherer Mathematik) führen. Dabei können die Eigenschaften und "Verhaltensweisen" der natürlichen Zahlen und z.B. der Primzahlen auf den Ersten Blick regelrecht "simpel" auf den Betrachter wirken, verzweigen sich aber stellenweise in ungemein komplizierter werdende Details und Betrachtungen, je nachdem mit welchen Fragen zu den natürlichen Zahlen wir uns auseinandersetzen. Tatsächlich kristallisieren sich dabei manche besondere Fragestellungen, die natürlichen Zahlen (und damit auch andere Zahlbereiche betreffend) heraus, die so komplex sind dass sie bis heute - trotz größter Bemühungen - nicht beantwortet werden konnten. Geschuldet ist dies neben anderem der Tatsache dass bestimmte Zusammenhänge in der Welt der Mathematik anbetrachts der uns heute zur Verfügung stehenden mathematischen Instrumentarien (bzw. mathematischen "Werkzeuge und Methoden") als gegeben vorausgesetzt werden müssen, um überhaupt mathematische Aussagen treffen zu können. Solche unverrückbaren Grundlagen der Mathematik, die aufgrund ihrer Merkmale nicht bewiesen müssen, bzw. stellenweise auch gar nicht (bzw. noch nicht) bewiesen werden können, werden in der Mathematik als Axiome bezeichnet: für die Bearbeitung mancher mathematischer Fragestellungen müssen Axiome als Grundlage vorausgesetzt werden, damit überhaupt mathematisch zu den spezifischen Fragestellungen gearbeitet werden kann. Manche mathematische Fragestellungen - und deren seit längerem angestrebte Beantwortung - wurden dabei bereits vor etwa einem Jahrhundert als so bedeutend eingestuft, dass sie auf eine "Liste" der bedeutendsten mathematischen Fragestellungen unserer Zeit gesetzt wurden. Eine dieser Listen erstellte der Mathematiker David Hilbert (1862 - 1943), der für Albert Einstein (dessen Relativitätstheorie [Suatoy, 2013] [gWiki15] mathematisch formulierte; siehe Hilberts Liste von 23 mathematischen Problemen [gWiki3]:
Hilbert lenkte mit der Auflistung von - Hilberts Ansicht nach - 23 besonders wichtigen mathematischen Fragestellungen einen Aspekt in der Betrachtung der modernen Mathematik auf die "Bewertung" der gesellschaftlichen Bedeutung der Mathematik: da solche Bewertung stets auch anwendungsorientiert ist (bzw. war), kann also durchaus weiterhin darüber gestritten und diskutiert werden, ob etwa Hilberts Liste überhaupt vollständig ist und die stimmigen mathematischen Herausforderungen unserer Zeit in richtiger Reihenfolge auflistet. Hilberts Grundintention aber war - ob seine Liste nun insgesamt stimmig war oder nicht - eine wesentliche für die gesellschaftliche Bedeutung und gesellschaftliche Wahrnehmung der Mathematik und spiegelte einen bestimmten Zeitgeist. Seit Hilberts Liste von 23 mathematischen Problemen hat sich die Mathematik stellenweise rasant weiterentwickelt. Stellenweise tritt sie jedoch immer noch auf der Stelle und kommt nicht voran: dies mag der Art und Weise geschuldet sein, wie unsere Gesellschaften heutzutage - in Rückbesinnung auf die Vergangenheit - Mathematik unterrichten, vermitteln und praktizieren. Es besteht jedoch eine nicht unerhebliche gewisse Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich bestimmte mathematische Fragestellungen vielleicht niemals (vollständig) lösen lassen. Einen Vorteil hat diese Unvollständigkeit dabei - wenn man das so sehen mag: es gibt weiterhin einiges im Bereich der Mathematik zu beforschen und es bleibt nach wie vor spannend in der Mathematik. In mathematischen Bereichen, in denen vermutlich noch sehr lage Zeit großerer VErbesserungsbedarf bestehen wird, ist die sog. Didaktik der Mathematik, also die Auseinandersetzung mit der Frage, wie sich mathematische Fragstellungen gut methodisch und didaktisch vermitteln lassen. Dieses Forschungsfeld scheint trotz intensiver gesellschaftlicher Bemühungen noch in den Kinderschuhen zu stecken, dies nicht zuletzt, weil die Frage nach einer gut rezipierbaren und individuell fördernden Vermittlung der Mathematik stets auch - und insbesondere - mit demjenigen steht und fällt, der mathematische Inhalte vermittelt. Ich persönlich kann dabei zu mindestens aus meiner eigenen Schul- und Ausbildungszeit darüber berichten, dass der Mathematik als Unterrichtsfach und damit der gut rezipierbaren und individuellen Vermittlung von mathematischen Inhalten zu wenig Freiraum für Ganzheitlichkeit, Innovationen und Kreativität ermöglicht wurde: die Frage, wie wir Mathematik gut begreifen können, hängt nicht zuletzt vor allem auch von uns selbst und unserer individuellen Disposition ab und dieser Punkt darf bei methodisch-didaktischen Fragestellungen im Bereich der Mathematik keinesfalls vernachlässigt werden.
Es muss im Bereich der Mathematik also auch zukünftig noch viel - und beharrlich - weitergefragt werden.
Dabei ist es - so kann man es wohl formulieren - für manche mathematische Fragestellungen (das betrifft auch z.B. methodisch-didaktische Fragestellungen) alles andere als "einfach" diese zu beantworten (sofern sich manche Fragestellungen überhaupt jemals beantworten lassen) und so mancher mathematikaffiner Mensch hat sich an solchen Fragestellunegn bereits die sprichwörtlichen "Zähne ausgebissen". Ab und zu kommt es jedoch - allerdings wohl äußerst selten - tatsächlich vor, dass auch einmal eine solcher mathematischen Fragestellungen tatsächlich beantwortet wird: darauf folgt dann i.d.R. eine ausführliche Begutachtung der Beantwortung solcher Fragestellungen und manchmal kommt es auch hierbei wiederum vor, dass Menschen, die Lösungen zu spezifischen Fragestellungen vorgelegt haben, schließlich widerlegt werden.
Zu solchen wesentlichen mathematischen Fragestellungen mit denen sich die moderne Mathematik noch heute intensivst auseinandersetzt und bisher keine wirkliche Lösung gefunden hat, gehören z.B. bestimmte grundlegende Aspekte der Eigenschaften von Primzahlen. Zum Ausdruck kommt dieses noch heute andauernde Ringen mit den Grundlagen der Mathematik (bzw. hier im speziellen mit zahlentheorischen Grundlagen) etwa bei Betrachtung der sog. Goldbach´schen Vermutungen (gemeint sind hiermit die Primzahlen und ihre grundlegenden Eigenschaften betreffende sog. schwache ternäre Goldbach´sche Vermutung und die sog. starke binäre Goldbach´sche Vermutung). Aus den weiteren Erläuterungen wird dabei noch deutlich hervorgehen, dass beide Vermutungen Goldbach´s eigentlich zusammengehören.

Die schwache (ternäre) und die starke (binäre) Goldbach´sche Vermutung
In einem Briefwechsel mit dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler (1707 - 11783) formulierte der ebenfalls der gebürtige Schweizer, der Mathematiker Christian Goldbach (1690 - 1764) im Jahre 1742 seine heute berühmte sog. Goldbach´sche Vermutung. Die spezifizierter sog. starke binäre Goldbach´sche Vermutung besagt (formuliert als Vermutung Goldbach´s) dass jede gerade natürliche Zahl >2 sich auf mindestens eine Art und Weise als Summe zweier Primzahlen geschrieben werden kann. Die stasrke binäre Goldbach´sche Vermutung ist leicht zu formulieren, wurde jedoch bis heute nicht bewiesen. [Reiss / Schmieder, 2007,33] [Sautoy, 2013,61]. Obwohl das (starke binäre) sog. Goldbach´sche Problem in der Grundannahme so simpel erscheint, ist es möglicherweise überhaupt nicht möglich, dieses mathematische Grundlagenproblem jemals zu lösen, weil uns - möglicherweise - auch heute die dafür erforderlichen mathematischen Instrumentarien fehlen. Möglicherweise lässt sich diese mathematische Frage aber auch niemals beantworten, weil sie potenziell unbeantwortbar ist.
Dahingegen ist es heute bereits (mutmaßlich; siehe folgendes Zitat) gelungen, die sog.- schwache ternäre Goldbach´sche Vermutung (nach meinem aktuellen Verständnis zumindestens ansatzweise) zu beweisen:

[ZITAT]:
Die schwächere Vermutung (gemeint ist hiermit die schwache ternäre Goldbach´sche Vermutung, Anm, des Verf.)
"Jede ungerade Zahl, die größer als 5 ist, ist Summe dreier Primzahlen".
ist als ternäre oder schwache Goldbachsche Vermutung bekannt. Sie ist teilweise gelöst: Denn einerseits gilt sie, wenn die verallgemeinerte Riemannsche Vermutung richtig ist, und andererseits ist gezeigt, dass sie für alle genügend großen Zahlen gilt (Satz von Winogradow, siehe Verwandte Resultate).
[ZITAT ENDE] [gWiki19]

(Hinweis des Verf.: Anführungszeichen für wörtliche Rede bzw. Hervorhebung wie bei Wikipedia mit blau eingefärbtem Font (spezifisch verwendeter Schriftsatz der deutschsprachigen Wikipedia) üblich wurde hier durch Anführungszeichen vom Verfasser ersetzt).

Die schwache (ternäre) Goldbach´sche Vermutung formulierte demnach im Hinblick auf die grundlegenden Eigenschaften von Primzahlen entsprechend die Frage, ob sich jede natürliche Zahl >5 als Summe dreier Primzahlen schreiben lässt (deshalb der Begriff "ternär"; siehe [gWiki20] zum Thema lateinische Zahlwörter) .

Durch den Beweis der schwachen (ternären) Goldbach´schen Vermutung wurde die Vermutung schließlich zum (anerkannten) Theorem. Der Vorteil der Anerkennung von Theoremen in der Mathematik liegt darin, dass sie für mathematische Beweisführungen verbindlicher verwendet werden können als Vermutungen, weil Mathematiker damit nicht immer wieder bei sprichwörtlich "Null anfangen und das Rad neu erfinden müssen". Die gesamte moderne Mathematik baut auf sog. Beweisen und daraus ableitbaren Theoremen auf, weil sie ansonsten gar keine wirklich verwertbaren Resultate liefern würde: mit Intuition und "Bauchgefühl" kann man zwar auch im Bereich der Mathematik das eine oder andere Ergebnis erzeugen, das am Ende sogar stimmen mag, aber das wäre z.B. vergleichbar mit einer Prüfung bei der nach Intuition und Bauchgefühl Fragen als richtig oder falsch angekreuzt werden würden. Statistisch gesehen bestünde dabei sogar die Chance, auch in einer sog. Multiple Choice Prüfung durch kathegorisches Ankreuzen (z.B. stetiges Ankreuzen der Antwort B ohne dahinterstehende Überlegung ob die Antwort B überhaupt richtig ist) zu positiven Bewertungsergebnjssen zu gelangen. Das wäre jedoch reine Glückssache, ist keinesfalls zur Nachahmung zu empfehlen und liegt auch nicht im ursprünglichen Sinn von Prüfungen: genau so hält es die Mathematik seit der Entstehung mathematischen Denkens und der Fortentwicklung zur modernen Mathematik: die Mathematik will sich nicht auf Vermutungen berufen, sie sucht Beweise. Um so fataler für die noch heute stellenweise auf der Stelle tretende Mathematik, wenn solche Beweise seit Jahrhunderten ausbleiben - wie etwa im Falle der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung: die moderne Mathematik kommt im Bereich der modernen Primzahlforschung also stellenweise nicht weiter - und das bereits seit langem.
Wie sich die Systematik der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung übersichtlich strukturiert gut darstellen und vermitteln lässt, zeigt das von mir ersonnene Beispiel der von mir sog. Bolle´schen Matrix: die Bolle´sche Matrix erläutert die summenbildenden Eigenschaften der natürlichen Zahlen auf anschauliche Art und Weise und kombiniert diese mit einem gespiegelt gedoppelten Siebungsverfahren nach dem adaptierten Vorbild des Siebs des Eratosthenes (mehr dazu später, siehe Anhänge 4 u. 5).
Die Bolle'sche Matrix (oder auch Bolle'sche Matrix nach Hoppe, 2023) ist keinesfalls zu verwechseln mit der Booleschen Algebra [gWiki18].
Wie sich die aus der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung resultierende Fragestellung z.B. in Form eines tabellarischen Dokuments - bei entsprechendem Aufwand - übersichtlich und gut strukturiert darstellen lässt, wird im Abbildungs-Anhang dieses Themenbeitrags erläutert (siehe Anhang 6, folgt baldmöglich).

Tricks für das annähernde Bestimmen von Primzahlen
In der komplexen Welt der modernen Primzahlforschung haben sich einige grundlegende Vorgehensweise zur Eingrenzung der Frage ob es sich bei einer natürlichen Zahl um eine Primzahl handelt, herauskristallisiert. Vielfach werden diese für eine erste Eingrenzung der Fragestellung (insbesondere bei größeren Zahlen) verwendet, ob es sich um eine Primzahl handeln könnte oder nicht. Im Anschluss an die ersten Tricks, die grobe Eingrenzungsergebnisse liefern, erfolgen dann häufig komplexer werdende sog. Primzahltests. Einige grundlegende dieser Tricks sind dabei auch ohne komplexere Kenntnisse über die Materie für den "alltäglichen Hausgebrauch" geeignet, denn nicht jeder Mensch kennt z.B. die ersten Primzahlen zwischen dem Zahlenwert 1 und 100 = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97} auswendig. Einer dieser (hier nur beispielhaft angeführten Tricks ist die (hier) sog. "Quersummenmethode":

Aus jeder natürlichen Zahl >9 lässt sich eine Quersumme bilden: hierfür wird ein Zahlenwert "in einzelne Glieder zerlegt", die anschließend summiert (addiert) werden. Dieser Vorgang wird bei entsprechend größeren Zahlen solange wiederholt bis am Ende ein einzige Ziffer als Zahlenwert dabei herauskommt. Der Zahlenwert der am Ende einer solchen Rechenoperation herauskommt wird üblicherweise Quersumme genannt.

Beispiele für die Quersummenbildung:
(QS = Quersumme; die folgenden Betrachtungen gelten für das Dezimalsystem)
10; 1+0 = 1; QS = 1
11; 1+1 = 2; QS = 2
15; 1+5 = 6; QS = 6
17; 1+7 = 8; QS = 8
97; 9+7 = 16; 1+6 = 7; QS = 7
123; 1+2+3 = 6; QS = 6

Entsprechende (hinlänglich bekannte) Eingrenzungen (durch Vorab-Feststellungen) helfen nun, die Quersummenmethode auf die Suche und ungefähre (aber ggf. noch nicht ohne weitere Beweisschritte) eingrenzbare Zahlenwerte anzuwenden, die eventuell eine Primzahl sein können, diese sind:

Eingrenzung A: Die Zahl 2 ist die einzige gerade Primzahl unter den Primzahlen. Mit dieser Eingrenzung kommt bereits ein sehr großer Teil der natürlichen Zahlen nicht als Primzahlen in Betracht. Je nachdem wie groß der Zahlenraum ist, den wir analysieren, lässt sich exakt berechnen wie groß der Anteil der natürlichen Zahlen ist die anhand dieser Eingrenzung verlässlich keine Primzahlen sein können:
ug = ungerade Zahl
g = gerade Zahl

UG in N = {1, 3, 5, 7, 9 ...}; g in N = {2, 4, 6, 8, 10 ...}

beispielhaft betrachteter Zahlenraum ug,g in N(1 ... 12):
N(1 ... 12) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
ug in N(1 ... 12) = {1, 3, 5, 7, 9, 11}
g in N(1 ... 12) = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

Der hier resultierende "Ausschuss" in N(1 ... 12), also die Zahlenwerte in N(1 ... 12) die keine Primzahlen sein können beträgt demnach (bei Abzählen der Zahlen):
(12 : 2) - 1

Weil die Zahl 2 gemeinhin als (einzige gerade) Primzahl im Zahlenraum der natürlichen Zahlen definiert wird, enthält der betrachtete Zahlenraum N(1 ... 12) exakt eine Anzahl weniger als die Hälfte aller im betrachteten Zahlenraum enthaltenen Zahlen in Form, von geraden Zahlen. Somit kann die Eingrenzung ders betrachteten Zahlenraums bei der Suche nach Primzahlen über die Quersumme auf (50 - 1/12)% festgelegt werden, weil:
50% = Anzahl der geraden Zahlen sowie die Hälfte aller Zahlen in N(1 ... 12)
2 in N(1 ... 12) = 1/12 aller Zahlen in N(1 ... 12)

Es können also für die Anwendung der Quersummenmethode (mit Ausnahme des Zahlenwerts 2 als erste Primzahl in N(1 ... ∞) sämtliche geraden Zahlenwerte in N(1 ... ∞) die also auf einer geraden Ziffer enden eliminiert werden.

Eingrenzung B:
Der Zahlenwert 5 ist eine Primzahl. Die 5 ist (logischerweise) die einzige Zahl in der Vervielfachungsreihe des Grundwerts 5, die eine Primzahl darstellt. Daraus resultiert, dass sämtliche anderen Zahlenwerte im Zahlenraum N(1 ... ∞) die auf der Ziffer 0 oder 5 enden, eliminiert werden können, weil in der Auseinandersetzung mit natürlichen Zahlen zu entdecken ist, dass jede beliebige Vervielfachung des Zahlenwerts 5 im Ergebnis einen Zahlenwert produziert der auf der Ziffer 0 oder der Ziffer 5 endet, z.B. Bei diesem Zusammenhang handelt es sich um ein bekanntes Axiom, dass hier deshalb nicht der Anführung eines weiteren Grundlagenbeweises bedarf:
2 * 5 = 10; 3 * 5 = 15; 4 * 5 = 20; 5 * 5 = 25; 6 * 5 = 30; 7 * 5 = 35 usw. usf.
Aufgrund dieses geschilderten Zusammenhangs können (je nach Größe eines zu betrachteten Zahlenraums also sämtliche Zahlenwerte in N die auf der Ziffer 0 oder der Ziffer 5 enden, eliminiert werden. Würden wir Beispielsweise den Zahlenraum N(1 ... 15) dahingehend analysieren, würden von 15 Zahlenwerten aufgrund ihrer Eigenschaft dass sie auf der Ziffer 5 oder der Ziffer 0 enden, mit Ausnahme des Zahlenwerts 5 sämtliche anderen Zahlenwerte dieser Art nicht als Primzahl in Frage kommen, in diesem Fall sind das die Zahlenwerte 10 und 15:
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}

und schließlich:

Eingrenzung C:
Primzahlen stellen per Definition - mit einziger Ausnahme des Zahlenwerts 2 als Primzahl - ungerade natürliche Zahlenwerte dar. Dabei gilt dass jede Vervielfachung des Ursprungszzahlenwerts 3 der eine Primzahl darstellt, in einer Quersummen-Konstellation auf den Ziffern 3, 6, oder 9 endet. Durch Analyse der Vervielfachungsreihe des Zahlenwerts 3 wird also deutlich, dass ungerade natürliche Zahlen, die eine Quersumme ergeben, die auf den Ziffern 3, 6 oder 9 enden und >3 sind, keine Primzahlen sein können, z.B.:
1 = 1QS, 2 = 2QS, 3 = 3QS, 4 = 4QS, 5 = 5QS, (6 = 6QS), 7 = 7QS, 8 = 8QS, (9 = 9QS), 10 = 1QS, 11 = 2QS, (12 = 3QS), 13 = 4QS, 14 = 5QS, (15 = 6QS), 16 = 7QS, 17 = 8QS, (18 = 9QS), usw. usf.

weil (Vervielfachungsreigen des natürlichen Zahlenwerts 3):
1 * 3 = 3; 3QS
2 * 3 = 6; 6QS
3 * 3 = 9 = 9QS
- (Quersummen-Wiederholungsfolge) -
4 * 3 = 12 = 3QS
5 * 3 = 15 = 6QS
6 * 3 = 18 = 9QS
- (Quersummen-Wiederholungsfolge) -
7 * 3 = 21 = 3 QS
8 * 3 = 24 = 6QS

Im Hinblick auf die vorgenannten Argumente erhalten wir so bereits eine erste (grobe) Möglichkeit, Zahlenwerte in N zu eliminieren, die keine Primzahlen sein können, wenn wir die jeweilige Quersumme betrachten, die sich aus einem Zahlenwert bilden lässt. Diese Systematik funktioniert, weil der (hier sog.) Quersummenreigen ein ganz bestimmtes, systemisch-strukturiertes Abbild von Zahlenwerten als schließlich am Ende von Quersummenoperationen ausgegebenen Quersummen erzeugt. Von entscheidender Bedetung und besonderem Interersse hierbei sind auch die entsprechend charakteristischen Wiederholungsfolgen im Quersummenreigen in N:.

Wiederholungsfolgen im Quersummenreigen in N:
bei N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }
0 = 0 QS, 1 = 1 QS, 2 = 2 QS, 3 =3 QS, 4 = 4 QS, 5 = 5QS, 6 = 6 QS, 7 = 7QS, 8 = 8 QS, 9 = 9 QS, 10 = 1 QS, 11 = 2 QS, 12 = 3 QS, 13 = 4 QS, 14 = 5 QS, 15 = 6 QS, 16 = 7 QS, 17 = 8 QS, 18 = 9 QS, 19 = 1 QS, 20 = 2 QS usw. usf.

In der beispielhaften Betrachtung des Zahlenraumausschnitts aus N(1 ... ∞) bei N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} mit N = {1 ... 20) resultiert daraus, dass die Zahlenwerte {, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20} in N(1 ... 20) keine Primzahlen sein können. Aus den geschilderten Zusammenhängen zur Anwendung der Quersummenmethode läst sich bereits ein (lückenhaftes und grobes) Aussiebungsprinzip für den Zahlenraum der natürlichen Zahlen z.B. handschriftlich auf Tafel oder Papier oder etwa mit einer gängigen Tabellenkalkulationssoftware bewerkstelligen. Hierfür lassen sich die spezifischen Quersummenregelungen wiederum zusammenfassen: so löschen die sämtlichen Vielfachen des Grundzahlenwerts 2 automatisch sämtliche geraden Zahlenwerte aus und damit auch die im Hinblick auf die Quersummenmethode relevanten Zahlenwerte die als Quersumme die Ziffern 0 und 6 ausgeben. So genügt es für Anwendung dieser speziellen Methode, lediglich 3 Spalten mit entsprechenden Vervielfachungen anzuwenden (siehe Beispiel im Anhang 1).

Sind Primzahlen wirklich "die Atome" der natürlichen Zahlen? Und wenn ja, weshalb?
Weshalb sollten ausgerechnet Primzahlen als Zahlenart, mit der sich die mathematische Auseinandersetzung (je nach Fragestellung und Anspruch) als äußerst komplex und schwierig erweisen kann, als "Atome" der natürlichen Zahlen angesehen werden? Gibt es nicht Zahlenarten, mit denen sich natürliche Zahlen, ihre Ursprünge und Zusammensetzungen wesentlich besser (im Sinne von "einfacher") ausdrücken lassen? Ja, solche Zahlen existieren tatsächlich (z.B. Fibonacci-Zahlen, Dreickszahlen, Quadratzahlen uva.). Mit solchen zahlenarten lässt sich ebenfalls - und dabei sehr übersichtlich und strukturiert eine systemisch-ganzehitliche Bezugnahme jedes Zahlenwerts in N auf andere Zahlenwerte ermöglichen.
Bei Anwendung einer spezifischen Methode, die strukturellen Eigenschaften des Zahlenraums der natürlichen zahlen zu erläutern ist also stets auch die Frage entscheiden, werlcher Ansatz für eine Erläuterung gewählt wird und welchen Zweck dieser Ansatz - auch in methodisch-didaktischer Hinsicht - erfüllen soll: Im zahlenraum der natürlichen zahlen existiert eigentlich gar kein universelles Strukturierungsprinzip des zahlenraums, dass sämtliche Aspekte "am besten" zum Ausdruck bringen und erläutern kann: es kommt bei solcher Absicht immer darauf an, welche analystischen Ziele verfolgt werden.
Primzahlen eigenen sich alles andere als "gut und simpel" um die strukturellen Eigenschaften und Phänomene des Zahlenraums der natürlichen Zahlen zum Ausdruck zu bringen. Andere Zahlenarten in N eigenn sich dafür (eigentlich) wesentlich besser, z.B. Dreieckszahlen und Quadratzahlen. Der große Vorteil der Primzahlen mit ihrem produktbildungsorientierten Alleinstellungsmerkmal im Zahlenraum der natürlichen Zahlen liegt jedoch darin, dass es sich bei Primzahlen aufgrund ihrer Eigenschaften offensichtlich um die einzige Zahlenart in N handelt, die am Ende von Rechenoperationen ausgeschüttet wird und übrigbleibt, wenn sämtliche überhaupt möglichen ganzzahligen Zerlegungseigenschaften von natürlichen Zahlen angewendet und berücksichtigt werden.
Primzahlen stehen aufgrund ihrer Eigenschaften stets in direktem und unmittelbarem Zusammenhang der ganzzahligen Zerlegung von Zahlenwerten. Damit bringen Primzahlen den mit Primzahlen möglichen Ausdruck der strukturellen Eigenschaften des Zahlenraums der natürlichen Zahlen stets und automatisch in zwangsläugfige Verbindung mit dem Begriff der Produktbildung. Daraus resultiert, dass Primzahlen, Produktbildungseigenschaften und die Zerlegungsmöglichkeiten von natürlichen Zahlenwerten in Faktoren in einem Zusammenhang genannt und betrachtet werden müssen (bzw. sollten): Primzahlen und ihre definierten Eigenschaften nehmen Bezug auf die Zusammensetzungseigenschaften von natürlichen Zahlen und die definierte Existenz von Primzahlen definiert damit den Unterschied zwischen sog. zusammengesetzten Zahlen und eben Primzahlen (als Zahlenart in N, die als "nicht zusammengesetzt" bezeichnet werden kann. Schauen wir uns noch einmal eine kleine Auswahl beispielhaft ausgewählter natürlicher Zahlen an, wird dies deutlicher:

Die natürlichen Zahlen 4, 6, 8, 9, 10, 12 >1 in N(1 ... 12) können als "zusammengesetzt" bezeichnet werden, weil sie sich durch mehr als zwei Teiler teilen lassen: die genannten zahlen lassen sich also durch mehr Teiler als durch 1 und sich selbst teilen, weil (hier mit Darstellung auch der "spiegelverkehrten" Teilerumkehrung:
4 : 4 = 1; 4 : 2 = 2, 4 : 1 = 4
6 : 6 = 1; 6 : 3 = 2; 6 : 2 = 3; 6 : 1 = 6
8 : 8 = 1; 8 : 4 = 2; 8 : 2 = 4; 8 : 1 = 8
9 : 9 = 1; 9 : 3 = 3; 9 : 1 = 9
10 : 10 = 1; 10 : 5 = 2; 10 : 2 = 5; 10 : 1 = 10
12 : 12 = 1; 12 : 6 = 2; 12 : 4 = 3; 12 : 3 = 4; 12 : 2 = 6; 12 : 1 = 12

zum Vergleich die Teilereigenschaften der Primzahlen in N(1 ... 12):
2 : 2 = 1; 2 : 1 = 2
3 : 3 = 1; 3 : 1 = 3
5 : 5 = 1; 5 : 1 = 5
7 : 7 = 1; 7 : 1 = 7
11 : 11 = 1; 11 : 1 = 11

Mit anderen Zahlenarten in N als Primzahlen lassen sich strukturelle Aspekte des Zahlenraums der natürlichen Zahlen übersichtlich beschreiben. Solche Zahlenarten in N sind mit den Primzahlen und ihrem Alleinstellungsmerkmal in puncto Hervorhebung der produktbildenden Eigenschaften sowie der Teilbarkeitseigenschaften von natürlichen Zahlen jedoch nicht zu vergleichen.
Bei der Frage nach den Primzahlen geht es insgesamt nicht nur um "möglichst einfache Wege in der Anwendung von spezifischer Mathematik, sondern eben um das Herauskristallisieren von ursächlichen Prinzipien, die im analysierten Zahlenraum der natürlichen Zahlen zwischen den Zahlen wirken und über die sich die natürlichen Zahlen damit definieren lassen. Aus solcher Anwendung kann dabei nicht nur ein z.B. philosophischer, sondern auch ein alltagspragmatischer Nutzen resultieren: etwa so - oder zumindestens so ähnlich dürfte sich der Antrieb der alten Griechen vor über 2000 Jahren gestaltet haben, als sie sich erstmals mit dem Phänomen der auf ein "maximales Minimum" eingegrenzten Teilbarkeit von Zahlen fokussierten: die alten Griechen versuchten damit wohl herauszufinden, welche unmittelbarsten Wirkweisen (natürliche) Zahlen beherrschen und zu dem machen, was sie sind.
Primzahlen definieren sich über ihre Teilbarkeitseigenschaften sowie ihre daraus resultierenden Eigenschaften als Faktoren zur Bildung von Produkten, das war bereits Eratosthenes (von Kyrene, 3. Jhd. vor unserer Zeitrechnung) bewusst als er sein Sieb des Eratosthenes ersonn, um Primzahlen aus den natürlichen Zahlen heraus zu generieren, indem er quasi alle anderen Zahlenarten im mathematischen Sinne durch spezielle "Siebungsvorgänge" entfernte.

Die Funktionsweise des Siebs des Eratosthenes
Wie das Sieb des Eratosthenes funktioniert, ist rasch erklärt: Wird jede Zahl (also jeder Zahlenwert) - dabei ausgehend vom ursprünglichsten Zahlenwert 1 (bzw. "Null" - je nach Definition der natürlichen Zahlen) - vervielfacht, entstehen daraus sog. zusammengesetzte Zahlen, die in der Mathematik als zusammengesetzt bezeichnet werden, weil sie sich eben durch mehr Teiler als die Teiler 1 und durch die jeweilige Zahl selbst teilen lassen, die ursprünglich vervielfacht wurde. So lässt sich etwa die Zahl 7 ausschließlich durch sich selbst und 1 teilen weshalb sie eine Primzahl ist, während etwa die Zahl 8 als zusammengesetzte natürliche Zahl betrachtet werden kann, weil sich 8 durch die Teiler 8, 4, 2, und 1 teilen lässt.
Der dem Sieb des Eratosthenes zugrundeliegende Algorhitmus erzeugt ein vollständig-lückenloses Abbild eines analysierten Zahlenraums im N im Hinblick auf die Frage, wieviele Primzahlen darin enthalten sind. Das Problem bei Anwendung des Siebverfahrens nach Eratosthenes ist, dass es sich um ein maximal-aufwändiges Verfahren handelt: der Algorhitmus funktioniert nur dann mit Ausgabe eines lückenlosen Ergebnisses für einen spezifisch analysierten Zahlenraum, wenn jedes tatsächlich in diesem Zahlenraum vorkommende Analyseglied erfasst wird. Im Klartext bedeutet dies, dass jede einzelne im analysierten Zahlenraum vorkommender Zahlenwert im Hinblick auf seine Teilbarkeitseigenschaften bzw. Zerlegungsmöglichkeitne hin untersucht werden muss. Damit ist das Sieb des Eratostenes z.B. in Ausführung als "Formular" - je nach angewendeter Methode - sehr zeitaufwändig und arbeitsintensiv. Außerdem lassen sich mit dem Sieb des Eratosthenes - aufgrund des damit einhergehenden Aufwands - nur sehr kleine Zahlenräume in N im Hinblick auf die darin enthaltenen Primzahlen untersuchen: die Suche nach den Primzahlen muss dabei stets an der Basis (mit dem Zahlenwert 1) beginnen und von dort lückenlos aufgebaut werden. deutlich wird dieser Zusammenhang in der adaptierten Anwendung des Siebverfahrens des Eratosthenes wie im hier verwendeten Beispiel (siehe Anhang 2, folgt baldmöglich); für mehr Informationen zum Sieb des Eratosthenes siehe [gWiki5].
Die Suche nach Primzahlen kann sich also insgesdamt - je nach verwendeter Methode, je nach Stand des Wissens einer jeweiligen Zeit) als sehr aufwendig und auch mühevoll gestalteten. Da wundert es nicht, dass Menschen die sich mit den Primzahlen auseinandersetzen, rasch nach vereinfachenden Methoden suchten und diese stellenweise - auch in Verbindung mit dem Fortschritt udn der Weiterentwicklung von z.B. EDV - auch fanden. Dennoch biss sich bis heute mancher Forschender an den Primzahlen regelrecht die Zähen aus und mag auch an diesen verzweifelt sein: so gelang es etwa auch Srinivasa Ramanujan (1887 - 1920) - trotz intensivster Bemühungen nicht, eine vereinfachte und leicht anwendbare Methode zur Berechnung von Primzahlen zu finden [Sautoy,2013]. Trotz intensivster Bemühungen und daraus resultierender Erfolge - so wie etwa bei den alten Griechen, Gauß, Hardy und Littlewood, um nur einen ganz kleinen (und äußerst groben) "Querüberschlag" durch die Geschichte der Primzahlforschung vorzunehmen, gelang es der Menschheit bis heute nicht, das "Mysterium" der Primzahlen und vor allem gut rezipierbar in Gänze zu lösen. Dabei fällt mir außerdem auf, dass schwerpunktmäßig von den Erfolgen (und Misserfolgen) männlicher Mathematiker auf diesem Gebiet berichtet wird und die Rolle von Frauen und diversen Menschen in diesem Bereich irgendwie nicht so richtig existiert, oder möglicherweise einfach zu wenig Beachtung findet.

Alternative Definition für Primzahlen
Primzahlen lassen sich alternativ (wahlweise) auch auf ganz andere Art und Weise definieren: eine mögliche Definition der Primzahlen kann z.B. über die Summendefinition von natürlichen Zahlen erfolgen. Primzahlen können in der Summendefinition als Zahlen definiert und bezeichnet werden, auf die folgende Eigenschaft zutrifft:

In der Summendefinition (mit Affinität zur bereits erläuterten hier sog. Summenkaskade in N) lassen sich Primzahlen als Zahlen definieren, die sich als Summe aus zwei direkt aufeinanderfolgenden Zahlen (und damit in der spezifischen Summe insgesamt aus einer spezifischen ungeraden und geraden natürlichen Zahl zusammensetzen wobei folgende Ausnahmen zwingend - je nach Definition - gelten:

1te Ausnahme: die Primzahl 2 (als erste Primzahl in N) ist die einzige Primzahl, die sich aus der Summierung zweier ungerader Zahlen (in diesem Fall aus der Summierung von 1 + 1) summarisch zusammensetzt.

2te Ausnahme: jede Summierung zweier direkt aufeinanderfolgender natürlichen Zahlen (bei der Bedingung dass eine der Zahlen ungerade und die andere gerade ist), die sich durch weitere Teiler als die Teiler 1 und die Zahl selbst als Teiler teilen lässt, ist keine Primzahl - logisch (siehe die allgemeingültige Definition der Primzahlen).

3te Ausnahme: Gerade Zahlenwerte die sich aus der Summierung ein und derselben geraden Zahl als Verdopplung ergeben, können keine Primzahl sein (logisch): weil gerade Zahlen mit Ausnahme der Zahl 2 als erste Primzahl in N (per Definition) keine Primzahl sein können.

Aus diesen Bedingungen resultiert also außerdem, dass jede Primzahl >2 eine ungerade natürliche Zahl ist (bzw. sein muss).

So setzt sich z.B. die Zahl 7 als Primzahl als Summe aus den direkt aufeinanderfolgenden Zahlenwerten 3 + 4 zusammen, während die Zahl 8 als Summe des verdoppelten Zahlenwerts 4 durch die Teiler 8, 4, 2 und 1 teilbar ist.

Weshalb die erweiternde Betrachtung der Primzahlen in der Unterscheidung zwischen einer Zahlenbwertbvvildung als Produkt und der Zahlenwertbildung als Summe für die Gesamtbetrachtrung der Primzahlen und die Abgrenzung der Primzahlen zu anderen zahlenarten in N so wichtig ist, wird im folgenden erörtert.

Für eine möglichst ganzheitliche Betrachtung der Primzahlen und ihrer Eigenschaften ist es sehr sinnvoll, einer Betrachtung der Produktbildenden Eigenschaften eine Betrachtung der Summenbildenden Eigenschaften von Primzahlen vorzuschalten, bzw. beides gleichberechtigt miteinander zu kombinieren. Begründbar ist dies damit, dass sich aus den summenbildenden Eigenschaften von natürlichen Zahlen sehr gut übersichtlich und strukturiert die produktbildenden Eigenschaften von natürlichen Zahlen ableiten lassen. Umgekehrt ist dies nur unter Schwierigkeiten in der gut übersichtlichen Darstellung möglich. Deshalb sollte in Bezug auf natürliche Zahlen und ihre Eigenschaften - meiner Erfahrung nach - stets folgender Leitsatz gelten: Summenbegriff idealerweise vor Produktbegriff. Spätestens aber wenn wir Produkte und Produktbildungen im Zahlenraum der natürlichen Zahlen betrachten sollten Summenbegriff und Summenbildungseigenschaften ausführlicher thematisiert werden.
Die Summenkaskade in N gibt ausführlich und lückenlos Auskunft über die Summenbildungseigenschaften der natürlichen Zahlen, aus denen sich die Produktbildungseigenschaften natürlicher Zahlen ableiten lassen. In der vermittelnden Kombination der beiden unterschiedlichen Prinzipien fällt es wesentlich leichter all die verschiedenen Eigenschaften von natürlichen Zahlen (zu denen die Primzahlen ja in der Abgrenzung gehören) übersichtlich und strukturiert darzustellen. Das kleine folgende Beispiel soll das oben behauptete belegen:

Der Zahlenwert 7 lässt sich summarisch zerlegen in (mindestens; je nach Definition) 7 grundständige Schreibweisen. Diese sind bei N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} inklusiver umgekehrter Schreibweisen:
0+7 = 7, 1+6 = 7, 2+5 = 7, 3+4 = 7, 4+3 = 7, 5+2 = 7, 6+1 = 7, 7+0 = 7

oder auch der besseren Übersichtlichkeit halber:
0+7 = 7
1+6 = 7
2+5 = 7
3+4 = 7
4+3 = 7
5+2 = 7
6+1 = 7
7+0 = 7

Betrachten wir die aus der Summenkaskade in N ableitbaren Schreibweisen für den Zahlenwert 7 können wir den Zahlenwert bei N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} ebenfalls auf 7 verschiedene Arten und Weisen summarisch darstellen und zwar mit:
(hier ohne Additionszeichen bzw. "Pluszeichen", in Klammern zusammengefasste und mit Komma getrennte Elemente werden summiert)
{(7), (3,4), (2,2,3), (1,2,2,2), (1,1,1,2,2) (1,1,1,1,1,2), (1,1,1,1,1,1,1)}

also gleichbedeutend mit:
{(0+7), (3+4), (2+2+3), (1+2+2+2), (1+1+1+2+2) (1+1+1+1+1+2), (1+1+1+1+1+1+1)}
in der Auflösung der Klammern können die spezifischen Schreibweisen für den Zahlenwert 7 inklusive der umgekehrten Schreibweisen in korrekter Reihenfolge abgeleitet werden:
{(0+7), (3+4), (2+2+3), (1+2+2+2), (1+1+1+2+2) (1+1+1+1+1+2), (1+1+1+1+1+1+1)} =

Resümee
Über Primzahlen ließe sich hier noch sehr viel interessantes Erläutern. Dieser Themenbeitrag soll jedoch nur einen ersten kleinen Überblick über die Materie geben um damit eine Grundlage für den Aufbau eines Instrumentatirums fachpraktisch orientierter Methoden und Vorgehensweisen zu liefern, die auch für die z.B. experimentalarchäologische Beforschung der Mathematik und ihrer inzwischen Jahrtausende währenden Entwicklung geeignet sind. Bei weiterführendem Interesse an der thematik sind als erster Einstieg und für die Literaturrecherche seien die in der spezifischen an diesen Themenbeitrag angehängten Bibliographiea aufgelisteten genutzten Quellen empfohlen.

Bibliographie:
- - -
(Hinweis: Wikipedia-Quellen werden nicht alphabetisch, sondern chronologisch - nach Zeitpunkt des Zugriffs sortiert - aufgelistet. Gleiches gilt für foreninterne Links als hier gelistete Quellen.)

[Bücher]:
Padberg, F. Benz, C.: Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II: Didaktik der Arithmetik. 5. überarb. Aufl. Verlag Springer Spektrum, Berlin, 2021.

Reiss, K.: Mathematik für das Lehramt – Basiswissen Zahlentheorie. 2. Aufl. Verlag Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2005. (45,46)

du Sautoy, M.: Die Musik der Primzahlen - Auf den Spuren des größten Rätsels der Mathematik. ungek. Ausg. 2006; 7.Aufl., Verlag dtv Wissen, München, 2013.

[deutsschprachige Wikipedia]:
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Bibliografische Angaben für „Primzahl“
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Bibliografische Angaben für „Boolesche Algebra“
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[gWiki19]:
Bibliografische Angaben für „Goldbachsche Vermutung“
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Sculpteur · Beitrag von **Sculpteur** » 15.01.2024 18:20

Die historische Erforschung der Zahlen / Besondere Zahlen: Ganzzahlige Proportionen natürlicher Zahlen
- WICHTIG: Bitte beachten, dass der Haftungsausschluss des Verfassers für sämtliche vom Verfasser in diesem Thema veröffentlichten Inhalte gilt! Der Artikel wird derzeit bearbeitet und kann noch Fehler enthalten. Der Haftungsausschluss ist an das Ende dieses ersten Themenbeitrags des Verfassers angehängt. -

Ganzzahlige Proportionen im Zahlenraum der natürlichen Zahlen
Erkenntnisse über die grundlegenden Eigenschaften der natürlichen Zahlen gewann der Mensch bis heute durch die vergleichende strukturierte Zergliederung des Zahlenraums der natürlichen Zahlen. Noch heute werden auf diese Art und Weise weitere mathematische Erkenntnisse z.B. bei Analyse der Eigenschaften der natürlichen Zahlen gewonnen. Dieser Prozess ist mitnichten abgeschlossen, denn grundlegende Fragestellungen zu den natürlichen Zahlen sind noch heute nicht geklärt. Wann und ob solche mathematischen Fragen dabei jemals geklärt werden können, ist völlig ungewiss. So können wir z.B. heute trotz der großen Fortschritte die in der Mathematik seit ihrer Entstehung und der Entwicklung der modernen Mathematik bis heute bewältigt hat, grundlegende Fragen zu den Eigenschaften der Primzahlen nicht beantworten: so haben wir zwar heute viele weiterführende Erkenntnisse über Primzahlen gewonnen, wir besitzen jedoch bis heute keinen einfachen Algorhitmus mit dem wir exakt Primzahlen in beliebig großen Zahlenräumen bestimmen könnne: hierfür müssen wir uns - je nach analysiertem Zahlenraum - weiterhin auf entsprechend aufwändige Primzahltests verlassen, die entsprechende EDV-Rechenkapazitäten erfordern. Es ist bis heute beispielsweise auch nicht möglich, verlässlich auszusagen, ob sich jeder gerade natürliche Zahlenwert >2 mindestens als Summe zweier Primzahlen schreiben lässt.
Manche dieser Fragen ziehen Mathematiker - und damit die Mathematik - dermaßen in ihren Bann, dass die ursprünglichen Fragen auf erdenklichste Suchmuster ausgeweitet werden, die im Rahmen der heutigen Mathematik überhaupt möglich sind: so wird die Suche nach neuen Erkenntnissen in der modernen Primzahlforschung längst auch auf ganz andere Zahlenräume als die natürlichen Zahlen ausgeweitet. Begründet ist dies darin, dass sich "archetypische" Relationen auf nahezu die gesamte Mathematik bzw. viele ihrer verzweigten Bereiche übertragen lässt. So findet etwa die Kreiszahl Pi mathematische Anwendungen in Formeln fernab der herkömmlichen Kreisberechnung, der die Kreiszahl von ihrer ersten Entdeckung her ursprünglich entstammt: entdeckt wurde die KReiszahl Pi (unseres heutigen Wissens) vermutlich in der direkten Auseinandersetzung mit der Kriesfigur, die sich z.B. unter Verwendunbg einfachster Zirkelwerkzeuge (z.B. mit einem Stück Schnur) bewerkstelligen lässt. Durch den Vergleich von daraus resultierendem Kreisumfang und dem Kreisdurchmesser wurde die Kreiszahl als Annäherungslösung vom Menschen bereits früh bestimmt.
In der modernen Mathematik finden wir Pi neben den Anbwendungen in der Geometrie jedoch z.B. auch in Formeln der Analysis, der Zahlentheorie, der Physik u.a. (siehe [gWiki1], Punkt 9. Formeln und Anwendungen)

Mathematik erzeugte (und erzeugt noch heute) einen Großteil ihrer Erkenntnisse durch das Prinzip des in Relation Setzens von mathematischen Elementen in Formelstellungen. So ist z.B. die vergleichende formeltechnische Gegenüberstellung des Umfangs und des Durchmessers der Kreisfigur im Grunde genommen nichts anderes als das mathematische analysierend vergleichende Herstellen einer Proportion (bzw.- Relation). Diese Gegenüberstellung ermöglicht die Ableitung weiterer mathematischer Erkenntnisse, indem aus einer Proportion bzw. Relation z.B. ein "Proportions-" bzw. "Relationswert": abgeleitet wird, z.B.:

1 : 3,1415... =
3,1415... : 1 =

Ein Sinn der in z.B. solcher mathematischer Vorgehensweise liegen kann ist etwa z.B. mit dem Finden einfacher und gut funktionierender - also pragmatischer - Näherungslösungen für die Konstruktion von kreisfigurbasierten Figuren begründbar.

fiktives Beispiel:
Ein Steinmetz der Antike soll für die Anwendung einer neuen innovativen Methode im Bereich des Vermessungswesen einen möglichst exakten trommelförmigen Säulenschaft herstellen, an dessen Umfang exakte Seillängen für die Herstellung von Vermessungseilen exakt abgenommen werden können. Hergestellt werden sollen unter Verwendung des trommelförmigen Säulenschaftes dünne Vermessungsseile nach dem Prinzip der sog. "12-Knoten-Schnur". Um dieses Ziel zu erreichen, sollen geeignete Vermessungsseile exakt zwölf mal um den Säulenschaft herumgewickelt werden, damit am Säulenschaft angebrachte Markierungen auf die Vermessungsseile übertragen werden können.
Um den trommelförmigen Säulenschaft herstellen zu können benötigt der Steinmetz zuvor also grundlegende Informationen, die er zueinander in Relation bzw. "Proportion" setzen muss. So muss der Steinmetz also vorab wissen:

- welches Grundmaß soll verwendet werden (Grundmaßeinheit und dessen tatsächliche Länge)?
- welche Einteilung des Grundmaßes soll auf den trommelförmigen Säulenschaft übertragen werden (ganze, halbe, Dreiviertel oder eine andere Länge wie z.B. 1/4, 1/3, 1/6 oder 1/12 o.a.)?
- welcher auf den zu bearbeitenden Stienblock als Rohling zu übertragender Kreisdurchmesser muss für die Einstellung des Reißzirkels für den Anriss der trommelform angesetzt werden?

Um all diese verschiedenen Informationen unter einen Hut zu bekomnmen und erfolgreich einem funktiionierenden Endprodukt aus Stein zuzuführen, benötigt der Steinmetz ein wenig grundlegende Mathematik und eine daraus resultierende Gegenüberstellung der ihm zur Verfügung stehenden mathematischen Informationen. Die aus der Gegenüberstellung dieser Informationen resultierenden Relationen bzw. auch "Proportionen" kann der fiktive antike Steinmetz schließlich auf seinen zu bearbeitenden Steinblock übertragen.

Proportionen und Relationen im Zahlenraum der natürlichen Zahlen
Indem wir natürliche Zahlen in Relation zueinander setzen und damit Proportionen natürlicher Zahlen erzeugen, können wir einiges interessantes über die Eigenschaften natürlicher Zahlen erfahren und verschiedene mathematische Zusammenhänge (und in eher seltenen Fällen möglicherweise auch neuartige bzw. gänzlich neue) Erkenntnisse daraus ableiten.

Interessante aus natürlichen Zahlen gebildete Relationen bzw. Proportionen sind z.B. duale Kombinationen von Fibonacci-Zahlen hier sog. reine Fibonacci-Paare (hier gemeint sind Paare aus direkt aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen; insgesamt wissenswertes zum Thema Fibonacci-Zahlen habe ich im ersten Beitrag in diesem Thema zusammengefasst). Fibonacci-Paare direkt aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen erzeugen als Proportion stets (mit wenigen Ausnahmen) eine große rechnerische Nähe zum Proportionsverhältnis des Goldenen Schnitts und sind damit z.B. für den gestalterischen, handwerklichen und kunsthandwerklichen Bereich und insgesamt im hinblick auf Forschung im Bereich der historischen Entstehung z.B. der Gestaltungslehre und der historischen Auseinandersetzung mit Proportionen interessant:

Beispielhafte duale Kombinationen von Fibonacci-Zahlen als Proportionen (reine Fibonacci-Paare):
34 : 21 = 1,61904762 : 1 und 21 : 34 = 0,617647059 : 1
21 : 13 = 1,61538462 : 1 und 13 : 21 = 0,619047619 : 1
13 : 8 = 1,625 : 1 und 8 : 13 = 0,615384615 : 1
8 : 5 = 1,6 : 1 und 5 : 8 = 0,625 : 1
5 : 3 = 1,66(periode)* : 1 und 3 : 5 = 0,6 : 1

Hier sog. multiple Kombinationen von Fibonacci-Zahlen sind hingegen interessant, wenn wir uns verstärkt mit den "systemischen" Eigenschaften der natürlicher Zahlen auseinandersetzen: Kombinieren wir direkt aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen zu dualen Summandenfolgen wobei die Anzahl der Summanden in der dualen Kombination von Summandengruppen ebenfalls direkt aufeinanderfolgenden FIbonacci-Zahlen entspricht, erhalten wir wiederum (proportional-spezifisch größere) Fibonacci-Zahlen (siehe Folgeglieder bei Fibonacci-Zahlen, Punkt 2.2 Beziehungen zwischen den Folgegliedern [gWiki6]). Dieses Grundprinzip lässt sich zur Veranschaulichung z.B. sehr gut an Teilstrecken demonstrieren, die auf Mess- bzw. Rechenseile
durch jeweilige Abknotung erzeugt werden, z.B.:

Beispielhafte multiple Fibonacci-Reigen dualer Fibonacci-Kombinationen:
z.B. (a+a) + (b+b+b) = (2+2) + (3+3+3) = 2*2 + 3*3 = 4 + 9 = 13
z.B. (a+a+a) + (b+b+b+b+b) = (3+3+3) + (5+5+5+5+5) = 3*3 + 5*5 = 9+25 = 34
z.B. (a+a+a+a+a) + (b+b+b+b+b+b+b+b) = 5*5 + 8*8 = 25 + 64 = 89
uva.

[ZITATE Wikipedia]:
In der Mathematik und in den Naturwissenschaften bezeichnet der Quotient ein Verhältnis von zwei Größen zueinander, also das Ergebnis einer Division. Der Quotient von zwei ganzen Zahlen (Dividend und Divisor) ist immer eine rationale Zahl und kann als Bruch geschrieben werden...
(...)
Verhältnisgleichungen oder Proportionen sind Gleichungen, die zwei Verhältnisse gleichsetzen...
[ZITATE ENDE] [gWiki3]

Andersartig findet der Begriff Proportion Anwendung in der Gestaltungslehre (mehr dazu später)

Ein interessantes und aufschlussreiches Beispiel dafür, wie sich durch Relationen bzw. Proportionen komplexere mathematische Zusammenhänge ausdrücken lassen ist z.B. die geometrische Veranschaulichung der binomischen Formeln (siehe [gWiki2] Punkt 2. Geometrische Veranschaulichung)
Natürliche Zahlen lassen sich auf verschiedenste Arten und Weisen in Relationen und in Proportionen zueinander setzen. Hier im Folgenden ein kleiner Überblick über wesentliche grundlegende Relationsarten, die sich mit natürlichen Zahlen herstellen lassen und Beispiele für deren alltägliche (und nützliche) Anwendung:

Duale bzw. binäre Relationen mit natürlichen Zahlen
Ein Beispiel für duale Relationen in der Mathematik (genauer: in der Geometrie) mit dem Menschen alltäglich konfrontiert sind findet sich in der Auseinandersetzung mit regelmäßigen Vielecken (z.B. Quadrat, Rechteck). Bei der Anwendung dualer Relationen auf z.B. Quadrat- und Rechteckfiguren wird der Nutzen deutlich der in der Anwendung dualer Relationen liegt: indem wir duale Relationen verwenden, wird üblicherweise das Seitenverhältnis (oder auch die duale Proportion) zwischen den Seitenlängen a und b einer Rechteckfigur. Auch bei Beschreibung der Seitenlängenverhältnisse der Quadratfigur mit ihren per Definition gleichlangen Seitenlängen kommt üblicherweise eine duale Relation bzw. Proportion zum Einsatz: mit a : a beschreiben wir das proportionale Verhältnis zwischen den Seitenlängen der Quadratfigur wobei dieses Proportionsverhältnis per Definition stets 1 : 1 (Breite zu Höhe bzw. Grundseite zu Höhe) beträgt.

Bestimmte duale Relationen bzw. Proportionen sind dabei besonders interessant weil diese z.B. im Bereich der Geometrie Rechteckfiguren erzeugen, auf die sich spezielle und im Zahlenraum der natürlichen Zahlen sich hervorhebende ternäre Relationen (bzw. hier auch abweichend von üblichen Beschreibungsweisen in der Mathematik ternäre Proportionen) ableiten lassen.
Eine sehr weit verbreitet genutzte ternäre Proportion ist die Proportin 3 : 4 : 5. Mit dieser bekannten Proportion, die ein sog. primitives pythagoreisches Tripel darstellt, lässt sich messtechnisch auf praktikable Art und Weise ein sog. Rechter Winkel, also eine Winkelung von 90° erzeugen. Rechte Winkel sind z.B. auch interessant im Hinblick auf die histrorischen Triangulationsmethoden z.B. der Steinmetzen (und z.B. Zimmerleute u.v.a.) der vergangenen Epochen: Verschiedenartige Einmessmethoden zur Erzeugung Rechter Winkel fanden unseres heutigen Wissens bereits weit vor der Antike Anwendung. Über die Kenntnis und Verwendung der Proportion 3 : 4 : 5 durch z.B. die alten Ägypter wird noch heute ausführlicher diskutiert [FIL1, folgt].

Ternäre Relationen mit natürlichen Zahlen
Ganzzahlige Relationen bzw. hier auch "Proportionen" natürlicher Zahlen lassen sich etwa auch in der Auseinandersetzung mit sog. Mischungsverhältnissen (bzw. vereinfacht "Mischungen") anwenden: soll z.B. die historische Rezeptur einer Schießpulvermischung im Hinblick auf die Frage untersucht werden, wieviele verschiedenen Mischungsverhältnisse mit einer bestimmten Anzahl von Grundkomponenten möglich ist (hier am Beispiel von 3 Grundkomponenten; siehe [FIL3], folgt) dann spielen Fragen zur Kombinatorik im Hinblick auf natürliche Zahlen (siehe [FIL4])und zum (hier) sog. Proportionsreigen der natürlichen Zahlen (mehr dazu später und an anderer Stelle) hierfür eine wichtige Rolle.
TErnäre Relationen / Proportionen sind insgesamt z.B. auch im Hinblick auf rechtwinklige Dreiecke und deren Proportionen sowie den daraus ableitbaren hier sog. Proportionsreigen ternärer ganzzahliger Proportionen interessant. Der Proportionsreigen ternärer ganzzahliger Proportionen als mathematisches Instrument (z.B. in Anwendungsform eines tabellarischen Dokuments) ist z.B. sehr hilfreich in der Beforschung historischer Bauwerke im Hinblick auf z.B. deren Zergliederung und Proportionen (siehe z.B. den Anwendungsbereich der Beforschung der Proportionen altägyptischer Pyramiden oder historischer Vermessungstechniken - um nur eins von zahlreichen möglichen Beispielen zu nennen; siehe [FIL5], folgt).

Höhere als duale (binäre) und ternäre Relationen mit natürlichen Zahlen
Höhere Relationen bzw. Proportionen als duale und ternäre lassen sich kombinatorisch im Hinblick auf ihre Variabilität, also im Hinblick auf die Frage wieviele verschiedene Kombinationsmöglichieiten sich kombinatorisch ergeben wenn etwa sämtliche Kombinationsmöglichkeiten ermittelt werden sollen, hier in diesem Themenkomplex nur schwierig ausführlich beschreiben, Deshalb beschränke ich den hier vorgestellten Einblick (zunächst und evtl. bis auf weiteres) ausschließlich auf duale (binäre) und ternäre Relationen / Proportionen.

Die Summenkaskade als Proportioinsreigen der natürlichen Zahlen
Als (lückenloser) Proportionsreigen der natürlichen Zahlen lässt sich die hgier bereits in einem anderen Themenabschnitt vorgestellte Summenkaskade der natürlichen Zahlen bzw. Summenkaskade aus N verstehen: mit der Summenkaskade aus N werden lückenlos - je nach analysiertem Zahlenraum und gewählter Darstellungsmethode - sämtliche überhaupt möglichen (also existierenden) ganzzahligen Zerlegungsmöglichkeiten für natürliche Zahlen generiert.
Um natürliche Zahlen und ihre Eigenschaften (idealerweise; siehe den an meinen allerersten Beitrag in diesem Themenkomplex angehängten und zu beachtenden Haftungsausschluss) besser nachvollziehen zu können, ist es sinnvoll sich zu vergegenwärtigen, dass die generierte Darstellung ganzzahliger Zerlegungsmöglichkeiten für natürliche Zahlenwerte streng genommen als Proportionen verstanden und auch bezeichnet werden können: stellen wir uns vor, wir wollen die Ergebnisse der in der Summenkaskade aus N für einen betsimmten Zahlenwert ausgegebenen summarischen Konstellationen im Ergebniss in Form von Teilstrecken auf ein Mess- bzw. Rechenseil übertragen, dann wird deutlich, dass sich summarische Zusammenhänge ebenfalls als Proportionen darstellen lassen (je nach Betrachtungswinkel und Anwendungszweck).
So ist es z.B. möglich, die sämtlichen summarischen Zerlegungsmöglichkeiten des Zahlenwerts 7 entlehnt aus der Summenkaskade aus N auf daraus resultierend sieben verschiedene Mess- bzw. Rechenseile zu übertragen. Die Übertragung kann dabei z.B. erfolgen indem jeweils entsprechend lange Teilstrecken auf dem verwendeten Seilmaterial durch Abknotung erzeugt werden:

(hier dargestellt in gewählter Reihenfolge entlehnt dem hier bereits an anderer Stelle vorgestellten Aufbau der Summenkaskade aus N; quasi "von Vorne nach Hinten"):
[Seil 1; Teilstrecken:] 7 (keine Teilstreckenabknotung, streng genommen resultierende Proportion 7 : 0)
[Seil 2; Teilstrecken:] 3 : 4
[Seil 3; Teilstrecken:] 2 : 2 : 3
[Seil 4; Teilstrecken:] 1 : 2 : 2 : 2
[Seil 5; Teilstrecken:] 1 : 1 : 1 : 2 : 2
[Seil 6; Teilstrecken:] 1 : 1 : 1 : 1 : 1 : 2
[Seil 7; Teilstrecken:]1 : 1 : 1 : 1 : 1 : 1 : 1

Der Proportionsreigen natürlicher Zahlen
Von besonderem Interesse für die Erforschung von Proportionen - auch im historischen Kontext z.B. der Entstehung der Kunst und der Gestaltungslehre im Allgemeinen sind Vervielfachungen von Proportionen besonders interessant (siehe Proportionsreigen: indem wir Proportionen natürlicher Zahlen (hier z.B. duale und ternäre Proportionen) vervielfachen, wird deutlich, dass sich spezifische Proportionen im Zahlenraum der natürlichen Zahlen spezifisch-proportional wiederholen, woraus sich die grundlegenhde Struktur bzw. strukturelle systemische Organisation des Zahlenraums der natürlichen Zahlen ableiten lässt, z.B.:

Proportionsreigen 3 : 4 : 5 (pythagoreisches Tripel):
Ursprungsproportion = 3 : 4 : 5

resultierender Proportionsreigen, z.B.:
3 : 4 : 5
6 : 8 : 10
9 : 12 : 15
12 : 16 : 20
15 : 20 : 25
18 : 24 : 30
21 : 28 : 35
24 : 32 : 40
27 : 36 : 45
30 : 40 : 50

Proportionsreigen natürlicher Zahlen sind in Kombination mit resultierenden Proportionsreigen von Bruchzahlen besonders interesant z.B. im Hinblick auf die Erforschung der altägyptischen Vermessungslehre über die wir aufgrund stark lückenhafter Quellenlage nur sehr wenige konkrete Erkenntnisse besitzen (siehe z.B. [gWiki7;8;9] und [FIL1].

Der duale Proportionsreigen der natürlichen Zahlen:
In der Auseinandersetzung mit dem dualen Proportionsreigen der natürlichen Zahlen (dualer Proportionsreigen aus N) werden die Zerlegungseigenschaften natürlicher Zahlen deutlich: jede natürliche Zahl lässt sich in eine spezifisch-proportionale Anzahl von Schreibweisen zerlegen, z.B. - je nach Betrachtungswinkel und resultierender Präsentation:

Duale (binäre) ganzzahlige Zerlegung der natürlichen Zahl 11:
als Summenreigen:
(mit Spiegelungen)
{(1+10), (2+9), (3+8), (4+7), (5+6), (6+5), (7+4), (8+3), (9+2), (10+1)}
1+10 = 11; 2+9 =11; 3+8 = 11; 4+7 = 11; 5+6 =11; 6+5 = 11; 7+4 = 11; 8+3 = 11; 9+2 = 11; 10+1 = 11

Wenn wir die Eigenschaften natürlicher Zahlen im Hinblick auf duale (binäre) und ternäre Zerlegungen analysieren, können wir daraus grundlegendes über die summenbildenden Eigenschaften von Primzahlen ableiten. Solches Wissen ist für die Betrachtung mathematischer Fragestellungen wie etwa der starken (binären) sowie der schwachen (ternären) Goldbach´schen Vermutung von großer Bedeutung (siehe hierzu meinen vorherigen Beitrag in diesem Thememkomplex Ausführungen zum Thema Primzahlen in diesem Themenkomplex, z.B.:

Duale (binäre) Zerlegungsmöglichkeiten der natürlichen Zahl 10 mit Primzahlen:
3+7 = 10
5+5 = 10

Ternäre Zerlegungsmöglichkeiten der natürlichen Zahl 10 mit Primzahlen:
2+3+5 = 10

als Proportionsreigen:
{(1:10), (2:9), (3:8), (4:7), (5:6), (6:5), (7:4), (8:3), (9:2), (10:1)}
(direkte Anwendung finden kann das oben beispielhaft aufgezeigte Prinzip eines Proportionsreigen für die duale Zerlegung natürlicher Zahlen z.B. bei der Analyse von Viereckflächen und rechtwinkligen Dreiecken und damit einhergehend etwa in der Auseinandersetzung mit der historischen Schnur-und Seilvermessung (siehe z.B. gWiki7; 8; 9] u. [FIL1]).
Aus einem Proportionsreigen z.B. natürlicher Zahlen mit z.B. ganzzahligen dualen (binären) lässt sich wiederum - entsprechend komplexer - ein Produktereigen natürlicher Zahlen ableiten. Je nach gewählter Präsentation und je nach Betrachtungswinkel lassen sich so die komplex-systemischen Eigenschaften der natürlichen Zahlen wahlweise zum Ausdruck bringen, z.B.:

als Produktereigen (Übertragung):
(mit Spiegelungen)
{(1*10), (2*9), (3*8), (4*7), (5*6), (6*5), (7*4), (8*3), (9*2), (10*1)}
1*10 = 10; 2*9 = 18; 3*8 = 24; 4*7 = 28; 5*6 = 30; 6*5 = 30; 7*4 = 28; 8*3 = 24; 9*2 = 18; 10*1 = 1

als Produktereigen (Übertragung):
{(1*10), (2*9), (3*8), (4*7), (5*6), (6*5), (7*4), (8*3), (9*2), (10*1)}

z.B. in dezimaler Auflösung (z.B. im Einsatz zwecks Erzeugung von gestalterischen Proportionen:
{(1:10), (2:9), (3:8), (4:7), (5:6), (6:5), (7:4), (8:3), (9:2), (10:1)}
(mit Spiegelungen)
{1:10}; {2:9}; {3:8}; {4:7}; {5:6}; {6:5}; {7:4}; {8:3}; {9:2}; {10:1}

Die Auflösung z.B. dezimal aufgelöster Proportionsreigen natürlicher Zahlen ist interessant z.B. für die (auch historische und forschende) Auseinandersetzung mit Kunst, Baugeschichte u. Baumeistertum, Architektur, Innenarchitektur, Design, Produktdesign, Kunsthandwerk uva.; z.B. Bauwerksgestaltung, Druckerzeugnisgestaltung, Bildwerksgestaltung, Schriftgestaltung uvm. Insgesamt ist solche Auseinandersetzung auch naturwissenschaftlich interessant und spricht dabei z.B. Aspekte der Musik, Musiktheorie und Musikwissenschaft, der musikalischen Erziehung, der Akkustik und etwa der Astronomie, Chemie, Physik an: so ist z.B. die Tonaufteilung auf der Klaviatur eines Klaviers mathematisch betrachtet als nichts anderes zu verstehen als zueinander in proportionale Beziehung gesetzte Tonhöhen. Gleiches gilt in der Physik etwa für das Spektrum des Lichts und Wellenlängen oder in der Chemie für die Zusammensetzung molekularer oder atomarer Strukturen: viele naturwissenschaftliche Zusammenhänge lassen sich in Form von Proportionen bzw. Relationen ausdrücken und darstellen. Selbst wenn wir eine Farbe mischen, um eine Wandflächengestaltung vorzunehmen, kommen gannzzahlige proporetionen zum Einsatz, etwa wenn wir mittels einer ternären Mischung von Pigmenten versuchen, einen historischen Farbton nachzuempfinden.

Diese Wissenszusammenhänge über die systemisch-strukturbildenden Eigenschaften des Zahlenraums der natürlichen Zahlen, die z.B. in Form der Summenkaskade aus N spezifisch dargestellt werden können, sind von großer Bedeutung für tiefere Einblicke in die Eigenschaften von natürlichen Zahlen, die z.B. für die Auseinandersetzung mit der Zahlentheorie wiederum von Bedeutung sind. Die Eigenschaften und Eigenschaftsverkettungen der natürlichen Zahlen untereinander lassen sich auf verschiedenste Arten und Weisen darstellen. Die grundlegendsten Arten und Weisen, die Eigenschaften von natürlichen Zahlen darzustellen, sind z.B. durch Darstellungen von Summenreigen und daraus resultierenden Produktereigen der natürlichen Zahlen möglich (und m.E. sinnvoll). Bei der weiterführenden Auseinandersetzung mit Summen- und Produktereigen natürlicher Zahlen wird deutlich, dass der Zahlenraum der natürlichen Zahlen sich als proportionales Gefüge betrachten und veranschaulichen lässt, in dem sich jedes einzelne Element (also jeder Zahlenwert in N) in Bezugnahme zu jedem anderen Element in N setzen und z.B. als ganzzahlige Proportion ausdrücken lässt (der entsprechend komplexer werdende Aufwand hierfür hängt dabei natürlich jeweils von Betrachtungswinkel und gewählter Methode ab).

Bibliographie

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Bibliografische Angaben für „Kreiszahl“
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[gWiki2]:
Bibliografische Angaben für „Binomische Formeln“
Seitentitel: Binomische Formeln
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[gWiki3]:
Bibliografische Angaben für „Quotient“
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Bibliografische Angaben für „Pythagoreisches Tripel“
Seitentitel: Pythagoreisches Tripel
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Bibliografische Angaben für „Rechter Winkel“
Seitentitel: Rechter Winkel
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[gWiki6]:
Bibliografische Angaben für „Fibonacci-Folge“
Seitentitel: Fibonacci-Folge
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[gWiki7]:
Bibliografische Angaben für „Mathematik im Alten Ägypten“
Seitentitel: Mathematik im Alten Ägypten
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[gWiki8]:
Bibliografische Angaben für „Rechenseil“
Seitentitel: Rechenseil
Herausgeber: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie.
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[gWiki9]:
Bibliografische Angaben für „Harpedonapten“
Seitentitel: Harpedonapten
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Foreninterne Links:
[FIL1]:
http://www.archaeoforum.de/viewtopic.ph ... 019#p60019
Titel des Beitrags: "Die Proportionen altägyptischer Pyramiden"
Datum und Zeitpunkt des Zugriffs: 17.01.2024, 11:19 MEZ
Verfasser: User "Sculpteur"

Sculpteur · Beitrag von **Sculpteur** » 18.01.2024 04:54

Die historische Erforschung der Zahlen: Besondere Strukturen und Systeme mit natürlichen Zahlen
- WICHTIG: Bitte beachten, dass der Haftungsausschluss des Verfassers für sämtliche vom Verfasser in diesem Thema veröffentlichten Inhalte gilt! Der Artikel wird derzeit bearbeitet und kann noch Fehler enthalten. Der Haftungsausschluss ist an das Ende dieses ersten Themenbeitrags des Verfassers angehängt. -

Um Mathematik individuell besser begreifen zu können - und damit für die eigenen Betrachtungsweisen und Vorgehensweisen in der z.B. naturwissenschaftlichen oder etwa handwerklichen und kunsthandwerklichen Auseinandersetzung besser für sich nutzbar machen zu können (so also auch etwa im Bereich der Hochschulen und der Experimentalarchäologie), kann es sich manchmal als sinnvoll erweisen, stark ausgetretene Pfade zu verlassen und eigene Wege zu beschreiten: auf diese eigentlich eigensinnige Art und Weise sind in der Geschichte der Mathematik vermutlich viele Innovationen entstanden.
Ein gewisser Hang zu eigenwilligen Entwicklung von Innovationen und auch von abweichenden Herangehensweisen durch Forschende hat der Entwicklung der Mathematik bis heute (vermutlich i.d.R.) nicht unbedingt geschadet, sondern diese eher befördert: ein Bisschen Mehr an Kreativität schadet auch der Mathematik und ihrer Entwicklung, vor allem aber dem eigenen Umgang mit Mathematik meiner Ansicht nach auch heute nicht - ganz im Gegenteil.
Die Zeiten, in denen auch ich einen Mathematiklehrer erleben durfte, der pünktlich zu Unterrichtsbeginn die Klassenzimmertür von innen abschloss, damit zu spät kommende Lernende um Einlass bitten mussten und dabei exakt mittels Eintrag ins Klassenbuch erfasst werden konnten sind - zumindestens für mich persönlich - heute zum Glück vorbei (heutzutage würde solches Verhalten eines Lehrers eher als rechtswiedrig und grob fahrlässig, ja vermutlich sogar als freiheitsberaubend eingestuft werden). Auch mein eigenes aus der Not geborenes Fehlverhalten - und damit eigentliches Versagen - als ehemaliger Lehrer das entstand, weil ich als unerfahrener und schlecht bezahlter (und für die Aufgabe intern schlecht geschulter) Seiteneinsteiger zu sehr auf die Ratschläge erfahrener Kollegen hörte, die mir anrieten, Schüler für die noch so kleinste Banalität mit einem Strich im Klassenbuch zu abzustrafen um eine Klasse ruhig zu bekommen sind heute zum Glück längst heute vorbei.
Die genannten Beispiele würden auch wohl am Lernverhalten und der bereitwilligen lernenden Aufnahme von Informationen Lernender nichts grundlegend zum Positiven hin verändern. Auch die Zeiten der Grundschule, in denen ein Rohrstock als stille, unausgesprochene Drohung auf dem Lehrerpult lag, um Lernernde "in Schach" zu halten, sind heutzutage hierzulande zum Glück längst vergangene Geschichte der 1970er Jahre.
Heutzutage hat der Schulunterricht sich im Vergleich zu damals ganz anderen Verantwortungen und Herausforderungen zu stellen die angesichts des rasanten Fortschritts und der Soziokulturellen und interkulturellen Entwicklung unserer Gesellschaften auch immer wieder ein neuartiges hohes Maß an Krreativität und Motivationsgeist von Lehrenden erfordern: die Zeiten sind zum Glück vorbei in denen generalisiert versucht wurde, Lernende - im Zweifelsfall unter Androhung und Anwendung von Gewalt zu "Zucht, Ordnung und Respekt" und zum Lernen zu "animieren" besser gesagt - mit teilweise brachialen Methoden - zu zwingen.
Unterricht mit unterdrückerischen Tendenzen Lehrender (möglicherweise gepaart mit durchaus vorkommendem Mobbing unter Kollegen und dem heute allgegenwärtigen Mobbing unter Lernenden macht ebenso wenig Sinn wie Unterricht mit Lernenden, die Unterricht generalisiert boykottieren und Lehrende damit in der Ausübung ihrer Arbeit behindern und regelrecht mobben.
Natürlich trägt die individuelle soziale Situation eines Lernenden - so auch in der privaten Lebenssituation mit Elternhaus und Erziehungsberechtigten etc. - zur heutigen Gesamtsituation in Schulen und in Lehreinrichtungen bei: das Beziehungsgeflecht zwischen den verschiedenen Lebens- und Alltagshorizonten Lernender und Lehrender sollte im "Schmeltztiegel Schule" niemals außer Acht gelassen werden.
Um Unterricht auch in heutigen Zeiten schulisch erfolgreich zu realisieren, dürfte es heutzutage wohl dennoch zu den für alle relevanten Seiten zu erlangenden Kernkompetenzen Lernender sowie Lehrender (und hier sind Eltern und Erhziehungsberechtigte ebenfalls nicht ausgenommen) - gehören, gerne zu lernen und gerne zu lehren. Damit dies möglich ist, benötigt es für Schulischen Unterricht verlässliche gegenseitige Grundvereinbarungen; vor allem aber Kreativität und immerwährende Bereitschaft zu innovativem Miteinander: all diese Aspekte lassen sich 1 : 1 ebenfalls auf die Hochschulen und damit auch auf die Chancen und Möglichkeiten der Experimentalarchäologie - z.B. in der Auseinandersetzung mit mathematischen Themenstellungen übertragen.

Innovativ-kreative Lösungen in der Mathematik: keine Ausnahmen sondern eher Tugenden
Ein gutes Beispiel für eine innovative Lösung im Hinblick auf die Phänomenik des Zahlenraums der natürlichen Zahlen ist die damalige Idee von Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855), wie sich die Gesamtsumme für die Zahlen von 1 bis 100 effektiv (und im Sinne des Zeitgeistes mit dem Gauß vermutlich konfrontiert war) andersartig ermittlen lässt (meine Annahme zum Zeitgeist dieser Vergangenheit ist jedoch nur Spekulation, entlehnt dem sehenswerten Film Die Vermessung der Welt von Detlev Buck, der im Kern autobiografisch, aber auch fiktiv gefärbt von Gauß Leben (und dem Leben von Alexander von Humboldt sowie vom schließlichen Treffen beider Naturwissenschaftler mit konträren Ansätzen handelt (nach einem Roman von Daniel Kehlmann) [Sautoy, 2013] [gWiki1; 2; 3].

Gauß´Idee der Vereinfachung von Summierungen natürlicher Zahlen:
Folgende Idee verwendete Gauß (die von [Sautoy, 2013] als eine seiner Lieblingsideen bezeichnet wird), um seinen Schülern zu erklären, wie sich die aufwändige Rechenarbeit des Addierens sämtlicher Zahlen von 1 bis 100 umgehen lässt:

Bei der genannten Aufgabenstellung ist es naheliegend, das man als Lehrender und Lernender zu Gauß´Zeiten i.d.R. wohlmöglich einfach das folgende Prozedere vollzog und Lernende das handschriftlichen Addieren der direkt aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen bewerkstelligen ließ:

{1+2+3+4+5+ ... +95+96+97+98+99+100} = 5050

Gauß soll zu diesem zeitaufwändigen und den einen oder anderen Lernenden vermutlich frustrierenden Lernaufwand eine innovative Idee gehabt haben: indem Gauß einfach die Erste und die letzte Zahl der zu addierenden Zahlenreihe miteinander summierte und anschließend das Ergebnis (die erhaltene Summe der Zahl 1 und der Zahl 100 = 101) verfünfzigfachte, erhielt Gauß die für die Bewältigung dieser speziellen Aufgabe heute berühmte Lösung, die quasi gerne als "Paradebeispiel" für das Etablieren logisch-mathematischen Denkens herhält. Gauß soll diese Aufgabe also folgendermaßen gelöst haben und seinen Lernenden diese Methode angeraten haben; in etwa folgendermaßen lässt sich die genannte mathematische Problemstellung darstellen:

Mathematische Vereinfachung für "addiere die direkt aufeinanderfolgenden (natürlichen) Zahlen von 1 bis 100:
{1+2+3+4+5+ ... +95+96+997+98+99+199} = 5050

Prinzip von Gauß´vereinfachender Methode:
es sei:
SUM{1+2+3+4+5+ ... +95+96+997+98+99+199}
ist im Ergebnis dasselbe wie:
50 * (1+100) = 5050
50 * 101 = 5050

resultierende Auflösung:
SUM{1+2+3+4+5+ ... +95+96+997+98+99+199} = 5050
oder auch z.B.:
SUM(100) = 5050

Mit einer modernen gebräuchlichen Tabellen-Kalkulationssoftware lässt sich diese Aufgabe für die Gauß eine für seine Zeit wohl andersartige Lösung fand, relativ einfach nachvollziehen: hierfür wird (je nach verwendeter Tabellenkalkulationssoftware in einem geöffneten Tabellendokument einfach eien Zahlenreihe von 1 bis 100 per Autofill-Funktion erzeugt (den Ersten Zahlenwert; also die Zahl 1 (Eins); in eine Tabellenzelle eintragen und (hier) mit der Maus die Zelle anklicken und an der Ecke bis zum Zahlenwert 100 herunterziehen; anschließend per Funktionsbutton Summe die Summe für die Zahlenreihe in der Zelle direkt unter der letzten Zahl der Zahleneihe erzeugen, indem zuerst die Zelle angeklickt und anschließend die Funktion Summen der Tabellenkalkulationssoftware (mit den entsprechend dafür erforderlichen Schritten) verwendet wird.

Nicht jeder Lerntyp ist gleich: unterschiedlichste Lerntypen erfordern sinnvollerweise unterschiedlichste Lernmethoden und Ansätze in der Lernstoffvermittlung. So ist es m.E. eigentlich nicht nötig, den Unterschied - auch in puncto Lernerfolg und nicht ausschließlich in puncto Lernaufwand - zwischen den beiden aufgezeigten MEthoden die ursprüngliche Problemstellung zu lösen, zu stark herauszustellen: keine der beiden Methoden ist für m ich persönlich als "besser" oder "schlechter" zu bewerten: es ist bei allem eine Frage der Zielsetzung und der individuellen Dispositionen von Lehrenden und Lernenden (bitte hierzu den an den Ersten Beitrag in dieser Themenreihe angehängten Haftungsausschluss beachten: es kann sich möglicherweise - aus verschiedensten, z.B. ergonomischen Gründen und aus Gründen der individuellen Aufmerksamkeitsspanne - als sehr ungesund; und z.B. auch demotivierend; für einen Lernenden erweisen, z.B. die Zahlen von 1 bis 100 handschriftlich addieren zu lassen und ist aus diesen Gründen ggf. eher abzulehnen).
Beide Methoden haben jedoch ihre Berechtigung, beide Methoden sind interessant; insbesondere im direkten Vergleich, weshalb eine Eröterung dieser abweichenden Methoden lohnen kann: bei Anwendung der einen Methode können wir etwas über Summenbildung im Zahlenraum der natürlichen Zahlen erfahren - Einblicke, die uns bei ausschließlicher Betrachtung der anderen Methode evtl. verwehrt bleiben: durch die intensivere Auseinandersetzung mit summenbildenden Eigenschaften der natürlichen Zahlen können wir - idealerweise - ein insgesamt besseres "Gefühl" für (hier natürliche) Zahlen und deren Eigenschaften entwickeln. Bei Anwendung der anderen Methode ist es uns - idealerweise - möglich, Einblicke in analysierende und schließlich vereinfachende Logikschritte zu gewinnen, die mit Hilfe von Durchdenken einer Problemstellung zu einem alltagstauglichen und gut anwendbaren Resultat führen können.
Damit wäre z.B. das Kennenlernen der zweiten Methode etwa eine gute Grundlage für das allmähliche Entwickeln eines gehobeneren Mathematikverständnisses (diese Begrifflichkeit ist nicht bewertend gemeint sondern bezieht sich auf den Fachausdruck "höhere Mathematik"). Ob jedoch z.B. die "Analysis" (in der - lerntypenabhängig - zu frühen Anwendung) der Weisheit letzter Schluss ist, wenn es um die Etablierung eines individuell insgesamt besseren Mathematikverständnis geht, sei dahin gestellt. Ich persönlich bin erfahrungsgemäß vom genauen Gegenteil überzeugt: ohne eine ausreichende Grundlagenbildung in der Mathematik die sich auch ausgiebig mit grundlegenden mathematischen Strukturen und deren (lückenloser) Bildung bzw. Entstehung auseinandersetzt, nützt einem die beste Analysis nichts - so jedenfalls meine ganz persönliche Meinung.

Die Entwicklung der Logik-Komponente und Kreativer Lösunjgswege in der Geschichte der Mathematik
Die Mathematik war nicht seit Anbeginn ihrer Entstehung so sehr streng orientiert an Logik und z.B. Analysis: all diese Aspekte, von denen die heutige moderne Mathematik stark durchprägt ist, fanden ihren Ursprung irgendwann einmal als innovative Idee und entwickelten sich dann allmählich, vielfach geprägt durhc entsprechende Impulsgeber, die sich in der Geschichte der Mathematik vermutlich mit viel Fleiß gepaart mit einergehörigen Portion Glück -sowie ausgestattet mit den notwendigen Ressourcen (zu denen z.B. auch Zeit und individuelle Disposition gehören) - hervorgetan haben. Wesentliche Grundsteine für diese Aspekte der heutigen Mathematik wurden z.B. von den alten Griechen, aber in der Vorentwicklung auch von anderen alten Kulturen gelegt (so z.B. den Babnyloniern, den alten Ägyptern, den alten Chinesen) gelegt. du Sautoy schreibt über den Einfluss der alten Griechen auf die Entwicklung der Mathematik:

[ZITAT:]
Die Geschichte der Primzahlen besteht nicht nur im Auffinden zeitloser Wahrheiten, sondern sie ist auch ein Spiegel der Gesellschaft. Die frisch erwachte Freude an Maschinen im siebzehnten und achtzehnten Jahrhundert zeigt sich in einem sehr praktischen, experimentellen Zugang zu den Primzahlen. Im Gegensatz dazu bewirkte die Atmosphäre im Europa der Revolutionen, dass man die Primzahlen mit neuen abstrakten und gewagten Ideen zu untersuchen begann. Jede Kultur hat eine ihr eigene und besondere Art, die mathematische Welt zu durchreisen.
(...)
Die Ersten, die sich Geschichten dieser Art erzählten, waren die Griechen. Sie erkannten die Kraft der Beweise, mit denen sich feste und unabänderliche Wege zu den Bergen der mathematischen Welten bahnen ließen.
[ZITAT ENDE] [Sautoy, 2013,50 u.51]

Die ursprüngliche Mathematik entstand wohl zunächst auf eine ganz bodenständige, weil alltagstaugliche, Art und Weise: Menschen erfanden bzw. entwickelten in Kombination mit Naturbeobchatungen und daraus abgeleiteten Schlussfolgerungen früh das Zählen und Zählsysteme sowie mit der allmählichen Entwicklung von Vermessungssystemen und des Bauwesens sowie der handwerklichen und kunsthandwerklichen Auseinandersetzung u.a. z.B. stark geometrische Aspekte der Mathematik.
Innovative Ideen nahmen in solchen allmählichen Entwicklungsprozessen der Mathematik vermutlich hier und dort einen großen Stellenwert ein und manchmal war es vielleicht auch einfach nur der Zufall, der in der Auseinandersetzung mit der allmählichen Entwicklung der Mathematik der Menschheit gewaltig auf die Sprünge half. Was sich jedoch aus der Menschheitsgeschichte und ihren Überlieferungen wohl mit relativ großer Gewissheit ablesen lässt und als quasi roter Faden durch die Entwicklung der Menschheit und ihre - überlieferte - Geschichte zieht, ist der große und dem Menschen vermutlich angeborene Drang Neues zu entdecken.

Innovative Ideen und ihr Nutzen für die Entwicklung der Mathematik und eines Mathematikverständnisses
- zu diesem äußerst komplexen Themanbereich wähle ich aufgrund des dafür erfordelrichen Umfangs im Folgenden nur ausgewählte Beispiele, die sich unmittelbar auf die hauptsächlich in diesem Themenkomplex behandelte Thematik der natürlichen Zahlen anwenden lässt. -

Das Pascal´sche Dreieck:
Mit einer speziellen und kreativ-innovativen strukturellen Übersicht über den Zahlenraum natürlicher Zahlen, dem heute sog. Pascal´schen Dreieck hat der französische Mathematiker, Physiker, Literat und christliche Philosoph Blaise Pascal (1623 - 1662) [gWiki6] einen wesentlichen Grundstein für ein fundierteres und ganzheitlicheres Mathematikverständis (hier z.B. im Hinblick auf natürliche Zahlen und deren Eigenschaften gelegt):

[ZITAT]:
Das Pascalsche (oder Pascal’sche) Dreieck ist eine Form der grafischen Darstellung der Binomialkoeffizienten (...) die auch eine einfache Berechnung dieser erlaubt. Sie sind im Dreieck derart angeordnet, dass jeder Eintrag die Summe der zwei darüberstehenden Einträge ist.
[ZITAT ENDE] [gWiki5]

- für weiterführendere informationen zum PAscal´schen Dreieck sei auf die Bibliographie verwiesen (siehe z.B. [gWiki5;6]) -

Das Bertrand´sche Postulat:
Direkt aufbauend auf den innovativen Lösungsansatz des Pascal´schen Dreiecks hat der französische Mathematiker Bertrand einen innovativen mathematischen Lösungsansatz entwickelt mit dem es ihm möglich war, eine fundamentale Aussage über die Eigenschaften von Primzahlen zu treffen: Bertrand fand heraus, dass sich
in jeder Verdopplung eines spezifischen Zahlenraums in n (aufeinander aufbauend) mindestens eine Primzahl befindet: Bertrand´s Beweisführungals damalige Veröffentlichung zum Thema ist heute allgemein mathematisch anerkannt, was für den Einsatz der Bertrand´schen Innovation sehr wichtig ist im Vergleich zu einer sog. Vermutung, weshalb die Bertrand´sche Innovation heute auch Theorem genannt wird.

(Weil diese fundamentalmathematische Aussage so wichtig für weitere Rückschlüsse über die Verteilung und Eigenschaften der Primzahlen ist und auch für folgende Darlegungen eine wichtige Rolle spielen, weise ich an dieser Stelle unbedingt nochmals darauf hin, dass ich für von mir in diesem Themenkomplex veröffentlichte mathematische Aussagen und deren Formulierung keinerlei Garantien gebe und keinerlei Haftung übernehme. Es gilt für diesen gesamten Themenkomplex aus gutem Grunde der von mir an den Ersten Themenbeitrag in dieser Themenreihe angehängte Haftungsausschluss (Disclaimer), denn ich bin kein ausgebildeter Mathematiker und die von mir hier erstellten Beiträge sind weder fremdlektoriert noch peer-reviewed; es kann mir deshalb also selbstverständlich geschehen, dass mir hier Fehler unterlaufen, so etwa auch generelle mathematische Verständnisfehler sowie Fehler in Darstellung und Formulierung. Im Zweifelsfall sind alle hier im Thema von mir getätigten Aussagen nochmals zu überprüfen und eine Verwendung sämtlicher Inhalte in diesem Thema erfolgt ausschließlich auf eigenes Risiko).

[ZITAT]:
Das Bertrandsche Postulat (auch Satz von Bertrand-Tschebyschow) ist ein mathematisches Theorem, das besagt, dass für jede natürliche Zahl n 1 mindestens eine Primzahl p mit n < p < 2n existiert.
Diese Behauptung wurde zuerst 1845 von dem Mathematiker Joseph Bertrand aufgestellt, der sie für natürliche Zahlen bis 3.000.000 bewies. Den ersten vollständigen Beweis für alle natürlichen Zahlen lieferte Tschebyschow fünf Jahre später. Einen weiteren, einfacheren Beweis gab der indische Mathematiker S. Ramanujan an, der dabei auch Ramanujan-Primzahlen einführte. 1932 lieferte auch Paul Erdős einen einfachen Beweis.
[ZITAT ENDE] [gWiki7]

Alltagstaugliche Anwendungsbeispiele für das Bertrand´sche Theorem
Die Funktionsweise des Bertrand´schen Theorems lässt sich in der zweidimensionale Matrix (z.B. in Form einer tabellarischen Übersicht anschaulich darstellen (siehe Anhang 2).

BIBLIOGRAPHIE:
Bücher:
Padberg, F. Benz, C.: Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II: Didaktik der Arithmetik. 5. überarb. Aufl. Verlag Springer Spektrum, Berlin, 2021.

Reiss, K.: Mathematik für das Lehramt – Basiswissen Zahlentheorie. 2. Aufl. Verlag Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2005. (45,46)

du Sautoy, M.: Die Musik der Primzahlen - Auf den Spuren des größten Rätsels der Mathematik. ungek. Ausg. 2006; 7.Aufl., Verlag dtv Wissen, München, 2013.

deutschsprachige Wikipedia [{gWiki]:
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Seitentitel: Carl Friedrich Gauß
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Bibliografische Angaben für „Bertrandsches Postulat“
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Bibliografische Angaben für „Sieb des Eratosthenes“
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Bibliografische Angaben für „Eratosthenes“
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Sculpteur · Beitrag von **Sculpteur** » 19.01.2024 10:27

Die historische Erforschung der Zahlen: alltagstaugliche zahlentheoretische Anwendungsmöglichkeiten

- Wikipedia-Quellenzuordnungen werden aktuell noch korrigiert -

Alltägliche Anwendungsmöglichkeiten für das Bertrand´sche Theorem:
In den nachfolgenden Erläuterungen soll - wahlweise in Anwendung auf die Frage nach der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung - aufgezeigt werden, ob und ínwieweit sich das Bertrand´sche Theorem alltagstauglich einsetzen lässt um (hier) in Anwendung auf das Konzept der vom Verfasser konzipierten Bolle´schen Matrix ∈ (multipel) ℕ, vom Verfasser auch als BM(p) ∈ (multipel) ℕ benannt die starke (binäre) Goldbach´sche Vermutung zu beweisen, bzw. wo die Grenzen hierin liegen, die einen Beweis der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung unter Zuhilfenahme des Bertrand´schen Theorems in Anwendung auf die BM(p) ∈ (multipel) ℕ unmöglich machen.

Beweismöglichkeiten der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung in Anwendung des Bertrand´schen Theorems auf die BM(p) ∈ (multipel) ℕ (nach Hoppe, 2023)
Die BM(p) ∈ (multipel) ℕ, also die von mir konzipierte und so benannte Bolle´sche Matrix "in" (multipel) ℕ ist ein spezielles Analysewerkzeug, dass lückenlos (je nach Größe des dargestellten Zahlenraums) die Zerlegungseigenschaften natürlicher Zahlen in duale (binäre) Paare ausgibt. Die BM(p) ∈ (multipel) ℕ (oder von mir wahlweise auch einfach Bolle´sche Matrix genannt) habe ich konzipiert, um Primzahlen anschaulicher im Hinblick auf ihre Zerlegungseigenschaften beforschen zu können. Die Bewerbung der Matrix als einem interessanten und sehr nützlichen Analysewerkzeug für die Zahlentheorie bei einem international nahmhaften Journal für Zahlentheorie in den USA war bisher leider erfolglos. Die Bolle´sche Matrix weidst jedoch einige Vorzüge in der Auseinandersetzung mit natürlichen Zahlen auf, die ich nicht für mich behalten will, damit sie auch anderen Forschenden in ihrer Auseinanderdsetzung mit der Zahlentheorie und der Erfoschung der Entstehung und Entwicklung der Mathematik von Nutzen sein können. Die Idee der Bolle´schen Matrix wäre vermutlich besser eher in einem Journal für die Didaktik der Mathematik aufgehoben, aber Bewerbungen an solche international agierenden Journale sind insgesamt sehr schwierig: eine Absage von einem rennomierten Journal zu erhalten ist deshalb kein Grund Trübsal zu blasen, sondern eine Bestätigung dafür, dass man sich mit meiner Idee zumindestens ernsthaft auseinandergesetzt hat, aber eben den gegebenen Statuten eines Journals und einem insgesamt extrem hohen Anspruch verpflichtet ist.
Nun ist es für mich als nicht studierter Mathematiker nicht unbedingt leicht, alle mathematischen Zusammenhänge Primzahlen und z.B. die Bolle´sche Matrix betreffend in jedem punkt einleuchtend zu beschreiben im Stile einer üblicherweise gepflegten "internationalen Mathematik" und deren Standards. Ich wähle u.a. deshalb, aber auch um das Thema möglichst allgemeinverständlich zu formulieren hier bewusst die Methode, die betreffenden mathematischen Zusammenhänge so einfach und anschaulich wie möglich zu beschreiben damit diese möglichst gut nachvollzogen werden können.

Die BM(p) ∈ (multipel) ℕ (nach Hoppe, 2023):
Die BM(p) ∈ (multipel) ℕ[/u] ist eine zweidimensionale Matrix, die als tabellarisches Dokument darstellbar ist: diese Darstellungsmöglichkeit war von Anfang an bei Konzeptionierung der Matrix angestrebt, um die Matrix z.B. auf Papier, auf Tafeln oder etwa unter Verwendung einer heute gängigen Tabellen-Kalkulationssoftware verwenden zu können. Die BM(p) ∈ (multipel) ℕ[/u] verfügt über (z.B wahlweise) grau eingefärbte, im 90°-Winkel zueinandergesetzte Zahlenleisten in horizontaler und vertikaler Ausrichtung, die quasi eine Art von "Positionsangabe von natürlichen Zahlen im zur zweidimensionalen Matrix erhobenen Zahlenraum der natürlichen Zahlen darstellen (mehr zum von mir verwendeten Dimensionsbegriff in Anwendung auf die natürlichen Zahlen später und an anderer Stelle). Die Bolle´sche Matrix ist in ihrem Analyse-Rasterfeld aufgebaut wie eine herkömmliche quadratische Matrix bzw. Matritze, allerdings mit einem sehr wichtig hervorzuhebenden unterschied: In der Bolle´schen Matrix sind die natürlichen Zahlen im Analyse-Rasterfeld der Matrix nicht nach dem Prinzip einer quadratischen Matrix arrangiert (wie dies bei Kartesischen Produkten bei AXB der Fall ist): die Zahlenreihen im Analyse-Rasterfeld der Matrix sind durchgängig nach dem Schema angeordnet, dass die in vertikale Richtung sich von ihrem Usprung mit dem Zahlenwert 1 aus (theoretisch unendlich lang) entwickelnde Zahlenreihe der natürlichen Zahlen in horizontale Richtung (theoretisch) unendlich häufig direkt hintereinander weg aneinandergereiht wird. Einzig die Frage wieviel Platz der analysierte (multipel) abgebildete Zahlenraum einnimmt entscheidet darüber, über welche Dimensionierungen die Bolle´sche Matrix (je nach Darstellungsmethode und dafür genutzten "Werkzeugen und Mitteln (z.B. Papier und Stift)" verfügt: die Bolle´sche Matrix beschreibt (theoretisch) also den (multiplen) unendlich großen Zahlenraum der natürlichen Zahlen (ℕ) und wird (je nach Analyseabsicht und Möglichkeiten der z.B. technischen Machbarkeit per Vorab-Definition entsprechend eingegrenzt. So schriebe ich persönlich z.B. wahlweise: BM(p) ∈ (multipel) ℕ[/u](1 ... 21) und meine damit eine Bolle´sche Matrix, die den Zahlenraum von den Zahlenwerten 1 (Ursprung) bis 21 analysiert. Theoretisch kann die Bolle´sche Matrix (z.B. aus Platzgründen) bei entsprechenden Vorab-Definitionen und entsprechender Beschreibung auch ausschnitthaft oder etwa als rechteckige Matrix ausgeführt und angewendet werden. Die Beschreibung dieser Aussanahmen erspare ich mir aus Gründen des dafür erforderlichen Umfangs allerdings an dieser Stelle und weise an dieser Stelle lediglich darauf hin, dass diese Ausnahmen m.E. sinnhaft existieren und entsprechend angewendet werden können.
Das grundlegende Prinzip nach dem die Bolle´sche Matrix für die Analyse der dualen (binären) Zerlegungsmöglichkeiten für die Betrachtung des Zahlenraums der natürlichen Zahlen von mir konzipiert wurde und damit im speziellen die Analyse der Eigenschaften von Primzahlen als Summanden zur Zahlenwertbildung betrifft, liegt in einer gedoppelt und im Winkel von 90° überlagerten adaptierten Aussiebungsprinzips nach dem Vorbild des Siebs des Eratosthenes. Die Winkelung in der die beiden zueinander verdrehten "Siebe" dazu quasi "überdoppelt" zueinander arrangiert werden, ist dabei ausschließlich im mathematischen Sinne als festgelegt zu erwähnen: ob die Bolle´sche Matrix etwa bei einer freihändigen Ausführung dne Winkel von 90° nicht einhält, ist unerheblich, solange das der Matrix zugrunde liegende Prinzip davon unberührt bleibt: es existieren verschiedenen Möglichkeiten, das Prinzip der Bolle´schen Matrix umzusetzen. Die von mir ausgewählte stellt in dem Sinne keine Festlegung dar, lässt sich aber sinnigerweise aus der von mir sog. Multidimensionalität des Zahlenraums der natürlichen Zahlen ableiten (je nach Anschauung und gewählter Ableitungsmethode).
Mit der gedoppelt überlagerten Aussiebungsmethode nach dem grundlegenden Prinzip des Siebs des Eratosthenes (Eratosthenes von Kyrene; zwischen 276 u. 273 VUZ - 194 NUZ) dessen Funktionsweise ich an dieser Stelle nicht nochmals erläutere (siehe hierzu [gWiki8] sowie den von mir in diesem Themenkomplex vorhergehend bereits erstellten Beitrag über Primzahlen).
Jede natürliche Zahl >1 lässt sich (weil natürliche Zahlen per Definition ganzzahlige positive Zahlen sind mit denen wir z.B. täglich zählen) als duale (bzw. "binäre") Summe zweier spezifischer - je nach zerlegtem Zahlenwert zueinanderpassender Summanden ausdrücken: bei fortschreitender Zahlenwertgröße steigt dabei die spezifisch-proportionale Anzahl von Schreibweisen für die duale (binäre) Zerlegung von Zahlenwerten natürlicher Zahlen: diese Zusammenhänge entsprechen (natürlicherweise) festgefügten mathematischen Grundgesetzmäßigkeiten. Dieses Prinzip macht sich die Bolle´sche Matrix von ihrem Konzept her zunutze: durch die in der Bolle´schen Matrix erfolgende spezifische Aneinanderreihung der multipel zueinander arrangierte Zahlenreihen der natürlichen Zahlen die sich auf die immer wieder gleiche Art und Weise - sich dabei von ihrem Ursprung des Zahlenwerts 1 aus entwickelnd - aneinander reihen entstehen bei zusätzlicher Markierung der Primzahlpositionen im so entstehenden Aussiebungsverfahren lückenlos sämtliche üpberhaupt möglichen dualen (binären) Zerlegungsmöglichkeiten für natürliche Zahlen. Die Aussiebung
erfolgt dabei wie bereits erwähnt durch das gedoppelt überlagerte Arrangieren eines Aussiebungsverfahrens für natürliche Zahlen nach dem Prinzip des Siebs des Eratosthenes. Der Vorteil im Umgang mit der Bolle´schen Matrix ist - meiner Meinung nach - dass es sich in der Auseinandersetzung mir der Erstellung der Matrix gleichermaßen um eine kreative Aufgabe handelt, weil z.B. bunte Farben zum Einsatz kommen können (bei Erstellen der Bolle´schen Matrix z.B unter Verwendung einer gebräuchlichen Tagbellen-Kalkulationssoftware sollte dabei jedoch unbedingt beachtet werden, dass in Wirkung zu stark grell angelegte farbige Hinterlegungen das Lesen der Matrix erschweren und zu gesundheitlichen Probleme bei Vorliegen entsprechender individueller Disposition führen können, weshalb zu stark grelle Farben für das Anlegen der Bolle´schen Matrix als Tabellen-Dokument (auch je nach verwendetem, Monitor und dessen Einstellungen) im Zweifelsfall unbedingt vermieden werden sollte. Deshalb sollte die Bolle´sche Matrix stets mit "augenschonenden" und nicht überreizenden Farben angelegt werden; außerdem sollte aus diesen Gründen auch
stets nicht zu lange am Stück mit der Matrix gearbeitet werden (es gilt der Haftungsausschluss / Disclaimer).

Beispiele für duale (binäre) Zahlenwert-Zerlegungen natürlicher Zahlen, die als Prinzip für den Aufbau und die Gesamtkonzeptionierung der Bolle´schen Matrix verwendet werden, liste ich im folgenden auszugsweise auf.

Das in der Bolle´schen Matrix angewendete Prinzip der dualen (binären) Zahlenwertzerlegung natürlicher Zahlen
Beispielhafte (auszugsweise) duale (binäre) Zerlegungen in (hier) sog. Zerlegungssträngen:

Zahlenwert 11:
{1 + 10 = 11; 2 + 9 = 11; 3 + 8 = 11; 4 + 7 = 11; 5 + 6 = 11; 6 + 5 = 11; 7 + 4 = 11; 8 + 3 = 11; 9 + 2 = 11; 10 + 1 = 11}

Zahlenwert 7:
{1+6; 2+5; 3+4; 4+3; 5+2; 6+1}

Zahlenwert 5:
{1+4; 2+3; 3+2; 4+1}

Die Grundvoraussetzung für den Beweis oder die Wiederlegung der Möglichkeit eines Beweises dieser Art unter den vorgenannten Bedingungen und Erläuterungen ist relativ einfach festzulegen: hierfür ist es erforderlich,. eien Behauptung aufzustellen. Anschließend werde ich mit den mir (als unstudierter quasi Hobby-Mathematiker und in dieser Hinsicht als Autodidakt ) zur Verfügung stehenden Mitteln und Methode versuchen, diese Behauptung zu beweisen oder zu widerlegen. Um deutlich zu machen, wie dieser Gesamtzusammenhang funktioniert, formuliere ich die Behauptung hier einmal ganz bewusst so banal wie möglich und in einfachen Worten und zwar als zu überprüfende Vermutung. Ich kann und werde hier also keine sog. vollständige Induktion o.ä. liefern (können) wie sie im Bereich der Mathematik für ordentliche Beweise meines aktuellen Wissens üblich und auch verlangt is:

VERMUTUNG für den versuchten Beweis, mittels Bolle´scher Matrix und Bertrand´schem Theorem die starke (binäre) Goldbach´sche Vermutung zu beweisen:

Unterteilt ist die Vermutung in zwei Behauptungen:

Behauptung A: Das Bertrand´sche Theorem beweist, dass sich in jedem verdoppelten n einer natürlichen Zahl mindestens eine Primzahl findet.

Behauptung A kann ich bereits jetzt als richtig ad acta legen, denn das Bertrand´sche Theorem als Beweisvoraussetzung für mein Vorhaben ist bereits (anerkannt) bewiesen und besitzt damit Gültigkeit.

Behauptung B:
[Anfang der von mir formulierten VERMUTUNG - die noch zu beweisen wäre]:
Für jede Primzahl in 2n eines verdoppelten n im Zahlenraum der natürlichen Zahlen findet sich stets eine Primzahl in n, die der jeweiligen in 2n befindlichen Primzahl in der Bolle´schen Matrix direkt (gespiegelt) gegenüberliegt: in der Bolle´schen Matrix finden sich ausschließlich (hier von mir ) sogenannte Primzahl-Komplementärpaare. Von dieser Regel existiert keine Ausnahme weil sich die Bolle´sche Matrix als über eine 45°-Achse gespiegeltes - und damit quasi gedoppelt überlagertes "Sieb" nach dem Prinzip des Siebs des Eratosthenes erzeugt: Immer dann, wenn sich in der Bolle´schen Matrix also eine Primzahl in n oder 2n auf der jeweiligen Zerlegungsachse eines Zahlenwerts befindet, findet sich für die spezifische Primzahl ein Komplementär auf der gegenüberliegend achsegespiegelten Bereichsseite der Bolle´schen Matrix. Wenn sich auf einer Zerlergungsachse in der Bolle´schen Matrix jeweils zwei Primzahlen komplementär gespiegelt als Zerlegungspaar gegenüberliegen, resukltiert aus diesem Komplementär-primen Paar eine damit nachgewiesene duale (bionäre) Zerlegung für einen spezifischen Zahlenwert. Weil in der Bolle´schen Matrix sämtlicher Zerlegungsachsen für die duale (binäre) Zerlegung von Zahlenwerten natürlicher Zahlen stets die (von mir sog.) Spiegelachse der Bolle´schen Matrix über das jeweiligfe von mir sog. "Zerlegungsachsen-Zentrum" schneiden, spielt es keine Rolle, an welcher Stelle in 2n in der Bolle´schen Matrix sich bei größer werdendem Zahlenraum eine Primzahl findet: die Primzahl wird immer (wie bereits behauptet) einen entsprechenden Komplementär in n in der Bolle´schen Matrix finden. ich nenne diese Vermutung Stricknadel-Vermutung für die Bolle´sche Matrix (und erläutere später noch, weshalb ich auf diese Bezeichnung komme).
[Ende der von mir formulierten VERMUTUNG]

Ob und inwieweit sich das von mir hier behauptete bzw. vermutete von mir in eine handhabbare mathematische Formel bringen lässt, muss sich im weiteren Verlauf noch zeigen. Ich versuche meinen Lösungsansatz aber zunächste einmal strukturell und grafisch veranschaulichend zu erläutern und beweisen.
Aus dem Bauch heraus, also rein intuitiv, bin ich der Meinung, dass das ausgesagte tatsächlich gänzlich stimmt und die starke (binäre) Goldbach´sche Vermutung deshalb wahr sein muss (weil es für den Beweis der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung genügen würde nachzuweisen, dass sich jeder gerade Zahlenwert in N mindestens einmal binär zerlegen lässt. Ein Bauchgefühl ersetzt aber keinen mathematischen Beweis. Deshalb werde ich im Folgenden versuchen, meine aufgestellten Behauptungen auf die mir mögliche Art und Weise zu belegen und auf diese Art und Weise (mit einem quasi strukturellen Beweis) versuchen, die starke (binäre) Goldbach´sche Vermutung zu beweisen. Sollte mir dies nicht gelingen werde ich entsprechend versuchen, das Gegenteil zu beweisen, also versuchen auszuschließen dass das von mir behauptete bzw. vermutete wahr ist. Hierfür ist es notwendig, zunächst ein klein wenig auszuholen und die Phänomenik von Primzahlen, primen Zerlegungen sowie der Bolle´schen Matrix etwas näher zu erläutern. Diese Instrumentarien sind notwendig, um den versuchten strukturellen Beweis zu ermöglichen und bilden damit die Grundlagen des Beweisversuchs.
Die ad hoc quasi aus dem Ärmel geschüttelten bzw. aus dem Stegreif vorgetragenen Behauptungen und die Vermutung mögen dabei zwar noch ein wenig kompliziert und unsauber formuliert sein, aber dass lässt sich noch ändern und viele der behaupteten Zusammenhänge werden noch aus dem Gesamtkontext deutlicher werden, den ich im Folgenden noch aufzeigen werde.

Wiedergabesystematik dual (binär) zerlegter Zahlenwerte in der Bolle´schen Matrix:
Der systematische Reigenb dualer (binärer) Zahlenwertzerlegungen in der Bolle´schen Matrix entspricht aufgrund des angewendeten Zerlegungsprinzips exakt den Zerlegungscharakteristika natürlicher Zahlen nach folgendem Schema, das axiomischen Charakter aufweist und deshalb - meines Erachtens - keines ausfdrücklichen zusätzlichen Beweises bedarf: die strukturelle Systematik entwickelt sich dabei stringent ausgehend von einem Ursprung nach dme immer gleichbleibenden Prinzip. Diese Sympthomatik der dualen (binären) Zahlenwertzerlegung natürlicher Zahlen wie sie in der Bolle´schen Matrix exakt übereinstimmend widergegeben wird, ist hier wesentlichste Voraussetzung für den Versuch, die starke (binäre) Goldbach´sche Vermutung (strukturell) zu beweisen (insofern in dieser Hinsicht im mathematischen Sinne von einem "Beweis" und nicht weiterhin von einer Vermutung gesprochen werden kann, was Definitionssache ist. Die angehängte Abbildung (siehe Abbildung 3) zeigt dabei auf, wie sich die Zerlegungen der natürlichen Zahlen ausgehend von ihrem Ursprung entwickeln; hier präsentiert für die ersten 7 Zahlen des Zahlenraums (bzw. Zahlensystems) der natürlichen Zahlen. Indem die Primzahlpositionen in den jeweiligen Zerlegungssträngen markiert werden (hier grün hinterlegt) werden die summenbildenden Eigenschaften der Primzahlen bei binären Summierungen deutlich (siehe Abbildung 4, folgt): liegen zwei prime Summanden in einer Reihe in einem jeweiligen Zerlegungsstrang, handelt es sich von den summenbildenden Eigenschaften her um ein (von mir hier) sog. primes Goldbach´sches Paar bzw. auch primes Binärpaar:um die Ermittlung der Eigenschaften solcher Paare geht es bei dem generellen Versuch des Nachweises der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung, an der sich wohl bereits viele Mathematiker und Forschende die Zähne ausgebissen haben. Dabei ist unbedingt zu betonen, dass verschiede Arten von Goldbach´schen Paaren (potenzielle hier mit einbegriffen) existieren (mehr dazu später und weiter unten).

Hinweis zur Ersten Primzahl in ℕ mit dem Zahlenwert 2 (zwei):
(Genereller Hinweis zu den Abbildungen: die Erste der Primzahlen im Zahlenraum der natürlichen Zahlen mit dem Zahlenwert 2 hinterlege ich - mit Ausnahmen - stets bewusst leicht andersfarbig als folgende ungerade Primzahlen (i.d.R. Dunkelgrün anstelle von Hellgrün. Begründet ist dies damit, dass die Primzahl mit dem Zahlenwert 2 die einzige gerade Primzahl im Zahlenraum der natürlichen Zahlen ist und binäre prime Paare unter Beteiligung der Primzahl mit dem Zahlenwert 2 für die versuchte Beweisführung der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung nicht von Bedeutung sind. Dieser Zusammenhang wird u.a. aus der Bolle´schen Matrix heraus sehr deutlich: werden eine ungerade natürliche Zahl und eine gerade natürliche Zahl addiert (bzw. summiert), entsteht im Ergebnis stets eine ungerade Zahl: ug+g = g. Werden zwei gerade natürliche Zahlen miteinander addiert (verdoppelt), entsteht im Ergebnis stets eine gerade Zahl: g+g = g. Die Primzahl mit dem Zahlenwert 2 (zwei) kann also bei versuchten Beweisen für die starke (binäre) Goldbach´sche Vermutung stets ignoriert werden (je nach Vorhaben): sämtliche möglichen binären Summierungen unter Beteiligung der Primzahl mit dem Zahlenwert 2 (zwei) erzeugen in der zwangsläufig ausschließlich möglichen Addition mit ungeraden Primzahlen im Ergebnis ungerade Zahlenwerte weil sämtliche Primzahlen - mit Ausnahme der Ersten Primzahl mit dem Zahlenwert 2 ungerade natürliche Zahlen sind: bei der Frage nach der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung geht es insgesamt jedoch ausschließlich um gerade natürliche Zahlenwerte >2 und deren duale (binäre) Zerlegungsmöglichkeiten in prime Goldbach´sche Paare.

Arten von primen Goldbach´schen Paaren:
In der Analyse der Zerlegungseigenschaften natürlicher Zahlen im Hinblick auf die Möglichkeiten, aus dualen (binären) Zahlenwertkonstellationen (als Summenpaaren) gerade natürliche Zahlenwerte zu bilden (siehe starke (binäre) Goldbach´sche Vermutung ist (ggf. unbedingt) darauf zu achten, dass verschiedene Arten von Goldbach´schen Paaren mit abweichenden Charakteristika existieren. Diese sind:

1te Art: primes Goldbach´sches Paare der Art p(1) + p(1): diese Art von primem Goldbach´schen Paar kommt im gesamtzen Zahlenraum der natürlichen Zahlen nur ein einziges Mal vor, weil die Erste Primzahl in N mit dem Zahlenwert 2; hier benannt als p(1); die einzige im Zahlenraum ℕ vorkommende gerade Primzahl ist. Jede binäre Kombination der Ersten Primzahl mit dem Zahlenwert 2 mit jeglicher anderer - per Definition stets ungerader - Primzahl würde im Ergebnis der Summierung in eine ungeraden Summe resultieren: ungerade; aus zwei primen Summanden zusammengesetzte Zahlenwerte sind jedoch für die starke (binäre) Goldbach´sche Vermutung generell uninteressant und nicht von Bedeutung, weil sich die starke (binäre) Goldbach´sche Vermutung ausschließlich mit der ursprünglichen und namensgebenden Frage Goldbach´s befasst, ob sich jeder gerade Zahlenwert >2 mindestens einmal als Summe zweier Primzahlen darstellen lässt. prime Goldbachsche Paare der (hier so benannten) Art A können also unter spezifischen Einschränkungen (mit Ausnahmen - je nach Vorhaben, Definitionen, verwendeten Methoden und z.B. resultierenden Formelstellungen und strukturellen Betrachtungen von ℕ) in der Auseiandersetzung mit der Goldbach´schen Vermutung generell ausgeklammert werden.

2te Art: (hier sog.) Direktlineare prime Goldbach´sche Paare. Direktlinear meint hier, dass zwei prime Summanden sich in entsprechend arrangierten Sumandensträngen (z.B. in Form von einander gegenübergestellten tabellarischen Spalten als Erste von theoretisch unendlich zahlreichen Möglichkeiten treffen. In der von mir verwendeten zweidimensionalen Matrix und bei entsprechendem Aufbau einer Matrix (z.B. in Form einer Tabelle) sind dies bei Anwendung von datensparender Schreibweisen prime Goldbach´sche Paare der Konstellation a(n1)+a(n1) und damit quasi Verdopplungen eines primen Summanden. Je nach angewendeter Schreibweise sind solche primen Goldbach´schen Paare (hier von mir sog.) prime Goldbach´sche Starterpaare. Diese gewählte Bezeichung findet ihren Sinn weil damit die verwendete Kombinatorik zur Erzeugung der primen Goldbach´schen paare quasi erläutert wird. So schreibe ich in einer zweidimensionalen Matrix z.B.:
a(n1)+a(n1) = 3+3
a(n2)+a(n2) = 5+5
a(n3)+a(n3) = 7+7

oder auch alternativ bei p für "prim" bzw. für "Primzah"l:
p(1)+p(1) = 3+3
p(2)+p(2) = 5+5
p(3)+p(3) = 7+7

dabei in genereller Bezugnahme auf:
p(1) = 3 (weil Erste der ungeraden Primzahlen in ℕ)
p(2) = 5 (weil Zweite der ungeraden Primzahlen in ℕ)
p(3) = 7 (weil Dritte der ungeraden Primzahlen in ℕ)
p(4) = 11 (weil Vierte der ungeraden Primzahlen in ℕ)
usw.usf.

3te Art: (hier sog.) nicht direktlineare prime Goldbach´sche Paare (als Folgepaare).
nicht direktlinear meint hier, dass zwei prime Summanden sich in entsprechend arrangierten Sumandensträngen (z.B. in Form von einander gegenübergestellten tabellarischen Spalten als Folgepaare von (oben beschriebener 2ter Art) in theoretisch unendlich zahlreichen Möglichkeiten - als Nachfolgepaare der 2ten Art; also der spezifischen Starterpaare - treffen. In der von mir verwendeten zweidimensionalen Matrix und bei entsprechendem Aufbau einer Matrix (z.B. in Form einer Tabelle) sind dies bei Anwendung von datensparender Schreibweisen prime Goldbach´sche Paare der Konstellation a(n)+b(n) wobei in solchen Konstellationen im jeweiligen Strang a(n) stets dieselbe (ungerade) Primzahl meint und b(n) durch eine beliebig andere (ungerade) Primzahl ersetzt werden kann: so entstehen in Folge auf ein jeweiliges Starterpaar (in der hier von mir gewählten und beschriebenen Methodik) lückenlos sämtliche Möglichkeiten der Paarkombinationen eines jeweiligen spezifischen Strangs. Diese (3te) Art von primen Goldbach´schen Paaren sind also stets solche Paare, die einem Starterpaar an (irgend)einer spezifischen Position in der von mir verwendeten Matrixart nachfolgen (gemeint ist hier nicht die Bolle´sche Matrix sondern eine tabellarische Matrix mit spezifischen Spalten im Stile von Anhang 1 (siehe Anhang 1).

4te Art: (hier sog.) nicht direktlineare prime Goldbach´sche Paare (als gespiegelte Vorgängerpaare).
Gemeint sind hier mit dieser Bezeichnung sämtliche überhaupt möglichen primen Goldbach´schen Paare der Konstellation
a(n)+b(n) wobei stets die Einschränkung gilt dass b(n) stets kleiner als a(n) ist. Deshalb schreibe ich für diese Art primer Goldbach´scher Paare: {a(n)+b(n) ׀ b(n)<a(n)}. Damit gemeint sind dann also sämtliche jeweils überhaupt möglichen primen Goldbach´schen Paare, die sich in einem spezifischen Strang VOR dem spezifischen Starterpaar (der 2ten Art) eines spezifischen Strangs befinden. Damit handelt es sich bei dieser 4ten Art von primen Goldbach´schen Paaren um sämtliche dualen (binären) Primzahlkonstellationen, die ausgehend von der Ersten Kombinationsmöglichkeit eines jeweiligen spezifischen Strangs in dem Zahlenraum eines spezifischen Strangs existieren, bevor das Starterpaar eines Strangs der Konstellation a(n)+a(n) aufläuft. Nicht direktlineare prime Goldbach´sche Paare (als gespiegelte Vorgängerpaare) der 4ten Art müssen (je nach Vorhaben) und Ansatz) nicht zwingend ermittelt werden, weil sie Spiegelungen von primen Goldbach´schen Paaren der 3ten Art darstellen. Diese treten stets dann auf, wenn die ein (primes) Starterpaar definierende Primzahl a(n) bzw. p(n) größer ist als die mit dem Zahlenwert 3 Erste ungerade Primzahl in ℕ, wenn also gilt a(n)>b(n), z.B.:

a(n) = 11; b(n) = 3

Aus einer solchen Konstellation entsteht z.B. folgender (hier beispielhaft ausgewählter) Strang, der auch sämtliche überhaupt möglichen Spiegelungen von primen Goldbach´schen Paaren (je nach Größe eines spezifisch analysierten Zahlenraums natürlicher Zahlen) lückenlos enthält, die schließlich auf das Starterpaar eines spezifischen Strangs folgen würden. Die gespiegelte Wiederholungssequenz eines jeweiligen Strangs erfolgt jedoch jeweils nicht (zwangsläufig) in einem spezifischern Strang, sondern in ganz anderen spezifischen Strang, z.B:

p(4) = 11; p(1) = 3
- - - - - - - - - - - - -
STRANG:
- - - - - - - - - - - - -
p(4)+p(1) = 11+3
p(4)+p(2) = 11+5
p(4)+p(3) = 11+7
p(4)+p(4) = 11+11 (Starterpaar des Strangs)
p(4)+p(5) = 11+13
p(4)+p(6) = 11+17
p(4)+p(7) = 11+19

(siehe hierzu auch Anhang 1 mit den spezifischen gespiegelten Wiederholungssequenzen primer Goldbach´scher Paare.)

Prime Goldbach´sche Paare in der Bolle´schen Matrix:
In der Bolle´schen Matrix sind (je nach gewählter Größe eines analysierten Zahlenraums natürlicher Zahlen) sämtliche - überhaupt möglichen Konstellationen dualer (binärer) primer Paare, also primer Goldbach´scher Paare komprimiert und bei Wahl einer ganz spezifischen speziellen Darstellungsmethode ausgegeben. Damit gibt die Bolle´sche Matrix per Defintion auch sämtliche Arten von primen Goldbach´schen Paaren (in Abhängigkeit von der jeweils gewählten Größe eines analysierten Zahlenraums in ℕ) spezifisch wieder.
Die Bolle´sche Matrix erfordert für die Auswertung der Ergebnisse eine spezielle Lesart. Dies eist begründet in der Aufteilung, Machart und Struktur der Bolle´schen Matrix. Im Folgenden werden deshalb die wesentlichen Aspekte der Bolle´schen Matrix von mir besprochen:

Beschreibung der Bolle´schen Matrix
Die von mir konzipierte Bolle´sche Matrix ist ein tabellarisches Analysewerkzeug mit dem sich auf spezielle Art und Weise lückenlos sämtliche prime Goldbach´schen Paare (das sind duale, bzw,. binäre Konstellationen von zwei Primzahlen, also von natürlichen Zahlen im Zahlenraum ℕ) auf übersichtliche Art und Weise ermitteln lassen. Um die Bolle´sche Matrix gut nachzuvollziehen und verwenden zu können, ist eine kurze Erläuterung des Aufbaus sowie der Lesart der Bolle´schen Matrix notwendig und sinnvoll:

Hintergründe zur Entstehung; Aufbau und Lesart der Bolle´schen Matrix

Aufbau der Bolle´schen Matrix:
Die Bolle´sche Matrix ist konzipiert als leicht zu lesendes Tabellendokument in dem ein multiples Abbild des Zahlenraums (N) der natürlichen Zahlen. Der Zahlenraum N entwickelt sich dabei in vertikalen Strängen; die beliebig häufig in horizontaler Richtung nebeneinander gestezt werden; ausgehend vom Ursprung der Zahlengröße 1 (EIns). Die Entwicklung des spezifischen (multiplen) Zahlenraumausschnitts entwickelt sich dabei abhängig von der zuvor festgelegten zu analysierenden Zahlenraumausschnittsgröße. Die gewählte Zahlenbraumausschnittsgröße definiert dabei die Größe der jeweils spezifisch verwendeten Bolle´schen Matrix: theoretisch entwickelt sich die Bolle´sche Matrix (im mathematischen Sinne) in beide Entwicklungsrichtungen der Bolle´schen Matrix (diese sind die vertikale Richtung und die horizontale Richtung - oder auch x- und y-Achse der Bolle´schen Matrix) theoretisch Unendliche weiter (siehe Abbildung 2 u. 3.).
Durch die gedoppelten und im Winkel von 90° zueinander angeordneten Überlagerung des Prinzips des Siebs des Eratosthenes entsteht in einer zweidimensionalen Matrix mit der Boller´schen Matrix in (z.B.) farblicher Fassung ein übersichtliches tabellarisches Formular in dem die sämtlichen Zahlenwertzerlegungen im Zahlenraum der natürlichen Zahlen nach speziellem Anordnungsprinzip lückenlos ausgegeben werden. Die farbliche Hervorhebung erfolgt durch die adaptierte Anwendung des gedoppelt überlagerten Siebverfahrens des Eratosthenes für Primzahlen: in der Bolle´schen Matrix wird das Siebverfahren des Eratosthenes zueinander um 90° verdreht so überlagert, dass für die Aussiebungsbereiche der Primzahlen in ℕ Überkreuzungsbereiche entstehen. Diese sind damit farblich besonders hervorgehoben (oder z.B. im Gegensatz zu Aussiebungssträngen - wahlweise - ohne Farbfüllung angelegt und bilden somit den zentralen analytischen Aspekt der Bolle´schen Matrix.

Die Bereiche, Achsen und Sektoren der Bolle´schen Matrix:

Die wesentlichsten Hauptbereiche der Bolle´schen Matrix sind:
Bereich A:
Die rechtwinklig zueinander angeordneten Positions-Zahlenleisten (Zahlenraumabbildung der natürlichen Zahlen) mit markierten Primzahlpositionen (die 1te Primzahl in N, also den Zahlenwert 2 (zwei) als Primzahl, der die einzige gerade Primzahl darstellt, markiere ich hier farblich leicht abweichend mit einem etwas dunkleren Grün; sämtliche anderen - per Definition ungeraden - Primzahlen sind in dne Positionsleisten der Bolle´schen Matrix hier von mir mit Hellgrün markiert).

Bereich B:
Das Analyse-Rasterfeld der Bolle´schen Matrix mit dem Abbild von multipel ℕ; angelegt je nach Größe eines analysierten Zahlenraumausschnitts mit 1er-Positionen in X- und Y-Achse der Bolle´schen Matrix (hier Zahlenraumausschnitt 1 bis 11 in ℕ): die (hier sog.) 1er-Positionen in der Bolle´schen Matrix sind für die Betrachtung dr Fragestellung der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung nicht von wesentlicher Bedeutung und können deshalb in der Bolle´schen Matrix für Analysezwecke generell ausgeklammert werden. Deshalb markiere ich die 1er-Positionen auf der X-Achse und Y-Achse der Bolle´schen Matrix generell mit einem etwas dunkleren Rot als die Aussiebungsbereiche im Hauptrasterfeld (siehe folgende Beschreibung des Bereichs C in der Bolle´schen Matrix). Begründet ist die Möglichkeit, die 1er-positionen in der Bolle´schen Matrix bei Betrachtung primer Goldbach´scher Paare generell ausklammern zu können damit, dass sich mit dem Zahlenwert 1 (Eins) - per Definition - generell kein primes Goldbach´sches Paar bilden lässt, weil der natürliche Zahlenwert 1 (Eins) - per heute international üblicher Einigung und Definition - keine Primzahl darstellt und auch die starke (binäre) Goldbach´sche Vermutung als Fragestellung ad absurdum führen würde: wäre der Zahlenwert 1 (Eins) als natürliche Zahl eine Primzahl, wäre die Bildung von primen Paaren mit jeder erdenklichen - per Definition ungeraden - Primzahl >2 in ℕ unter Beteiligung der (hier sog. "Pseudo-Primzahl 1 (Eins)" möglich weil bei solchen Summierungen im Ergebnis stets ein gerader Zahlenwert entstehen würde und die starke (binäre) Goldbach´sche Vermutung die Bildung gerader Zahlenwerte >2 aus jeweils zwei Primzahlen behandelt:

1+3 = 4; 1+5 = 6; 1+7 = 8; 1+11 = 12 usw. usf.

Bereich C:
Das analytische Haupt-Rasterfeld der Bolle´schen Matrix mit den durch die Überdopplung des adaptierten Prinzips des Siebs des Eratosthenes farblich markierend hervorgehobenen Kreuzungspositionen (die farv´bliche Hervorhebung der Kreuzungspositionen habe ich hier im Beispiel vorgenommen, indem ich die Kreuzungspositionen nicht farblich markiert habe, sondern die Aussiebungsbereiche - hier blassrosa - markiert habe: die hier im Beispiel blassrosa eingefärbten Bereiche im Haupt-Rasterfeld der Bolle´schen Matrix repräsentieren damit also die nach dem adaptierten Prinzip des gedoppelt überlagerten Siebs des Eratosthenes ausgesiebten Bereiche (bzw. Zahlengrößen) natürlicher Zahlen (siehe Abbildung 4).

Die wesentlichsten Sektoren und Achsen (Hauptachsen) der Bolle´schen Matrix:
Eine Festlegung und damit Zuweisung von Hauptsektoren und HAuptachsen für die Bolle´sche Matrix ist aus mengentheoretischer Sichtweise sehr sinnvoll und ermöglicht schließlich eine übersichtliche und gut durchführbare mengentheoretische Beschreibung der Bolle´schen Matrix als quasi Abbild von multipel ℕ: indem der Bolle´schen Matrix Haupt-Sektoren und Haupt-Achsen zugeordnet werden (ähnlich wie bei Matritzen; jedoch in abweichender und möglicherweise übersichtlicherer Anwendungsweise) lässt sich die Bolle´sche Matrix insgesamt mengentheoretisch sehr gut beschreiben (mehr dazu später).

Die Hauptsektoren der Bolle´schen Matrix:
Α-Sektor (Alpha-Sektor):
Der sog. Alpha-Sektor (A-Sektor) der Bolle´schen Matrix befindet sich (bei wie hier gewählter und beschriebener Darstellungsweise der Bolle´schen Matrix links unterhalb der Spiegelachse der Bolle´schen Matrix (die einen eigenen Hauptsektor der Bolle´schen Matrix darstellt; mehr dazu später):

{Α(sektor) ∈ BM(p) ׀ (n1 ... n∞)}

(siehe Abb. 5)

Der Alpha-Sektor in der Bolle´schen Matrix kann je nach Größe eines analysiertem Zahlenraumbreichs in multipel ℕ
spezifisch definiert und beschrieben werden, z.B.:

{Α(sektor) ∈ BM(p) ׀ (n1 ... n11)}

Β-Sektor (Alpha-Sektor):
Der sog. Beta-Sektor (B-Sektor) der Bolle´schen Matrix befindet sich (bei wie hier gewählter und beschriebener Darstellungsweise der Bolle´schen Matrix rechts oberhalb der Spiegelachse der Bolle´schen Matrix (die einen eigenen Hauptsektor der Bolle´schen Matrix darstellt):

{B(sektor) ∈ BM(p) ׀ (n1 ... n∞)}

(siehe Abb. 5)

Der Beta-Sektor in der Bolle´schen Matrix kann je nach Größe eines analysiertem Zahlenraumbreichs in multipel ℕ
spezifisch definiert und beschrieben werden, z.B.:

{B(sektor) ∈ BM(p) ׀ (n1 ... n11)}

Γ-Sektor (Gamma-Sektor):
Der sog. Gamma-Sektor (Γ-Sektor) der Bolle´schen Matrix stellt (bei wie hier gewählter und beschriebener Darstellungsweise der Bolle´schen Matrix die Spiegelachse (bzw. auch Spiegelungsachse) der Bolle´schen Matrix dar: die Spiegelachse der Bolle´schen Matrix ist die mittenzentrierte und um jeweils 45° zur X-Achse und Y-Achse der Bolle´schen Matrix orientierte Hauptachse (quasi die Hauptdiagonale der Bolle´schen Matrix im Sinne einer quadratischen Matritze; siehe zum Vergleich quadratische Matritzen mit {R(mxn) ׀ m = n}, siehe [Schmidt/Trenkler,1998,25]). Die Spiegelachse der Bolle´schen Matrix stellt in der Bolle´schen Matrix gleichzeitig einen (jeweils spezifischen) Haupt-Sektor und eine (jeweils spezifische) Hauptachse dar (mehr dazu später). Die Spiegelachse in der Bolle´schen Matrix kann auch als Vektor verstanden und beschrieben werden. Der Gamma-Sektor (also die Spiegelachse) der Bolle´schen Matrix bildet eine besondere Ausnahme im direkten Vergleich zu den anderen Hauptsektoren und Hauptaschsen der Bolle´schen Matrix: die auf der Spiegelachse der Bolle´schen Matrix liegenden Summanden sind im Sinne der Zahlenraumanalyse von ℕ (und auch im Sinne der starken; also dualen bzw. binären Goldbach´schen Vermutung als aufgedoppelte Zahlenwertzu verstehen: auf der Spiegelachse der Bolle´schen Matrix gelegene Zahlenwerte (als Summanden) erscheinen in der Bolle´schen Matrix zwar nur jeweils einmal, sind jedoch stets als spezifisches Zahlenpaar, also als duale, bzw. binäre Konstellation von jeweils ein und demselben spezifischen Summanden anzusehen: geschuldet ist der Zusammenhang, dass auf der Spiegelachse der Bolle´schen Matrix gelegene Zahlenwerte in der Bolle´schen Matrix nur jeweils einmal abgebildet werden, der Art und Weise der Konzipierung und daraus resultierender Darstellung der Bolle´schen Matrix: die Bolle´sche Matrix stellt im gestalterischen (strukturellen) Sinne ein Spiegelungskonstrukt; genauer: ein 45°-Achsspieglungskonstrukt, also die Spiegelung eines grafisch definierten Raumes um eine mit einer Winkelung von 45° im imaginären Raum bzw. im mathematischen Sinn in der Raumebene (siehe zum Vergleich etwa die Euklidische Ebene bzw. den Euklidischen Raum; siehe [gWiki5u.6]) dar. Diese besondere Eigenschaft der Bolle´schen Matrix dient schließlich auch als erine der wensetlichen Grundlagen für meinen hier versuchten Beweis der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung unter spezieller Anwendung des Bertrand´schen Theorems auf die Bolle´sche Matrix (siehe die im weiteren Verlauf noch angeführte und erläuterte von mir so benannte Stricknadel-Vermutung.).

Beispiel für die mögliche Beschreibung einer spezifischen Spiegelachse in der Bolle´schen Matrix:

{Γ(sector) ∈ BM(p) ׀ (n1 ... n11) ∈ ℕ(multiple); n(1) = 1; Γ(sector) = (1, 2, ... 10, 11)}

{Γ(sektor) ∈ BM(p) ׀ (n1 ... n∞)}

(siehe Abb. 5)

Der Gamma-Sektor in der Bolle´schen Matrix kann je nach Größe eines analysiertem Zahlenraumbreichs in multipel ℕ
spezifisch definiert und beschrieben werden, z.B.:

{Γ(sektor) ∈ BM(p) ׀ (n1 ... n11)}

∆-Sektor (Delta-Sektor):
Der sog. Delta-Sektor (∆-Sektor) der Bolle´schen Matrix stellt (bei wie hier gewählter und beschriebener Darstellungsweise der Bolle´schen Matrix die spezifische Summandenachse in der Bolle´schen Matrix[/i] dar: eine spezifische Summandenachse in der Bolle´schen Matrix ist die Matrix-Ausgabe der Summanden einer spezifischen Zahlenwertzerlegung (einer spezifischen natürlichen Zahl), wobei die spezifischen Summanden stets auf einer Achse liegen. In der Bolle´schen Matrix exisitieren per Definition (im mathematischen Sinne generalisiert) unendlich viele Summandenachsen, weil der Zahlenraum der natürlichen Zahlen per Definition unendlich groß ist: In einer spezifischen Darstellung eines spezifisch großen (und entsprechend dargestellten) analysierten Zahlenraumbereichs von multipel ℕ kann eine spezifische Summandenachse in einer jeweiligen spezifischen Darstellung der Bolle´schen Matrix zeitgleich auch Gegendiagonale der Matrix sein (im Sinne einer quadratischen Matritze, siehe zum Vergleich [Schmidt/Trenkler, 1998,25]. Summandenachsen in der Bolle´schen Matrix können auch als jeweils spezifische Vektoren verstanden und beschrieben werden.

{Γ(sektor) ∈ BM(p) ׀ (n1 ... n∞)}

(siehe Abb. 5)

Der Delta-Sektor in der Bolle´schen Matrix kann je nach Größe eines analysiertem Zahlenraumbreichs in multipel ℕ
spezifisch definiert und beschrieben werden, z.B.:

{Γ(sektor) ∈ BM(p) ׀ (n1 ... n11)}

Nebenachsen in der Bolle´schen Matrix:
Die hier als Nebenachsen bezeichneten Achsen in der Bolle´schen Matrix bezeichne ich so um das hauptsächliche Augenmerk darauf zu legen, dass die wesentlichen Eigenschaften der stringenten Zerlegungen natürlicher Zahlenwerte in der Bolle´schen Matrix auf den Summandenachsen der Bolle´schen Matrix abgelsen werden können. Als "Nebenachsen" in der Bolle´schen Matrix bezeichne ich hier zwecks besserer Unterscheidung jeweils spezifischer Fragestellung die rechtwinklig zueinander angeordneten Positions-Zahlenleisten (Zahlenraumabbildung der natürlichen Zahlen) mit markierten Primzahlpositionen sowie die spezifische Zahlenstrahl-Entwicklung im Hauptrasterfeld der Bolle´schen Matrix. Demnach folgt, dass es in der Bolle´schen Matrix zwei Arten von zu unterscheidenden Nebenachsen existieren, und zwar Nebenachsen, die Positionsangaben und Informationen darüber ermöglichen, welcher bzw. welche Zahlenwert(e) im Hinblick auf Zerlegungen betrachtet werden und über die (hier) hellgrau markierten Positions-Zahlenleisten abgelesen werden können:

Positions-Zahlenleisten in der Bolle´schen Matrix als Nebenachsen:
Die Positions-Zahlenleisten mit markierten Primzahlpositionen entwickeln sich als Nebenachsen in Richtung der X-Achse und Y-Achse der Bolle´schen Matrix: auf den Positions-Zahlenleisten können z.B. (wahlweise) Zahlenwerte markiert werden (ich verwende hierfür jeweils die Farbe schwarz mit weißer Schrift), die im Hinblick auf ihre Zerlegungseigenschaften analysiert werden. Auch die Zahlenleisten als Achsen in der Bolle´schen Matrix können wahlweise als Vektoren beschrieben werden (siehe Abbildung 5, folgt).

Zahlenstrang-Entwicklungsachsen im Hauptrasterfeld der Bolle´schen Matrix
Die Achsen im Hauptrasterfeld der Bolle´schen Matrix auf denen sich jeweils in Richtung X-Achse und Y-Achse der Bolle´schen Matrix spezifische Zahlenstrahle - entweder (wahlweise und je nach Erfordernis) ausgehend von ihrem jeweiligen Ursprung, dem jeweils gleichen Zahlenwert mit der Zahlengröße 1 (Eins) - oder aber _wahlweise; je nach Erfordernis und Absicht beginnend mit einer auf der Spiegelachse () der Bolle´schen Matrix befindlichen Zahlengröße beschreibe, benenne ich als Zahlenstrahlachsen in Richtung X-Achse und in Richtung Y-Achse. Auch die Zahlenstrahlachsen in der Bolle´schen Matrix können wahlweise als Vektoren beschrieben werden (siehe Abbildung 6). Weil der Aufbau der Hauptmatrix in der Bolle´schen Matrix zahlenstrangentwicklungstechnisch speziellen spezifischen definierten Charakteristika folgt, entstehen dadurch die markant-typischen Zahlenstrahlbeschreibungen, z.B.:
ax = "x-axis"; X-Achse
yx = y-axis; Y-Achse
axis = engl. für "Achse"
≡ = "equivalent" (hier im Sinne von "entspricht"

{ℕ(multipel) ∈ BM(p) ׀ (n1 ... n11)}

{ax[n(1) ... n(11)] ∈ BM(p) ׀ n(1) = 1; start = n(1)},{ay[n(1) ... n(11)] ∈ BM(p) ׀ n(1) ≡ 2}

Aus der obenstehenden Beschreibung lässt sich nun (sofern mir kein unbeabsichtigter Fehler unterlaufen ist) ablesen, dass ich mit der formalen Umschreibung zunächst die in Abbildung 6 dargestellte Bolle´schze Matrix; genauer: den spezifischen Zahlenraumausschnitt der Bolle´schen Matrix wie in Abbildung 6 abgebildet) beschreibe.
Darauf folgend beschreibe ich der darauf folgenden Zeile die in Abbildung 6 aufgezeigte Konstellation zweier sich kreuzender Zahlenstrahle im Haupt-Rasterfeld der Bolle´schen Matrix (wobei ich an dieser Stelle aufgrund des dafür erforderlichen Aufwands darauf verzichte, den Kreuzungspunkt der beiden Zahlenstrahle ebenfalls zu beschreiben.

Spezifische Zusatzerläuterungen zur Bolle´schen Matrix
In den vorherigen Abschnitten habe ich zum Besseren Verständnis die Wichtigsten Aspekte und Definitionen des Konzepts der von mir konzipierten Bolle´schen Matrix erläutert. Hier in Kürze noch einige wichtige abschließende Anmerkungen:

Bolle´sche Matrix und (hier sog.) Nullraum:
Die Bolle´sche Matrix lässt sich vom Aufbau her natürlich auch für den Zahlenraum natürlicher Zahlen bei ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} entsprechend konzipieren und beschreiben: ob die Zahlengröße 0 (Null) zum Zahlenraum der natürlichen Zahlen dazu gehört ist Ansichtssache und damit vorherige Definitions- und Einigungssache. Für die Betrachtung von Fragestellungen zu den dualen (binären) Zerlegungseigenschaften natürlicher Zahlen - und damit auch für Fragen zur starken (binären) Goldbach´schen Vermutung genügt eine Bolle´sche Matrix mit ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} grundlegend zunächst einmal. Für speziellere Fragestellungen - die dualen (binären) Zerlegungseigenschaften natürlicher Zahlen betreffend - kann es allerdings sinnvoll sein, die Definition ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} für die Konzeptionierung der
Bolle´schen Matrix zu wählen.

Die Möglichekeiten der grafischen Darstellung der Bolle´schen Matrix und daraus resultierende Problemstellungen:
Weil Schriftzeichen (so auch Ziffern) - je nach gewähltem Font oder auch z.B. je nach verwendeter Handschrift und ggf. verwendeten Schreibutensilien - benötigt Schrift entsprechenden Platz. Gleiches gilt 1 : 1 übertragbar z.B. für Drucklettern und Tabellenkalkulations-Softwares oder Schreibmaschinen: für jedes in eine beliebige und beliebig produzierte Tabelle eingetragenes Schriftzeichen (und Zahlzeichen) wird - auch zwecks guter Lesbarkeit - entsprechend ausreichender Platz benötigt. Schließlich ist die gute Lesbarkeit einer Schrift (bzw. eines Fonts) auch direkt abhängig von den Dimensionierungen der Schriftzeichen, von Groß- und Kleinschreibung und insbesondere von Zwischenräumen zwischen verschiedenen Schriftzeichen und Zahlzeichen etc.
Obwohl die Bolle´sche Matrix als strukturell-analystisches Konzept (je nach spezifischem Vorhaben und spezifischer Konzeption im Übereinklang mit einer entsprechenden Fragestellung) z.B. bei Verwendung einer quadratischen Bolle´schen Matrix im theoretischen mathematischen Raum tatsächlich als quadratische Struktur (also quasi als zweidimensionaler quadratischer Raum) verstanden werden muss (gilt in Übertragung natürlich entsprechend für die Verwendung der Bolle´schen Matrix konzipiert als zweidimensionaler rechteckiger Raum) ist dies in der grafischen Darstellung z.B. aus den genannten Gründen nicht immer umsetzbar. Entscheidend ist bei Betrachtung der Bolle´schen Matrix also stets die für eine jeweilige spezifische Bolle´sche Matrix zugrundeliegende mathematische Definition bzw. mathematische Beschreibung, die von einer möglichen grafischen Darstellung unterschieden werden muss: bei grafischen Darstellungen der Bolle´schen Matrix - z.B. unter Verwendung von EDV (elektronische Datenverarbeitung) ist es möglich, dass Darstellungen (zusätzlich zu den angesprochenen Bedingungen der Darstellung von Schrift- und Zahlzeichen sowie tabellarischen Strukturten) verzerrt dargestellt werden können: dies kann z.B. begründet sein in verwendeten Monitoren und verwendeten Monitoreinstellungen sowie z.B. in verwendeten Druckern und Druckereinstellungen u.a.

Bibliographie:
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(Hinweis: Wikipedia-Quellen werden nicht alphabetisch, sondern chronologisch - nach Zeitpunkt des Zugriffs sortiert - aufgelistet. Gleiches gilt für foreninterne Links als hier gelistete Quellen.)

[Bücher]:
Reiss, K.: Mathematik für das Lehramt – Basiswissen Zahlentheorie. 2. Aufl. Verlag Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2005. (45,46)

Schmidt K./ Trenkler G.: Moderne Matrix-Algebra - Mit Anwendungen in der Statistik. (Springer-Lehrbuch), Verlag Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1998

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Bibliografische Angaben für „Eratosthenes“
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Bibliografische Angaben für „Primzahl“
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Sculpteur · Beitrag von **Sculpteur** » 20.01.2024 12:16

Die historische Erforschung der Zahlen: Alltagspraktische Anwendung von Theoremen
(es gilt der Haftungsausschluss, siehe Anhang des Ersten Beitrags in dieser Themenreihe)

- Beitrag wird aktuell noch stark überarbeitet und lektoriert -

Versuch des Beweises der Goldbach´schen Vermutung unter Anwendung des Bertrand´schen Theorems in Anwendung auf die Bolle´sche Matrix

Vorbedingungen und Vorgehensweise:
Das Bertrand´sche Theorem (auch Theorem von Bertrand-Tschebyschow) beschreibt, dass für jede natürliche Zahl n 1 mindestens eine Primzahl p mit n < p < 2n existiert [gWiki1].

Für den Versuch des Beweises der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung wird das vom Verfasser ersonnene Konzept der Bolle´schen Matrix verwendet, auf das Bertrand´s Theorem - auf spezielle adaptierte Art und Weise - direkte Anwendung findet.

Der schließliche Beweisversuch erfolgt auf Grundlage der Argumentation des vom Verfasser ersonnenen und von ihm sog. Stricknadel-Vermutung, die schließlich auf das Konzept der (im Vorfeld beschriebenen) Bolle´schen Matrix angewendet wird. Die Stricknadel-Vermutung des Verfassers, die vom Verfasser konzipierte Bolle´sche Matrix und das Bertrand´schen Theorem werden argumentativ schließlich miteinander kombiniert um zu versuchen, die starke (binäre) Goldbach´sche Vermutung zu beweisen.

Grundlage für den Versuch des Beweises sind damit die folgenden Vermutungen bzw. Behauptungen:

Behauptung A: Das Bertrand´sche Theorem beweist, dass sich in jedem verdoppelten n einer natürlichen Zahl mindestens eine Primzahl findet.

Behauptung B: Das Bertrand´sche Theorem ist (im Sinne der versuchten Beweisführung der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung) unmittelbar anwendbar auf die Bolle´sche Matrix, also auf die BM(p) (nach Hoppe, 2024).

Behauptung C:
Die Stricknadel-Vermutung des Verfassers kann vom Verfasser als wahr bewiesen werden und in Kombination mit dem Bertrand´schen Theorem direkt auf die Bolle´sche Matrix angewendet werden.

Behauptung D:
Folgende Vermutung des Verfassers kann durch die (entsprechend zu beweisenden) Argumentationsverkettung der vorhergehenden Behauptungen bewiesen werden, womit die starke (binäre) Goldbach´sche Vermutung (nach Ansicht des Verfassers) bewiesen wäre:
Für jede Primzahl in 2n eines verdoppelten n im Zahlenraum der natürlichen Zahlen findet sich stets eine Primzahl in n, die der jeweiligen in 2n befindlichen Primzahl in der Bolle´schen Matrix direkt (gespiegelt) gegenüberliegt: in der Bolle´schen Matrix finden sich ausschließlich (vom Verf. sog.) Primzahl-Komplementärpaare. Von dieser Regel existiert keine Ausnahme weil sich die Bolle´sche Matrix als über eine 45°-Achse gespiegeltes - und damit quasi gedoppelt überlagertes "Sieb" nach dem Prinzip des Siebs des Eratosthenes erzeugt: Immer dann, wenn sich in der Bolle´schen Matrix also eine Primzahl in n oder 2n auf der jeweiligen Zerlegungsachse eines Zahlenwerts befindet, findet sich für die spezifische Primzahl ein Komplementär auf der gegenüberliegend achsegespiegelten Bereichsseite der Bolle´schen Matrix. Wenn sich auf einer Zerlergungsachse in der Bolle´schen Matrix jeweils zwei Primzahlen komplementär gespiegelt als Zerlegungspaar gegenüberliegen, resultiert aus diesem Komplementär-primen Paar eine damit nachgewiesene duale (binäre) Zerlegung für einen spezifischen Zahlenwert. Weil in der Bolle´schen Matrix sämtlicher Zerlegungsachsen für die duale (binäre) Zerlegung von Zahlenwerten natürlicher Zahlen stets die (vom Verf. sog.) Spiegelachse der Bolle´schen Matrix über das jeweilige (vom Verf. sog.) "Zerlegungsachsen-Zentrum" schneiden, spielt es keine Rolle, an welcher Stelle in spezifisch 2n in der Bolle´schen Matrix sich bei größer werdendem Zahlenraum eine Primzahl findet: die Primzahl wird immer (wie bereits behauptet) einen entsprechenden Komplementär in n in der Bolle´schen Matrix finden. Der Verfassernennt diese (noch zu beweisende) Vermutung Stricknadel-Vermutung für die Bolle´sche Matrix.

- - - - -
Versuchte Beweisführung der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung
Grundlage für den Versuch des Beweises sind damit die folgenden Vermutungen bzw. Behauptungen:

Beweisführung zu Behauptung A:
getätigte Behauptung:Das Bertrand´sche Theorem beweist, dass sich in jedem verdoppelten n einer natürlichen Zahl mindestens eine Primzahl findet.

Diese Aussage ist als wahr bzw. richtig anzusehen, weil das Bertrand´sche Postulat als allgemeion anerkannt gilt weshalb es zum Theorem erhoben wurde. Behauptung A ist damit als wahr bzw. richtig nachgewiesen.

Beweisführung zu Behauptung B:
getätigte Behauptung:Das Bertrand´sche Theorem ist (im Sinne der versuchten Beweisführung der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung) unmittelbar anwendbar auf die Bolle´sche Matrix, also auf die BM(p) (nach Hoppe, 2024). Die Richtigkeit von Behauptung B wird im Folgenden aufgezeigt und damit bewiesen:

Das Bertand´sche postulat in Anwendung auf die Bollesche Matrix (BM(p) (nach Hoppe, 2024):
Bewiesen wird obenstehende Behauptung B mit strukturellem Beweis (siehe angehängte Abbildung 1).

Zu Abbildung 1 und dem Beweis der hier getätigten Behauptung B:
Das Bertrand´sche Theorem lässt sich im Hinblick auf den Beweisversuch der Goldbach´schen Vermutung auf mindestens zwei verschiedene relevante Arten und Weisen anwenden. Der Verfasser wählt hier die beiden folgenden Methoden:

Methode III:
Das Bertrand´sche Theorem lässt sich auf verschiedene Arten und Weisen mit daraus resultierenden verschiedenen Methoden anwenden (siehe angehängte Abbildungen mit Beispielen). Für die Beweisführung dass sich das Bertrand´sche Theorem im Hinblick auf die relevanten Fragestellungen zur starken (binären) Goldbach´schen Vermutung in der Bolle´schen Matrix anwenden lässt, verwendet der Verfasser eine entsprechend spezielle Methode, die der Verfasser hier und im Folgenden zwecks besserer DIfferenzierung Methode III nennt. Die Anwendbarkeit der Methode III für die Anwendung des Bertrand´schen Theorems auf die Bolle´sche Matrix kann in grafischer Darstellung Abbildung 3 (dieses Themenbeitrags) entnommen werden.
Das Bertrand´sche Theorem wird unter Verwendung der hier Methode III genannten Methode auf die BM(p) in diagonaler Richtung (mit 45°-Winkelung) im Haupt-Rasterfeld der BM(p) angewendet. Für die Beweisführung dieses Beweisschritts wird hierbei - wie der Abbildung 3 mit grafisch darstellbaren strukturellen Argumenten entnommen werden kann - der dargestellte Analyseraum der BM(p) entsprechend ausreichend groß gewählt. Der Verfasser verzichtet dabei im Folgenden darauf, den axiomischen Charakter der Anwendung der Methode III für das Bertrand´sche Theorem auf den Zahlenraum der BM(p) (sowie des Zahlenraums der natürlichen Zahlen; also ℕ; im Allgemeinen) dezidierter (zusätzlich) zu beweisen: aus den folgenden Darlegungen und der Abbildung 3 geht eindeutig hervor, dass sich das Prinzip der hier angewendeten Methode III nach folgendem Schema in ℕ entwickeln würde, was als Nachweis für die Universalität des Ansatzes in Anwendung auf ℕ nach sich zieht:

Wichtiger Hinweis zur Lesart der Bolle´schen Matrix:
Es ist generell möglich, die Bolle´sche Matrix auf die Lesart eines herkömmlichen Koordinatensystems mit X-Achse und Y-Achse zu übertragen. Hier wird jedoch die Lesart eines herkömmlichen Tabellendokuments gewählt, d.H. spezifische Zahlenwerte zur Zuordnung und Beschreibung von Anfangs- und Endpunkten von spezifischen Zahlenstrahlen in der Bolle´schen Matrix werden (hier ohne die Vorzeichen +,-) Zahlenwertangaben - jedoch im Stile eines Koordinatensystems - aus den mit Zahlenstrahlen in Richtung X-Achse und Y-Achse der Bolle´schen Matrix ausgestatteten Positionsleisten ausgelesen um Start- und Endpunkte spezifischer Zahlenstrahle im Haupt-Rasterfeld der Bolle´schen Matrix zu beschreiben.

Nomenklatur:
gewählte Abk. für Theorem von Bertrand-Tschebyschow (hier) = Th.BT
gewählte Bezeichnung für Methode III (des Verfassers) (hier) = method(III)
formale Darstellung des Theorems von Bertrand-Tschebyschow (hier) = n<p<2n
pos. = position
[...](xa)BM(p) = X-Achse der BM(p), auch "x-axis"
[...](ya)BM(p) = Y-Achse der BM(p), auch "y-axis"
Abk. für spezifischen Startpunkt eines Zahlenstrangs (hier) = (start)
Abk. für spezifischen Endpunkt eines Zahlenstrangs (hier) = (end)
Definition des zahlenwertspezifischen Anfangs- und Endpunkts eines spezifischen Zahlenstrangs in der Bolle´schen Matrix; definiert jeweils über die X-Achse und Y-Achse der Bolle´schen Matrix = n(spezifisch), z.B. n(spezifisch)[ya = n(3) ׀ ya = 3; xa = n(1) ׀ xa =1]

{Th.BT(n<p<2n); [n,2n)](multiple) ∈ ℕ ׀ Th.BT(n<p<2n) ∈ BM(p) ׀ [n(1),...,n(∞)] ∈ BM(p); [2n(1),...,2n(∞)] ∈ BM(p) ׀ n(1) = 1; 2n(1) = 2; (start)[n(1),...,n(spezifisch)] ∈ BM(p); n(spezifisch)[ya = n(3) ׀ ya = 3; xa = n(1) ׀ xa =1]}

resultierende Entwicklung (bei Startpunkt [x = n(1); y = n(3)] ∈ BM(p); [x = 1; y = 3]):
/ = dient (ausschließlich hier) hier aufgrund der begrenzten Möglichkeiten, (hier im Fließtext) tabellarische Strukturen darzustellen als Ersatzeichen um zwei aufeinanderfolgende Spalten grafisch-optisch voneinander abzugrenzen

[ya](start) / [xa](start) / [ya](end) / [xa](end) / [n] / [2n]
- - - - - - - - - - - - - - -
[3] / [1] / [1] / [3] / [1] / [2]
[4] / [1] / [1] / [4] / [2] / [4]
[5] / [1] / [1] / [5] / [3] / [6]
[6] / [1] / [1] / [6] / [4] / [8]
usw. usf.

Das Bertrand´sche Theorem wird auf diejenige Art und Weise in Diagonalrichtung (45-Winkelung) auf die BM(p) angewendet, dass jeder einzelne Zahlenstrang der BM(p) - ausgehend vom Ursprung der BM(p) erfasst wird. Das Bertrand´sche Theorem wird dabei so auf die BM(p) angewendet, dass ein spezifisches n (im Sinne des Bertrand´schen Theorems) in der BM(p) sich jeweils vom Beginn eines jeweils spezifischen Zahlenstrahls in der BM(p) bis hin zum jeweiligen Zahlenwert eines spezifischen Zahlenstrahls erstreckt, dass es auf dem Zahlenwert endet, der sich jeweils eine Position vor der Spiegelachse (Γ-Achse ∈ BM(p)der Bolle´schen Matrix) befindet.
Jedes spezifische 2n (im Sinne des Bertrand´schen Theorems in Anwendung auf die BM(p) erstreckt sich somit für jeden spezifischen Zahlenstrahl in der BM(p) beginnend vom Zahlenwert, der auf dem Schnittpunkt mit der Spiegelachse der Γ-Achse ∈ BM(p) eines jeweils spezifischen Zahlenstrahls liegt bis hin zum jeweiligen vorletzten Zahlenwert eines jeweils spezifischen Zahlenstrahls in der BM(p); dabei jeweils in aufsteigender Richtung. Diese Definition ist möglich weil die vom Verfasser sog. 1er-Positionen in der BM(p) für die Betrachtung der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung bei Anwendung des Bertrand´schen Theorems auf die Bolle´sche MAtrix ignoriert werden können (siehe Abbildung 3).

So entsteht folgende Phänomenik in der Anwendung des Bertrand´schen Theorems auf die BM(p), z.B.:
(Kettenalgorhitmische Darstellungsweise)
bt = Abk. für "Betrand´sches Theorem"

Kettenalgorhitmus:
(formatierungsbedingte Umbrüche direkt in den Algorhitmussträngen bitte ignorieren)
1ter Strang = {(methode III) ∈ BM(p) ׀ bt[n(1),...,2n(1)]; n(1) = (start)ya[3],xa[1];(end)ya[3],xa[1]; n(1) = 1; 2n(1) = 2}

2ter Strang = {(methode III) ∈ BM(p) ׀ bt[n(2),...,2n(2)]; n(2) = (start)ya[5],xa[1];(end)ya[4],xa[1]; n(2) = [1,...,2]; 2n(2) = (start)ya[3],xa[3];(end)ya[2],xa[4][3,...,4]}

3ter Strang = {(methode III) ∈ BM(p) ׀ bt[n(3),...,2n(3)]; n(3) = (start)ya[7],xa[1];(end)ya[5],xa[3]; n(3) = [1,...,3]; 2n(3) = (start)ya[5],xa[5];(end)ya[2],xa[8][4,...,6]}

4ter Strang = {(methode III) ∈ BM(p) ׀ bt[n(4),...,2n(4)]; n(4) = (start)ya[9],xa[1];(end)ya[6],xa[4]; n(4) = [1,...,4]; 2n(4) = (start)ya[5],xa[5];(end)ya[2],xa[8][5,...,8]}

Die erfolgreich mögliche Anwendung des Bertrand´schen Theorems auf die BM(p) (hier nach Methode I) und damit die Richtigkeit der Behauptung B ist hiermit bewiesen (siehe hierzu auch Abbildung 3 als Nachweis).

Beweisführung zu Behauptung C:
Behauptung C: die vom Verfasser formulierte sog. Stricknadel-Vermutung kann als wahr bewiesen werden und in Kombination mit dem Bertrand´schen Theorem direkt auf die Bolle´sche Matrix angewendet werden.

Erläuterung und Beschreibung der Stricknadelvermutung des Verfassers:
Die vom Verfasser sog. Stricknadel-Vermutung bezeichnet ein Matrix-Konzept in Anwendung auf zweidimensionale quadratische Matritzen, dass belegen soll, dass in einer um eine in einer Winklung von 45° zu spezifischer X-Achse und Y-Achse einer spezifischen Matrix jeweils Punktgleichheit erzeugt, wenn ein spezifischer Matrixausschnitt als Raum (bzw. Ebene) über die mit 45° die Matrix durchlaufende (über zwei gegenüberliegende Ecken der Matrix errichtete) einbeschriebene Achse gespiegelt wird. Damit beschreibt die Stricknadel-Vermutung ein einfaches und hinlänglich bekanntes (geometrisches) Achsspiegelungskonzept dass besagt, dass jeder Punkt auf der einen Seite der Spiegelachse (bzw. Spiegelungsachse) eine spezifische entsprechend gespiegelte Übertragung auf die andere Seite der Spiegelungsachse findet. Die Stricknadel-Vermutung beschreibt damit ein bekanntes geometrisches Konzept, hier in spezifischer Anwendung auf quadratische Matritzen. Für Spiegelungen nach der Stricknadel-Vermutung gilt dabei, dass auch Koordinaten in einer quadratischen Matrix gespiegelt und entsprechend (einachsig) spiegelverkehrte Übertragung auf die jeweilige (komplementäre) Gegenseite der Spiegelachse finden.
Damit resultiert aus dem Konzept der Stricknadel-Vermutung, dass jeder in eine quadratische Matrix einbeschriebene Punkt seinen gespiegelten Komplementär in der jeweiligen gespiegelten Gegenseite findet. Dieses Konzept lässt sich für eine quadratische Matrix beschreiben z.B. mit:

Nomenklatur:
a(n) = definierter Punkt in einer quadratischen Matrix
(gespiegelt) a(n) = a(n)´
(gespiegelt) a(n)´ = a(n)
a(n),a(n)´ ∈ MXN
a(n) ≡´ a(n)´ (soll heißen) = a(n) ist spiegelequivalent zu a(n)´

{a(n),a(n)´∈ MXN ׀ x[a(n)],y[a(n)] ≡´x[a(n)´],y[a(n)´] }

Topologisch resultiert aus diesem einfachen geometrischen Zusammenhang, dass jede exakt definierte quadratische Struktur, die entlang einer mit einer Winkelung von 45° zu einem Eckpunkt einbeschriebenen Spiegelungsachse ausgestattet ist, an der Spiegelungsachse um 180° gefaltet werden kann, so dass zwei gespiegelt equivalente zweidimensionale Ebenenausschnitte deckungsgleich zueinander in der Nullebene (hier auch dem Null-Ereignishorizont) des topologisch dreidimesionalen Raums orientiert werden können.

Würde nun die zur rechtwinkligen gleichschenklichen Dreiecksfläche einfach gefaltete quadratische topologisch eingegrenzte Ursprungsebene an einem spezifisch-definierten Punkt (unabhängig von der Seite der Durchlochung) exakt durchlocht werden und anschließend wieder zur Quadratischen Ebene (bzw. Fläche) aufgefaltet, wäre eine quadratische Ebene (bzw. Fläche) mit jeweils gespiegelt equivalenten Durchlochungen Diesseits und Jehnseits der Spiegelungsachse entstanden. Die spezifischen Koordinaten der Durchlochung wären dabei ebenfalls jeweils gespiegelt-equivalent zueinander aus der quadratischen Ebene ableitbar (z.B. durch entsprechende Rasterung) und dementsprechend spiegelequivalent zueiander beschreibbar. Daraus resultiert, dass ein spezifischer Punkt Diesseits sowie sein gespiegelter Punkt jehnseits der Spiegelungsachse der Ebene gemeinsam (dual) ein gespiegeltes komplementäres Paar von Punkten in der quadratischen Ebene bilden (binäre zweidimensionale Punktgruppe). Werden beide Punkte als gespiegelt-komplementäres Paar über die Spiegelungsachse der Ebene über eine Gerade (hier: Komplementärenachse) miteinander verbunden, kann abgeleitet werden, dass die Abstände zischen einem jeweiligen Punkt eines solchen gespiegelt-komplementären Paares zur Spiegelungsachse der Ebene jeweils exakt gleichgroß sind, dabei jedoch die Abstandsangaben (Abstandskoordinaten) der gespiegelt-komplementären Punkte - je nach vorheriger Definition der Ebene
unterschiedliche Vorzeichen (z.B. + oder -) aufweisen können.
Dieses Konzept kann in der Natur tatsächlich (natürlich nur annähernd exakt) beobachtet werden: wird z.B. beim Buchbinden ein quadratisches Stück Papier oder Pappe mit einer exakten Winkelung von 45°zu den Kanten der Quadratform (dabei Ecke auf Ecke) gefaltet und sauber gefalzt (siehe z.B. Origami-Papierchen) und z.B. mit einer Stricknadel an einem beliebigen Punkt in der Fläche durchstochen und anschließend wieder aufgefaltet, ist ein gespiegelt-äquivalentes Paar von Durchlochungen in der Papierfläche entstanden, dass die jeweils exakt gleichen Abstände und equivalent gespiegelten Orientierungen zur Knickfalz der Papierfläche aufweist. Werden beide Durchlochungen im Papier nun mit einer geraden Linie verbunden, kann außerdem die jeweils spezifisch-equivalente Winkelung der Punkte zur Knickfalz (z.B. durch Nachmessen) ermittelt werden.
Praktisch ergibt sich dabei (hier im Beispiel) stets eine Winkelung von stets 90° zur Knickfalz. Theoretisch (mathematisch) beträgt die Winkelung die entsteht, wenn zwei (wie hier beispielhaft beschrieben) zueinander komplementär stehende Punkte in der zweidimensionalen (hier quadratischen) Ebene mit eine Geraden über die Spiegelungsachse verbunden werden, stets (jeweils) exakt 90° zur Spiegelungsachse.
Im Folgenden soll die vom Verfasser als Stricknadel-Vermutung benannte, eigentlich grundlegende geometrische Gesetzmäßigkeit mit einem fachpraktischen Versuch zunächst demonstriert und anschließend theoretisch belegt werden (siehe Abbildungen 4,5,6 als Anhänge dieses Beitrags, folgen):

Die Stricknadel-Vermutung, demonstriert an einem quadratischen Stück Papier (siehe Abbildung 4.; folgt):

Nachweis der Achssymetrie in der Bolle´schen Matrix für a,a´∈ BM(p):

- wird aktuell noch überarbeitet -

Nomenklatur:
ma ∈ BM(p) = Spiegelachse in der Bolle´schen Matrix (Orientierung 45° zu X- u. Y_Achse)
≡´ "spiegelequivalent zu"

es sei:
{a,a´∈ BM(p) ׀ BM(p) = (multiple)ℕ(1,...,∞) ׀ a ≡´a´}

hier anhand von Beispielkoordinaten nachgewiesen bei:
(siehe Abbildung 11)
ma ∈ BM(p) = n(4) = 4(gamma) ∈ BM(p)
a ∈ BM(p) = n(3) = 3(alpha) ∈ BM(p)
a´∈ BM(p) = n(5) = 5(beta) ∈ BM(p)

Koordinaten von a,a´zu ma ∈ BM(p) = ma[a,a´] ∈ BM(p) ׀ a(gamma),a´(beta)ma(spiegelungspunkt) ∈ Γ ∈ BM(p) = n(4) ׀ [(a(alpha) + a(beta)´) : 2] [a ∈ ℕ ∈ BM(p) = n(3) = 3], [a´∈ ℕ ∈ BM(p) = n(5) = 5] ׀ [ma ∈ BM(p) (45°)] ׀ a[x = n(3), y = n(5) ׀ n(3) = 3, n(5) = 5], a´[x = n(5), y = n(3), n(5) = 5, n(3) = 3]}

Strangkoordinaten spezifisch {[a(alpha),a(gamma)´] ∈ ℕ ∈ BM(p)} = {(strang)[n(1),...,n(7), n(1) = 1, n(7) = 7] ׀ [n(1),...,n(7)](Strangkoordinaten) = (start,alpha ∈ BM(p))[x = n(1), y = n(7)]; (end,beta ∈ BM(p))[x = n(7), y = n(1)] ׀ n(1) = 1, n(7) = 7}

Rekursiver Nachweis in der Bolle´schen Matrix für achssymetrische Spiegelung a,a´:
bei:
a(alpha) ∈ BM(p) = 3
a´(beta) ∈ BM(p) = 5

rekursiv:
a(alpha) ∈ BM(p) = -1
a´(beta) ∈ BM(p) = 1

Α:Γ:Β(distance) :
[3,…,(4),…,5] ≡ rek.[-1,…,(0),…,1]
5 – 3 ≡ 1 – 2
5 – 2 = 3
1 – 2 = -1

Beweismöglichkeit der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung mit der Bolleschen Matrix
Um es vorweg zu nehmen und damit die versuchte Beweisführung der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung unter Anwendung des Bertrand´schen Theorems auf die Bolle´sche Matrix hier zu beenden: mit der Bolle´schen Matrix in Kombination mit dem Bertrand´schen Theorem ist es nicht möglich, die starke (binäre) Goldbach´sche Vermutung zu beweisen: es mag bei Betrachten der Zusammenhänge, die von der Bolle´schen Matrix ausgegeben werden so wirken, dass die Mastrix wirklich jede gerade Zahl in N in betrachteten Zahlenräumen lückenlos in mindestens jeweils ein primes Goldbach´sches Paar zerlegt: dieser Eindruck täuscht jedoch aus mathematischer Sichtweise, denn es handelt sich dabei eben nur um einen (möglichen) Eindruck und nicht um faktische Realität.
Eine der wohl brennendsten Begierden vieler Mathematiker vergangener Epochen mag darin gelegen haben, mit mathematischen Entdeckungen unsterblichen Ruhm zu erlangen: was Entdecker ausmacht, dürfte jedoch auch viele Mathematiker - und mathematisch Suchende - der Vergangenheit angetrieben haben: der unbedingte Wunsch, eine mathematische Problemstellung endgültig und eindeutig beantworten zu können. Einem mathematisch forschenden nützt ein gutes Bauchgefühl für die Zahlen die er vor sich sieht i.d.R. nichts, denn er benötigt schließlich Fakten um ein mathematisches Problem befriedigend und verbindlich gelöst zu haben (siehe hierzu auch Reiss, 2007]): Intuition und damit "Bauchgefühl" können sich in solchen Prozessen manchmal eine gute Sache erweisen, weil sie motivieren können, sich mit einer Frage weiter auseinander zu setzen, auch wenn der Weg steiniger wird: der Reiz beim Schatzsuchen liegt nicht immer nur im anschließenden Besitz des Schatzes, er liegt im Suchen und Finden selbst.
Um so schlimmer wohl für manche Suchende im Bereich der Mathematik, wenn sich die Suche dem Ende entgegen zu neigen scheint, aber keine verwertbaren Ergebnisse vorliegen: die Schatzsuche scheint dann auf ihr Ende zuzusteuern, aber einen Schatz hat man nicht gefunden. Mit einem solchen - oder ähnlich gearteten Frust umgehen zu können, will gelernt sein, schließlich haben manche mathematischen Fragestellungen einen vielleicht ein ganzes Leben lang beschäftigt und auch inspiriert. Doch alles neigt sich irgendwann einem Ende zu - das gehört zum Leben dazu - und die Quintessenz dessen was wir dann sehen - und im übertragenen Sinne "ernten - ist dann nicht immer das, was wir auch sehen wollen. Gedarde in solchen schwierig oder sogar ausweglos erscheinenden Situationen kann es möglicherweise hilfreich sein, einfach weiter zu gehen als Alternative zum "Hinschmeissen" von allem: intensive Auseinandersetzungen mit mathematischen Fragestellunegn können auch ohne den großen glänzenden Schatz am Ende der Suche eine Menge - nebensächlich erscheinende - Resultate erzeugen, die anderen nützen können: in der Mathematik und der gesellschaftlich-mathematischen Auseinandersetzung geht es nicht nur um große und zu feiernde Erfolge: einer der großen hauptaugenmerke im Bereich der Mathematik sollte z.B. auf der Frage liegen, wie wir Mathematik vermitteln und damit auch an kommende Generationen weitergeben. Diesen wichtigen Bereich methodisch-didaktischer Auseinandersetzung nenne ich Mathegogik, die meisten würden ihn jedoch wohl eher als Didaktik der Mathematik bezeichnen: die Didaktik der Mathematik setzt sich mit der Frage auseinander, wie mathematische Lerninhalte gut und ohne die Erzeugung von Lernfrust und Desmotivation u.A. vermittelbar sind. Eine der Quintessenzen dabei scheint es zu sein, den Punkt deutlich herauszuarbeiten, den ich oben bereits genannt habe: im Bereich des lehrenden und lernenden Umgangs mit Mathematik sollte es nicht um die ganz goßen Errungenschaften gehen, auf die man zusteuert, sondnern um kleine Verständnisschritte, die sich schließlich wie ein gut übverschuabares Puzzle allmählich zu einem ganzheitlichen Konzept zusammenfügen: ist das Puzzle einmal solide zusammengefügt, kommen die großen Erkenntnisse vielleicht eines tages von ganz allein, wen man zu denen gehört, denen der eigene Lebensweg eben solche Erfahrungen beschert (weshalb auch immer).
Auch Ramanujan muss sich schließlich mit einer Menge Frust herumgeschlagen haben, als er trotz intensivster Bemühungen und trotz hoffnungsvollster Vorzeichen schließlich doch nicht sein Ziel erreichte, eine gängige Formel für das verlässliche Berechnen von Primzahlen zu finden - und damit das Geheimnis der Primzahlen (als Erster und Endgültig) gelöst zu haben [Sautoy, 2013].
In der Auseinandersetzung mit den Naturwissenschaften kann man sich davon antreiben lassen, etwas unbedingt - und beinahe um jeden Preis - wissen zu wollen: Begleiterscheinung solch intensiver intrinsischer Motivation für die Auseinandersetzung mit naturwissenschaftlichen Fragestellungen kann das große Scheitern sein, auf das möglicherweise noch größerer Frust folgen kann.
Doch ist es das wert? Die Antwort auf diese Frage ist schwierig zu geben, denn jeder muss schließlich selbst wissen was er tut und was ihn antreibt. Bei der Auseinandersetzung mit den möglichen Frustmomenten in den Naturwissenschaften geht es aber im Kern noch um eine andere Frage: sind zu Beginn einer Auseinandersetzung überhaupt die richtigen Fragen an das Problem gestellt worden?
Die Auseinandersetzung mit dem Konzept der Bolle´schen Matrix kann den Eindruck erzeugen, dass in dem Gesamtzusammenhang der Zahlen die wir da vor uns in einer zweidimensionalen Matrix schön aufgereiht sortiert sehen, irgendein - wohlmöglich geheimnisvoller - Gesamtzusammenhang zu entdecken ist: an der Mathematik ist aber grundsätzlich nichts mystisches, es sei denn es wird vom Menschen hinein interpretiert (so wie es in der Vergangenheit tatsächlich immer wieder vom Menschen getan wurde (mit den entsprechenden Resultaten, derer wir heute noch teilhaben können). Deshalb gestaltet es sich auch als gut funktionierende - mögliche und bewährte - Methode, sich mit mathematischen zusammenhängen kleinschrittig auseinander zu setzen und eine mathematische Problemstellung regelrecht zu sezieren um zu dem eigentlichen Problem; der Kernfrage einer mathematischen Problemstellung; zu gelangen: im Hinblick auf die Bolle´sche Matrix - und damit spezifisch gültig für Primzahlen und die starke (binäre) Goldbach´sche Vermutung - ist das die frage, wo der vielzitierte "Kreis sich schließt" und uns trotz aller bunter Möglichkeiten, z.B. Matritzen zu gestalten um Primzahlen und dere Eigenbschaften zu erforschen, das Kernproblem eindeutig herausgefiltert beschert, damit wir es exakt betrachten können. Im Hinblick auf Primzahlen und die starke (binäre) Goldbach´sche Vermutung liegt die Möglichkeitn, diesen "mathematische Extrakt" klar zu erkennen, in der notwendigen Unterscheidung zwischen binären Goldbach´schen Paaren: in der Bolle´schen Matrix als einem Matrix-Konzept dass diese Fragestellungen deutlich herauskristallisiert, finden wir eine grundlgenede mathematische Problemstellung vor uns präsentiert, die auch auf andere Art und Weise ausgedrückt präsentiert werden kann und das eigentliche Problem mit den Primzahlen und der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung damit deutlicher werden lässt: dieses Problem findet sich insbesondere in der Unüberschaubarkeit von - z.B. tabellarisch - dargestellten Zahlenräumen, weil diese schlicht und ergreifend zu groß sind und deshalb zu vielfältige Informationen bieten können, um überschaut zu werden. Diese Unüberschaubarkeit mathematischer Problemstellungen ist in der Welt der unendlich großen zahlenräume einer der Gründe weshalb der sich mathematisch auseinandersetzende Mensch stets nach Vereinfachungen und Verallgemeinerungen suchte: eins der Hauptziele der Mathematik seit ihrer Entstehung und während ihrer Jahrtausende andauernden Entwicklung war und ist das Ableiten von grundlegenden Gesetzmäßigkeiten und daraus resultierenden Vereinfachungen. Aus diesem Grund kennen wir heute das Ergebnis von Euklids Bestrebungen, Herleitungsregeln für mathematische Problemstellungen durch Anwendung von Logik zu ersinnen und damit Axiome zu begründen, die uns häufig noch heute des Leben erleichtern (oder erschweren- je nach Standpunkt und Faible für die Mathematik). Sautoy beschreibt dieses Bestreben des mathematisch sich auseinandersetzen Menschen - in Rückbesinnung auf die Anfänge z.B. bei den alten Griechen und im speziellen u.a. mit Blick auf das Leben und Wirken Gauß als "die Suche nach Mustern" [Sautoy,37].

Der "goldene Schlüssel der Erkenntnis" z.B. für das Finden der Antwort auf die starke (binäre) Goldbach´sche Vermutung - so wünschenswert es wäre, "ihn endlich zu finden" und so sehr jedem, der ihn findet dieses Glück gegönnt sei, existiert vielleicht überhaupt nicht: rein theoretisch ist es - banal betrachtet - möglich, dass Goldbach mit seiner Liebe zu den Zahlen [Sautoy, 2013] von Anfang an die falsche Frage im Hinblick auf die Eigenschaften von Primzahlen gestellt hat und damit jedes weitere Suchen im Sinne der ursprünglichen Fragestellung nach der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung eigentlich vergebens ist:

[ZITAT]:
Schon mit den wenigen hier aufgezeigten Begriffen kann man in recht tiefgründige Probleme der Zahlentheorie einsteigen. Es gibt viele alte und trotzdem immer noch offene Fragen, die eines gemeinsam haben: sie sind ganz leicht zu formulieren, aber schwer zu entscheiden. Ein berühmtes Beispiel ist die Goldbach´sche Vermutung, die im 18. Jahrhundert formuliert wurde.
[ZITAT ENDE] [Reiss,32]

Das Konzept der Bolle´schen Matrix; also die gedoppelte und im Winkel von 90° zueinander verdrehte Überlagerung des adaptierten Sieb-Prinzips des Eratosthenes erzeugt in anschaulicher Form als Datenausgabe lückenlos - dabei ausgehend vom Ursprung - dem Zahlenwert 1, in der aus dem Konzept der Matrix resultierenden Prinzip der dualen (binären) Zerlegung gerader natürlicher Zahlenwerte sämtliche primen Goldbach´schen Paare. Wir erhalten mit der Bolle´schen Matrix also einen gut strukturierbaren Überblick über den (eigentlich winzigen) Ausschnitt des dargestellten Zahlenraums
(bei der Bolle´schen Matrix ist das der Zahlenraum multipel N). Doch so groß wir diesen Ausschnitt angesichts der per Definition existierenden Unendlichkeit des Zahlenraums der natürlichen Zahlen auch anlegen: es wird stets ein winziger Ausschnitt bleiben. Dieser Ausschnitt - so unglaublich groß er auch sei - genügt nicht, um eine verlässliche Aussage über das Verhalten von Primzahlen im Zusammenhang mit der Fragestellung nach der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung zu treffen.
Von den Zerlegungseigenschaften gerader natürlicher Zahlen und den Eigenschaften der Primzahlen her ist (bei aktuellem Stand des heutigen Wissens) bekannt, dass sich für den Zahlenraum der natürlichen Zahlen für die Suche nach sog. Goldbach-Zerlegungen mittels Computerunterstützung sehr große Zahlenbräume erfolgreich analysieren lassen ([gWiki5], Punkt Goldbach-Zerlegungen). Damit wäre die starke (binäre) Goldbach´sche Vermutung für mittels computerunterstützung für recht große (natürlich ist "groß" als Begriff in dieser Hinsicht sehr relativ) analysierte Zahlenräume bereits verlässlich berechnet.
Der Versuch, sämtliche in sehr großen Zahlenräumen befindliche Goldbach´sche Zerlegungen in Form einer tabellarischen Übersicht im Stile der Bolle´schen Matrix darstellen zu wollen, wäre deshalb zum einen alles andere als sinnvoll und zum anderen technisch (z.B. wegen des dafür erforderlichen Datenvolumens und erforderlicher Rechenkapazitäten) sehr wahrscheinlich unmöglich. Vor allem aber wäre ein solches fiktiv vorstellbares Tabellendokument in puncto Übersichtlichkeit mehr als weit jehnseits des vorstellbaren.
Jeder - noch so große - Zahlenraumausschnitt stellt im Sinne des Unendlichkeitsbegriffs der auf den Zahlenraum der natürlichen Zahlen angewendet wird, stets nur einen theoretisch winzigen Ausschnitt aus der Gesamtanzahl der natürlichen Zahlen dar - und hier er wird auch der Unendlichkeitsbegriff damit zum Problem: per Definition kann der Zahlenraum der natürlichen Zahlen niemals enden und demnach auch gar keine "Gesamtanzahl" von natürlichen Zahlen enthalten: der Zahlenraum der natürlichen Zahlen - weil er eben unendlich groß ist - endet niemals. Es wird also daraus folgend niemals DIE größte natürliche Zahl existieren, allerhöchstens die (jeweils) dargestellte bzw. darstellbare größte natürliche Zahl.
Wie es die alten Griechen bereits betrachteten, wird auf eine jeweils größte natürliche Zahl stets eine weitere, noch größere folgen und darauf wieder eine und darauf noch eine usw. usf.
Wir können also aufgrund der Definition der natürlichen Zahlen konkret gar nicht eingrenzen, wie groß der Zahlenraum der natürlichen Zahlen ist damit er fassbarer wird. Auch ist die Frage ob der Größenbegriff in der Hinsicht in Anwendung auf natürliche Zahlen und die Unendlichkeit des Zahlenraums der natürlichen Zahlen überhaupt weiterhin sinnvoll ist:
auch der Unendlichkeitsbegriff in der Mathematik ist eine der Baustellen, an denen viel gewerkelt wird, an der aber stellenweise auf der Stelle getreten wird und noch entsprechender Diskussionsbedarf zu existieren scheint, denn wie sollen wir einem Lernenden den unendlichkeitsbegriff in Anwendung auf Zahlen näher bringen wenn wir selbst nicht so recht wissen, was wir mit diesem Begriff anfangen sollen?
Auf den spezifizierten Unendlichkeitsbegriff mit seinem Formelzeichen ∞; der sog. liegenden Acht in der modernen Mathematik resultierend nicht grundlos entsprechende Anwendungsregeln.

Die primen Kreuzungspositionen in der Bolle´schen Matrix:
Bei Betrachtung des aus der Bolle´schen Matrix resultierenden Konzepts der primen Kreuzungspositionen wird bei genauerer Betrachtung deutlich, weshalb das Bertrand´sche Theorem in Anwendung auf die Bolle´sche Matrix keine Aussagekraft für die Klärung der Fragestellung der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung bietet. Insofern ist der vorgenannte Beweisversuch als erfolglos anzusehen: das Konzept der hier sog. Stricknadel-Vermutung (und damit eines herkömmlichen Achsspiegelungskonzepts) belegt zwar die interessante Phänomenik der Bolle´schen Matrix, führt aber aus folgenden Gründen ebenfalls nicht weiter:
In der Bolle´schen Matrix kreuzen sich (hier) sog. Primzahlpositionen: setzen wir ausgehend von den in den Positionsleisten der Bolle´schen Matrix markierten Primzahlpositionen "strahlenartig" farbige Balken in ein geleertes Hauptrasterfeld der Bolle´schen Matrix, erhalten wir zunächst einmal ein Rasterfeld aus sich überkreuzenden z.B. farbigen Balken. Dort, wo sich die Balken im Hauptrasterfeld der Bolle´schen Matrix überschneiden, werden prime Positionen markierend besonders hervorgehoben. Die Positionen an denen sich horizontale und vertikale balkenförmige Markierungen im Hauptrasterfeld der Bolle´schen Matrix dabei treffen erzeugen jeweils sich über die Spiegelachse der Bolle´schen Matrix im Hauptrasterfeld der Matrix gespiegelte Goldbach´sche Paare (siehe Abbildung 12, folgt).

Die Bolle´sche Matrix als mehrschichtiges (multipel-zweidimensionales) Matrix-Konzept
Speziell am Konzept der Bolle´schen Matrix ist ihr grundlegender Aufbau: Im Konzept der Bolle´schen Matrix vereinen sich zwei Ausdehnungskonzepte mit linearer zweidimensionaler Ausdehnung die sich in einer Winkelung von 90° überlagern und damit eine Matrix mit um 45° in der Matrix orientiertem Achsspiegelungscharakter erzeugen: in der Bolle´schen Matrix entwickeln sich zwei voneinander unabhängige Zahlenstrahle natürlicher Zahlen (als Positionszahlenstrahle; siehe Positionsleisten der Bolle´schen Matrix) ausgehend von ihrem jeweiligen Urpsrung, dem jeweiligen Zahlenwert, bzw. der Zahlengröße 1 (Eins) [hier in Bezugnahme auf das Konzept der Bolle´schen Matrix ohne inkludierten Zahlenwert 0 (Null) bei N = {1,2,3,4,5,6,7 ...}. Diesem Konzept dass im topologischen Sinne eine (in der hier gewählten theoretischen Betrachtung der Einfachheit halber quadratische) zweidimensionale Ebene mit 90°-Winkelung erzeugt, wird zur Erzeugung der Primzahlpositionen mit spezifischen Kreuzugsbereichen und Kreuzungsfeldern Bolle´schen Matrix das Prinzip des Siebs des Eratosthenes adaptierend für beide zueinander im Winkel von 90° zueinander orientierten Positionszahlenstrahle (in der Nullebene, also dem Ereignishorizont der Matrix sich überlagernd) hinzugefügt. Eine weitere Überlagerung wird der Nullebene der Matrix hinzugefügt indem in die Zellen der Matrix mit Zahlenstrahlen natürlicher Zahlen - ausgehend von ihrem jeweiligen Ursprung Zahlenwert (bzw. Zahlengröße) 1 (Eins) eingetragen werden: die Zahlenstrahle von jeweils N werden in der Matrix in der Nullebene zellpunktexakt multipel hintereinandergereiht eingetragen: die Entwicklung des Zahlenstrahlen-Konzepts im Hauptrasterfeld der Bolle´schen Matrix stellt also ein asymetrisch-lineares multiples Konzept dar. Die in die Zellen des Hauptrasterfelds der Matrix jeweils eingetragenen Zahlenwerte (bzw. Zahlengrößen) können dabei jeweils wie exakt orientierte Rasterpunkte angesehen werden. Der Vorzug dieser Sichtweise liegt per Definition darin, dass die in den Zellen des Hauptrasterfelds der Bolle´schen Matrix eingetragenen Zahlenwerte (bzw.) Zahlengrößen im Sinne eines - je nach Bedarf und Erfordernis - spezifischen Koordinatensystems definiert und betrachtet werden können. Diese Durchmischung von Eigenschaften, die sich in der Bolle´schen Matrix vereinen, ermöglichen die hier gewählte und erfolgende versuchte Beweisführung für die angenommene Richtigkeit der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung unter Anwendung des Bertrand´schen Theorems.
Bei vorliegender Kentnis über die Art und Weise wie in modernen Bildbearbeitungs-Softwares mit sog. "Ebenen" heutzutage überlicherweise gearbeitet wird, indem verschiedenen Ebenen überlagert werden, um quasi schließlich zu einem einzigen Bildprodukt "verschmolzene" Ergebnisse zu erhalten, kann ein weiterführender Verständniszusammenhang über das Konzept der Bolle´schen Matrix entstehen (siehe zum Vergleich Abbildung 7).

Bibliographie:
(Hinweis: Wikipedia-Quellen werden nicht alphabetisch, sondern chronologisch - nach Zeitpunkt des Zugriffs sortiert - aufgelistet. Gleiches gilt für foreninterne Links als hier gelistete Quellen.)

[Bücher]:
Reiss, K.: Mathematik für das Lehramt – Basiswissen Zahlentheorie. 2. Aufl. Verlag Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2005.

deutschsprachige Wikipedia [gWiki]:
[gWiki1]:
Bibliografische Angaben für „Bertrandsches Postulat“
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PDF´s:
Fackeldey, Konstantin: Die Goldbach´sche Vermutung und ihre bisherigen Lösungsversuche. Freie Universität Berlin, 2002
Link zur Publikation: https://page.math.tu-berlin.de/~fackeld ... keldey.pdf
Datum und Zeitpunkt des Zugriffs: 24.01.2024; 06:45 MEZ

Podcasts:

Sculpteur · Beitrag von **Sculpteur** » 26.01.2024 04:42

- Beitrag wird aktuell noch erstellt und stark überarbeitet -

Wie sich gezeigt hat genügten die bisherigen Versuche, die starke (binäre) Goldba´ch´sche Vermutung zu lösen bis heute schlicht und ergreifend nicht, um einem erfolgreichen Ziel zugeführt zu werden. Mit inbegriffen ist hierbei z.B. auch der hier im Thema bisher vorgestellte Lösungsansatz des Verfassers: beim hier dokumentierten Versuch, die starke (binäre) Goldbach´sche Vermutung unter Anwendung des Theorems von Betrand (auch Theorem von Bertrand-Tschebyschow) auf die Bolle´sche Matrix zu beweisen, zeigte sich schließlich, dass der Lösungsansatz eine elementare formale Komponente vermissen lässt: dem hier bisher vorgestellten Lösungsweg fehlt eine elementare formale (und einleuchtende) Komponente, ein formaler Beweisschritt der das Potenzial besitzt, sich nicht mutmaßend zu äußern, sondern einer der wirkliche Gewissheit bringt, dass die dargelegten Schlussfolgerungen des Verfassers auch wirklich korrekt sind und im Ergebnis - also in der Übereinkunft sämtlicher angewendeter Logik-Schritte - Verlässlichkeit bringt, die sich mathematisch (idealerweise) auch gesamtgesellschaftlich verwerten lässt.
Solcher Entwicklungen und "hürdenläufe" sind in der Auseinandersetzung mit der Mathematik als naturwissenschaftlicher Disziplin völlig normal: solche Prozesse des Auf und Ab gehören zur Mathematik dazu wie der Schnürsenkel zum festen Schuhwerk: erst glauben wir, eine tolle Lösung für ein mathematisches Problem erkannt zu haben, dann stellen wir allmählich (manchmal auch plötzlich und "wie vom Blitz getroffen" fest, dass wir uns geirrt haben - zumindestens in manchen Bereichen: solche Irrwege der mathematischen Auseinandersetzung sind nicht falsch. Solche Wege sind nicht das was wir in der mathematischen Auseinandersetzung vermeiden sollten. Ganz im Gegenteil: wer die Angst vor dem Scheitern nicht überwinden kann, der sollte nicht mathematisch forschen. Die Mathematik ist wie eine ghroße Bühne, die es zu betreten gilt, manchmal im Sinne einer sponaten Stand-Up-Comedy: manchmal betritt man die Bühne schlecht vorbereitet oder es fehlt einem an der passenden Energie, den stimmigen "Talent": dann können wir scheitern. Das Publikum lacht uns aus - aber nicht auif die Art und Weise, wie wir das erhofft hatten. Der Vorhang fällt, die Show ist aus, wir gehen nach dem Abschminken nach Hause und denken wir haben versagt. Doch das ist nicht wahr: gerade auf der Bühne - und so auch in der Mathematik - geht es darum, jedes sogenannte Scheitern als herausfordernde Ermutigung zu begreifen, es beim nächsten Mal besser zu machen. Es sind vielleicht die gescheiterten Versuche, die unsere heutige moderne Mathematik im Hinblick auf komplexeste Konzepte so weit gebracht haben mögen. Das mag zum Einen daran liegen, dass es für viele schwer zu sein scheint, Scheitern zu ertragen, weshalb sie schließlich nach dem Scheitern noch größere Kräfte aufwenden um es besser zu machen - oder aber es liegt daran, dass im Bereich der Naturwissenschaftenm forschende irgenwie niemals richtig die gewählten Thema loslassen können, weil sie zu sehr faszinieren, zu sehr anspornen. Naturwissenschaftliche Auseinandersetzung kann manchmal überfordern, uns vor große Herausforderungen stellen - weil es in der Naturwissenschaft eben auch darum geht, Dinge zu entdecken, die noch unbekannt sind. bzw. bisher noch unbekannt waren.
Eigentlich sind also gerade diejenigen Menschen, die sich trauen eine Bühne zu betreten obwohl sie wissen, dass sie damit scheitern könnten, die besonders mutigen.
Die Auseinandersetzung mit naturwissenschaftlichen Themen und der dazugehörige Präsentationsdruck der entstehen kann wenn wir eine Theorie dem Breiteren Publikum präsentieren (dabei egal auf welchem Wege) ist normal, Er gehört zum Tagesgeschäft der Naturwissenschaften. Dieser mögliche "Druck" (Der unerträglich werden kann und hier und dort auch mit Lampenfieber zu vergleichen ist, diesen Druck kann man vergleichen mit einem Auftritt für eine Präsentation einer Hausarbeit vor der eigenen Grundschulklasse: nicht jeder kann es; nicht jeder mag es und nicht jeden sollte man dazu zwingen.
Entscheidend an diesem auch gesamtgesellschaftlichen Phänomen - der Angst oder Furcht vor dem Ausgelacht werden, vor der Ausgrenzung, vor dem nicht dazu gehören - diese Angst oder Furcht gehört zum Alltag in unseren Klassenzimmern denn hier polarisiert sich mit am stärksten, was unsere Gesellschaften bewegt: an vielen alltäglichen Lernorten in vielen alltäglichen Lernsituationen und Gemeinschaftssituationen zeigt sich unser Gesamtversagen als Gesellschaft, wenn wir die falschen Wege beschritten haben; wenn Inklusion und respektvoller Umgang miteinander im Klassenzimmer Fremdwörter und unbekanntes Terrain sind, wenn Ausgrenzung, Mobbing, Hierarchie, Herrschsucht und Wettbewerb bis hin zum Konkurenzkampf 8auch unter Kollegen, nicht nur unter Lernenden) zur Tagesordnung gehören. Mit am stärksten polarisieren sich all diese bedenklichen Eigenschaften des Menscxhen im Unterrichtsfach Mathematik, denn hier geht es mit am stärksten um Auslese, weil die Mathematimk zu den Naturwissenschaften geht und es in den Naturwissenschaften i.d.R. (und mit seltenen Ausnahemn) nur die Modi Richtig oder Falsch gibt (manchmal existieren auch in den Naturwissenschaften die Modi Richtung und gleichzeitig falsch, aber das ist ein ganz anderes - auch interessantes - Thema, das auf einer naderern Internesteite geshcrieben steht): übertragen wir die knallharte formale Auslese die z.B. in der Mathematik das eigentliche Konzept ist, um zu verlässlichen mathematischen Schlüssen zu gelangen, haben wir den eigentlichen Sin in der Gestaltung von fruchtbaren Lernprozessen verfehlt, vergeudet, regelrecht boykottiert. Die Früchte solcgher Verfehlungen Lehrender bzw. auch von ganzen Lehrsystemen im gesamtgesellschaftlichen Kontext; also der Frage, wie unsere Gesellschaften unterrichten um Wissen weiterzugeben, wie unsere Gesellschaften ausbilden und weiterführen, die können häufig erst wesentlich später geerntet und zu Markte getragen werden - wo sie dann nochmals bewertet und begutachtet und schließlich im shclimmsten Fall nochmals ausgemustert (und im übertragenen Sinne n icht gekauft; von der Laufkundschaft nciht angenommen werden). Manche Menschen begleiten die Probleme, die in ihrer Grundschulzeit z.B. im Unterrichtsfach Mathematik - und häufig gerade dort - entstanden sind, ihr ganzes Leben lang; bis hinein ins hohe Alter. Dies zeigt, wie wesentlich wichtig es für unsere Gesellschaften ist, gerade in solchen als schwierig einzustufenden Unterrichtsfächern ist, mit voreingestellten Meinungen und Notendruck nicht zu vorschnell hausieren zu gehen: die Gründe für das stellenweise Kollateralversagen im Unterrichtsfach Mathematik können häufig schlichtweg auch unseren Lehrgesellschaften und ihren Lehrsystemen zugesprochen werden.

Ist jeder mathematikaffin forschende der nicht stringent-systematisch forschend vorgeht, kein Mathematiker?
In der Geschichte der Entwicklung der Mathematik wimmelte es vermutlich zu allen Zeiten ihres Entstehens vor Ideen hoffnungsvoller hoffnungsloser Träumer mit einem Überschuss an Kreativität, die im Ansatz bahnbrechenden Charakter anstrebten, deren präsentierte Ergebnisse sich jedoch schließlich als Faux Pax erwiesen. Solchen Ideen mangelte es - und mangelt es auch heute - an etwas elementarem, das eben den Charakter der Mathematik als einer Naturwissenschaft ausmacht. Anders und etwas malerischer ausgedrückt: viele Wege führen nach Paris, viele führten nach Rom, doch nicht jeder dieser Wege war kein Irrweg und erst recht nicht jeder dieser Wege war gut ausgebaut, sondern stark sanierungsbedürftig. Einer der wesentlichsten Gründe, weshalb sich die mathematische Auseinandersetzung des Menschen mit großen zurückliegenden Schritten relativ rasch zur Naturwissenschaft "mauserte" liegt in ihrem Charakter des alltäglich anwendbaren Nutzens. Die Mathematik bietet dabei nicht immer in großer Bandbreite möglichst vielen Menschen einen Zugang zu alltäglich anwendbarem Nutzen weil es in der mathematischen Auseinandersetzung eben auch sehr komplexe Bereiche und dazugehörige entsprechend komplexe Fragestellungen und Vorgehensweisen gibt. Dementsprechend scheitern in der Mathematik als naturwissenschaftlicher Disziplin manchmal eben auch die ganz besonders "Großen", also auch renommierte Mathematiker. Das Scheitern auch der eigentlich Erfahrenen und stark ausgebildeten mag dann verschiedenen Gründe haben. Häufig aber liegt es vielleicht einfach daran, dass sie zu vorschnell präsentiert haben - und erst anschließend feststellen, dass sie sich geirrt haben.
Irrtümer gehören zur Mathematik dazu: das Problem der Mathematik setzt nicht beim Irrtum an, sondern bei der Präsentation eines Irrtums, der als Wahrheit verkauft wird. Wer mathematisch forscht und dazu veröffentlicht, sollte also in seiner Kalkulation den mit einzukalkulierenden Posten "Irrtum" stets offen halten für Eintragungen. Diese Art von Bilanz lässt sich in der Auseinandersetzung mit der Mathematik heutzutage wohl nicht wegdenken, solange wir Mathematik und mathematische Auseinandersetzung als leistungsträchtigen sportlichen Wettkampf betrachten in dem es darum geht, dass nur der Erste, der Beste, der Schnellste gewinnt und den zieldurchlauf erreichen darf um das dort aufgespannte Band zu durchtrennen. Es ist eine spannende Frage was gesamtgesellschaftlich geschehen würde, wenn wir diesen Leistungsdruck aus der Mathematik entfernen würden.

Im Großen und Ganze ist die Mathematik von großer alltäglicher Anwendbarkeit - und damit auch für sehr viele Menschen- von großem alltäglichen Nutzen, denn was wären wir heute z.B. ohnee die alltägliche Kunst des Zählens und rechnend, die erlernt sein weil, damit sie angewendet werden kann?
Ohne die Mathematik kommen wir heute in kaum noch einem Lebensbereich aus. All die Bereiche, in denen wir Mathematik tagtäglich nutzen, brauchen hier dabei nicht erst aufgezählt zu werden: Mathematik durchdringt und prägt unser alltägliches Leben - und das sogar dann, wenn wir überhaupt nichts davon merken und von Mathematik überhaupt gar keine - oder noch keine - Ahnung haben.
Zum Menschsein gehört es heute dazu, eine Ahnung und Vorstewllung von der Mathematik überhaupt erst einmal zu entwickeln. In der Regel geschieht dieser Prozess allmählich und will kleinschrittig aufgerbaut sein, weil er die allermeisten Menschen in Lernphasen in de Auseinandersetzung mit der Mathematik schlichtweg überfordern würde. Es ist dabei im übertragenen Sinne auch einfach so, dass nicht jeder alles über die Mathematik wissen muss: das wäre soviel Lernstoff, dass wir überhaupt erst einmal eine Berechnung darüber anstellen müssten, um wieviel Lernstoff es sich überhaupt handelt. Am Ende dieser fiktiven Berechnung würde ein solch schieres Ausmaß an mathematischen Ideen, Konstrukten und Konzepten stehen, dass es dem Menschen vielleicht heute überhaupt nicht möglich ist - und vielleicht auch niemals sein wir - dieses Konglomerat an Ideen zusammenzutragen und in eine überlieferbare Form zu bringen. Bereits vor über 20 Jahren - so erinnere ich mich über das Lesen eines Fachartikels in einer rennomierten Fachzeitschrift
- war es der Menschheit nicht möglich, sämtliche Neuerscheinungen in Buchform auf Mikrofilm (Mikrofiche) zu bannen. Der Mikrofilm ist inzwischen weitläufig selbst zur Geschichte geworden: wir setzen heute auf moderne Datenverarbeitung - und verlieren allmählich entsprechend proportional den Überblick über all die Ideen und Errungenschaften des Menschen, die vielleicht überlieferungswürdig wären.
In der Geschichte der Entwicklung der Mathematik war dieses Problem überschaubarer: Es gab zwar bereits zu Zeiten Babyloniens schier endlos wirkende Massen von in Ton verewigten und in Keilschrift verfassten Schriftstücken, von denen ein uns heute vermutlich nur nkleiner überthaupt bekannter Teil weiterhin mit entsprechendem Aufwand ausgewertet wird. Auch haben wir noch heute (oder gerade heute) mit historischen Dokumenten - etwa zu mathematischen Themen - in der wissenschaftlichen Auseinandersetzung zu kämpfen, weil uns schlichtweg "Daten" und damit Zugriff auf Zusammenhänge fehlen: viel vom damaligen Wissen der Antike ist beim Brand der Bibliothek von Alexandria verloren gegangen.
In der weiter zurückliegenden Vergangenheit war das Ausmaß an veröffentlichtem mathematischen Wissen überschaubarer, es gab aber vermutlich auch wesentlich weniger Menschen, die des Lesens und des Nachvollziehens mathematischer Zusammenhänge mächtig waren und sich in veröffentlichte Form gebrachtes Wissen - etwa in Form von Büchern- überhaupt leisten konnten. Dabei gab es in der Menschheitsgeschichte bis heute natürlich auch Zeiten, die an verschiedenen Orten auch in der heutigen Welt noch nicht zu eEnde sind, in denen es Menschen schlichtweg verboten war, bestimmte überlieferte Zusammenhänge - z.B. in Buchform-. überhauopt zu besitzen: erinnern wir uns z.B. an Kepler, der für das Verfassen seiner Schriften mit den wohl schlimmsten Konsequenzen gesellschaftlich geahndet wurde, die einem Veröffentlichenden überhaupt zu Teil werden können.
Heute haben wir glücklicherweise in der Regel - aber weltweit und gesamtgesellschaftlich betrachtet leider nciht ausnahmslos - das Recht und die Möglichkeit, uns gesamtgesellschaftlich mit Wissensaspekten auseinanderzusetzen, die noch vor einigen Jahrhunderten stark und flächendeckend tabuisiert waren weshalb ein Umgang mit solchem ideen- und Gedankengut trotz aller möglicher Wissenschaftlichkeit in der Auseinandersetzung unter Strafe stand: der generalisierte Verbot von Wissen - damals wie heute - stellt kulturgesellschaftlich betrachtet eine totalitäre Willkürherrschaft dar.
Viele von uns können es sich vielleicht gar nicht vorstellen, wie es dazu kommen konnte. Geschuldet ist dies der übertriebenen Mystifizierung der Mathematik in der Geschichte der Entwicklung der Mathematik.

Moderne Mathematik - Irrwege und Auswege
Auch heute noch - im Zeitalter der modernen Mathematik - entstehen viele neuartige Ideen für Ansätze, mathematische Probleme zu lösen - und erinnern wir uns: vor über 100 Jahren stellte Hilbert auf dem internationalen Mathematikerkongress in Paris eine von ihm zusammengestellte Liste mit 23 fundamentalen mathematischen Problemstellungen vor, womit er die mathematische Forschung bis heute nachhaltig prägte:

[ZITAT]:
Von den Problemen gelten gegenwärtig (2012) 15 als gelöst, 3 als ungelöst und 5 als prinzipiell unlösbar, letztere zum Teil auch wegen zu unpräziser Formulierung. (...) Das berühmteste ungelöste Problem ist die Frage nach den Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion, Hilberts 8. Problem.
[ZITAT ENDE] [gWiki1, Abshcnitt Hilberts 23 Probleme]

Wie sich bei Auseinandersetzung mit Hilberts Liste und den darin noch enthaltenen ungelösten - oder als unlösbar eingestuften - mathematischen Problemen zeigt, ist die Mathematik in Betrachtung ihrer gesamten Entstehung bishin zur heutigen Entwicklung eine noch recht junge Wissenschaft mit noch vorhandemen Entwicklungspotenzial. Dieser umstand kann jedoch - je nach gewähltem Betrachtungswinkel - in gewisser Weise auch fröhlich stimmen: es kann (und darf) noch (vermutlich) vieles entdeckt werden in der Mathematik, denn was wäre langweiliger als eine Wissenschaft, die bereits alles weiß?

Behauptet werden kann im Bereich der Mathematik vieles (und so ist es in all den vergangenen Jahrhunderten und Jahrtausenden der Entstehung der Mathematik auch geschehen): schließlich jedoch kommt jemand und sagt: kannst Du es auch beweisen? Und genau diese fundamentale Forderung der Mathematik macht sie als Naturwissenschaft aus und ist wohl eine der wichtigsten Leitlinien der Wissenschaft überhaupt: in der Mathematik geht es nicht um Mutmaßungen sondern um handfeste Erkenntnisse: selbst der größte und am schönsten in Form z.B. eines Diagramms gestaltete Zahlenraumausschnitt der natürlichen Zahlen nützt der Mathematik nichts weiterführenderes, wenn sich das gezeigte und(und mit Computerunterstützung errechnete und visualisierte) nicht auf einen möglichst kristallklaren formalen Zusammenhang herunterbrechen - besser gesagt herunterformulieren - lässt, der sich auch auf kleinste Zahlenraumausschnitte in gleicher Klarheit anwenden lässt und idealerweise das Potenzial besitzt, auch in andere Zahlbereiche (also in andere Zahlenarten als die natürlichen Zahlen) übertragen zu werden. Genau hier setzt auch heute wohl das Problem mit den Primzahlen an: wie wissen bereits sehr viel über diese ganz besondere Zahlenart aber gleichzeitig wiesen wir irgendwie gar nichts darüber, weil wir das wesentlichste Merkmal dieser ominösen Zahlenart noch immer nicht ergründet haben. Dabei würde uns ausschließlich die Ergründung dieses Merkmals dazu befähigen, Primzahlen als das zu erklären, was sie wirklich sind und welchen Nutzen Primzahlen für uns damit wirklich (und in Gänze ihrer Erscheinung) für uns haben, Möglicherweise ist das Problem hierbei aber ausgerechnet, dass wir das Problem nicht einmal richtig benennen können, weil wir ja noch nach der Lösung suchen: manchmal sind Wege der (auch gesamtgesellschaftlichen Auseinandersetzung) mathematischen Auseinanderstezung Irrwege, manchmal sind es klemmende - und zuweilen auch beklemende - Wege; Passagen im Gebirge der wissenschaftlichen Herausdorderungen die es zu meistern gilt - oder etwa nicht? Weshalb wenden unsere Gesellschaften eigentlich solche Mühen auf - z.B. in der Welt der Mathematik, in deren stellenweise unwegbaren Gebirgen und Klüften? Um des Wanderns oder Kletterns Willen? Oder weil wir gar nicht anders können als weiter zu fragen?
Der Mensch war auf dem Mond - mehrmals. Der Mensch will zum Mars - und findet immer wieder GRünde dafür, solche auch aus z.B Resosurcen- und umwelttechnischer Sicht extrem belastenden Missionen - besser egsagt - Entdeckungsreisen - gut zu heißen.
Dabei hat der moderne Mensch die unglaublich weiten Reisen, die er zu Hause, z.B. nur unter Verwendung von Papier und Stift (oder auch ausschließlich im Geiste) unternehmen kann, noch nicht einmal annähernd abegschlossen, geschweige denn wesentliche Passagen gefunden. So zumindestens erscheint es mit im Hinblick auf die elementaren Fragen zu den Primzahlen, die so manchem mathematisch wandernden und waghalsig kletternden regekrecht unter den Nägeln brennen mag. Hieraus entsteht dann die - an anderer Stelle bereits formulierte und in anderer Form längst und vielfach gestellte altbekannte Frage: fehlt es der modernen Mathematik einfach nur am richtigen Schuhwerk? Sind wir dafür gerüstet, den uns nachfolgenden Generationen das richtige Rüstzeug und die richtigen Fragen mit auf den Weg zu geben im Bereich der Mathematik , wenn wir selbst einmal diese Fragen nicht mehr stellen und erörtern können?

Das kumulative antipodale Rekursivitätskonzept binärer Spiegelungen natürlicher Zahlen
So bewusst hochtrabend die Überschrift dieses Abschnitts auch klingen mag: eines der wesentlichen Hauptprobleme mit der modernen Mathematikvermittlung und damit einhergehend z.B. mit dem Primzahlverständnis sowie in der Auseinandersetzung mit den Eigenschaften der Primzahlen liegt sicherlich nicht in schön formulierten, möglichst wichtigtuerisch oder komplex klingenden Überschriften: der Zugang zu möglichen Erkenntissen über die fundamentalen Eigenschaften der natürlichen Zahlen - und damit auch insbesondere über die der Primzahlen - liegt nicht im Schwabulieren (dieser ironisch-sarkastisch gemeinte Begriff meint ein Konzenrat aus "Schwammig-Formulieren, schwammig fabulieren, herumschwurbeln = "Schwabulieren").
Ein mathegogisch wertvoller Zugang zu einem ganzheitlicheren Zahlenverständnis erfolgt vermtulich viel eher über die Vermittlung des Strukturbegriffs in Anwendung auf Zahlenräume und Zahlenbereiche: ein Blick auf die modern wahrgenommene Welt der Mathematik - dieses zuweilen undurchdringlich erscheinende Gebirge aus Axiomen, Formulierungen, Formelstellungen und Problemen erweckt häufig den Eindruck, dass das ursprünglichste eines Gebäudes; nämlich das Fundament; aus dem Blickwinkel herausgerutscht ist. Dabei ist es der strukturelle Aspekt der Mathematik der als eines der verlässlichen Konzepte der mathematischen Grundlagenbildung auf mannigfaltige Aspekte der Mathematik (so z.B. auf Zahlenräume und Zahlbereiche) angewendet werden kann: das aufzeigen eines simplen strukturellen mathematischen Zusammenhangs kann dabei manchmal mehr sagen als tausend noch so schön ineinan der verschachtelte Formelzeichen und Zahlenspielereien. Unter der heutzutage üblichen - "modernen" - Art und Weise, Mathematik zu verkleiden und rezipierbar zu machen, liegt stellenweise und häufig (nicht allerorten, es existieren dahingehend auch sehr gute Ansätze) eine mit Buchstaben, Zahl- und Formelzeichen kaschierte Verständnis-Fallgrube. So wundert es nicht, wenn viele kein ausgeprägteres Interesse an Mathematik entwickeln, weil es ihnen bereits in der grundlegenden Vermittlungen zu fremd erscheint, weshalb früh Desmotivation aufgebaut wird, was schließlich zur Ausbildung von Wissenslücken und Frustration bis hin zu Traumata führen kann. So mancher von der Mathematik frustrierte und zuweilen vielleicht sogar regelrecht abgestoßene mag dabei vielleicht einer derjenigen gewesen sein, die eines Tages eines - oder mehrere - der noch heute grundlegenden Probleme der Mathematik gelöst hätten.
Es ist also die Frage, wie diesem in den Naturwissenschaften und Klassenzimmern grassierenden Aspekt der nicht zielgerichteten unganzheitlichen Vermittlung von mathematischen Inhalten entgegengewirkt werden kann.
Hier im Folgenden eine als Vorschlag anzusehende Herangehensweise, um sich allmählich an dieses Problem heranzutasten:

Am (hier) sog. antipodalen Rekursivitätskonzept das sich auf die binären Spiegelungseigenschaften natürlicher Zahlen anwenden lässt wird im Folgenden von mir erläutert, weshalb die Bolle´sche Matrix sämtliche primen Summandenpaare zur Bildung natürlicher Zahlenwerte lückenlos in aufsteigender Entwicklung ausgibt und welche Rolle der achspiegelnde Effekt dabei spielt. Außerdem wird aufgezeigt, weshalb die bisherigen, von mir aufgezeigten, Beweisführungsversuche für die starke (binäre) Goldbach´sche Vermutung nicht ausreichen können, um diese (mehr oder weniger ordentlich im Sinne der mathematischen Form) zu beweisen.
Indem das antipodale Rekursivitätskonzept auf die Bolle´sche Matrix angewendet wird, kann deshalb sehr anschaulich - und frei von jeder komplizierten und für viele Lernende möglicherweise unverständlichen - Formelsprache erläutert werden, wie natürliche Zahlen in binär gespiegelten Konstellationen funktionieren. Das antipodale Rekursivitätskonzept der natürlichen Zahlen in binären Zahlenkonstellationen kann dabei wahlweise und vereinfachend z.B. auch als Gegenläufigkeitskonzept von (natürlichen) Zahlenpaaren" benannt und entsprechend vermittelt werden.
Das Konzept eignet sich damit hervorragend für eine basale arithmetische und geometrische Auseinandersetzung und kann damit tiefergehender Einblicke in die Eigenschaften natürlicher Zahlen und insbesondere die Eigenschaften von Primzahlen ermöglichen. Dabei lässt sich das Konzept von der Form her sehr anschaulich visualisieren und mit vielen einfachen Beispielen aus der Natur oder dem alltäglichen Leben belegen.

Primzahlen waren auch in meiner mittlerweile lange zurückliegenden Zeit schulischer Grundbildung eins von vielen mathematischen - auf mich persönlich damals seltsam befremdlich wirkenden - Konzepten, dass vom damaligen Lehrer in seiner Bedeutung grob unvollständig nur "irgendwie" erklärt wurde: trotz der fundamentalen Einblicke, die über die Eigenschaften der Primzahlen für einen Überblick über die Eigenschaften der natürlichen Zahlen und den Aufbau des Zahlenraums der natürlichen Zahlen ermöglicht werden können (aber natürlich nicht müssen - je nach Unterricht und Lerntyp) wurden Primzahlen im damaligen Mathematikunterricht - bevor man zur Tagesordnung überging - (einfach) abgetan als:

"ganze (natürliche) Zahlen, die sich nur durch Eins und durch sich selbst teilen lassen."

(weitere Inhalte folgen baldmöglich)

Mathematikvermittlung bei den alten Ägyptern
Die Auseinandersetzung mit der Art und Weise wie alte Kulturen, Mathematik in Form von Unterricht bereits sehr früh vermittelten, kann sehr erhellend für die heutige Unterrichtspraxis sein: sich mit historischen Lehrmethoden für die Vermittlung von Mathematik auseinander zu setzen ist etwa möglich, wenn wir uns den Mathematikunterricht der alten Ägypter anschauen (siehe z.B. Müller-Römer[folgt]).
In der griechischen Antike entstand offenbar aus einer stark praxisorientierten mathematischen und auch philosophisch geprägten Anschauung ein Logos-Aspekt - die Entwicklung einer dezidierten Logik die befähigte, mathematische Fragestellungen durch zielgerichtetes Nachdenken zu lösen (bzw. dies zu versuchen oder zu trainieren). Bei den alten Griechen nahmen dabei z.B. sog. figurierte Zahlen eine bedeutende Rolle ein, denn über die Strukturierung des Zahlenraums und damit die Möglichkeit der Zerlegung des Zahlenraums (hier der Zahlen die wir heute natürliche Zahlen nennen) erfolgte vermutlich ein weit greifender Transfer an Einblickmöglichkeiten auf die Eigenschaften natürlicher Zahlen (und damit auf strukturelle und dimensionalisierbare Aspekte der Mathematik im Allgemeinen). Wie z.B. die Abbildungen 7 bis 11) deutlich machen, macht die Anwendung des Dimensionsbegriffs auf den Zahlenraum der natürlichen Zahlen durchaus Sinn (mehr dazu ggf. später und an anderer Stelle).

Resumee´
Bisherige Versuche, die starke (binäre) Goldbach´sche Vermutung zu beweisen oder zu wiederlegen
Bis heute hat die moderne Mathematik seit Formulierung der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung enorme Anstrengungen unternommen, um die starke (binäre) Goldbach´sche Vermutung zu beweisen - oder aber zu wiederlegen. Bei der Frage nach einem grundlegenden mathematischen Zusammenhang geht es in der Auseinandersetzung mit der Mathematik jedoch weniger um das unbedingt erstrebenswerte Ziel, eine mathematische Theorie zu beweisen. Vielmehr geht es darum, mathematische Sachverhalte mit möglichst großer Eindeutigkeit zu klären: solche Klärungsvorhaben und in der Vergangenheit erfolgreich erzielten Klärungen grundlegender mathematischer Fragestellungen erfüllen einen großen Sinn für die Mathematik als Natuirwisscehnschaft und erzeugen einen entsprechenden geselllschaftlichen Effekt - auch für andere Wissenschaftsbereiche und generell Aspekte des alltäglichen Lebens. Deshalb ist die Wiederlegung einer mathematischen Theorie aus mathematischer Sichtweise ebenso wertvoll wie der Beweis einer Theorie - und nicht in irgendeiner Art und Weise abzuwerten. Eine mathematische Auseinandersetzung mit grundlegenden mathematischen Fragestellungen ist deshalb idealerweise nach dem Prinzip des Für-und-Wieder aufgebaut: sowohl der Beweis eine Theorie als auch ihre Wiederlegung erzeugen einen Nutzen für die Mathematik. Ein Gutes Bespiel hierfür ist z.B. die bis heute ungeklärte Riemannsche Vermutung. In der modernen Mathematik werden ebenfalls enorme Anstrengungen unternommen um zu versuchen die RIemannsche Vermutung zu beweisen - oder zu wiederlegen. Der Grund hierfür ist simpel: ein eindeutiges Ergebnis dieser Prozesse mathematischer Auseinandersetzung wäre von großer Tragweite für die modernen Mathematik, denn stellenweise tritt die moderne bei bestimmten mathematischen grundlegenden Fragestellungen auf der Stelle. Hinter diesem Dilemma steht schließlich eine der grundlegendsten Fragen der modernen Mathematik überhaupt:" SInd unsere heutigen mathematischen Methoden (und damit mathamatischen "Werkzeuge") stellenweise überhaupt noch zeitgemäß oder aber dringend überholungsbedürftig?
Viele bereits existierende mathematische Theorien würden durch einen Beweis der Riemannschen Vermutung automatisch bewiesen sein. Würde die Riemannsche Vermutung allerdings wiederlegt werden können, wären diese Theorien (möglicherweise - je nach Theorie und den einzelnen Aspekten einerjeweiligen Theorie automatisch wiederlegt.
Über manche viele mathematische Theorien wurde ein - trotz der enormen Bedeutung solcher mathematischen Prozesse für unsere Gesellschaften - stellenweise ein regelrecht reißerisches Aufheben mit Jahrmarktscharakter (oder beinahe auch zum "sportlichen Wettkampf") gemacht: so wurd etwa vor vielen Jahren für den Beweis oder die Wiederlegung der starken (bionären) Goldbach´schen Vermutung ein sehr hohes Preisgeld ausgelobt: solche Preisgelder können zwar motivieren, gleichzeitig nutzen sie aber vorhandenes Potenzial vieler aus, die sich mit Mathematik auseinandersetzen und entlohnen schließlich (und das nur bei Erfolg und entsprechender Sicherung von Marketing-Rechten) weniger.
Es darf hinterfragt werden, ob es sich bei solchen gesellschaftlichen Resonanzen auf mathematische Auseinanderstezjungen noch um Prozesse mit dem Charakter der Redlichkeit handelt. Am Ende aber wartet für manchen die eigentliche Entlohnung: eine zuweilen faszinierende Reise hinter sich gebracht zu haben, während der ein Suchender an seine Grenzen gekommen sein mag, aber mit der Erkenntnis weitergeht, faszinierenden Erlebnissen erfahren haben zu dürfen und mit Erinnerungen daran entlohnt zu werden.
Vergleichbar ist dieses Locken mit Preisen mit einem Mathematikuntericht mit negativer methodisch-didaktischer Motivation der hoffentlich heute der Vergangenheit angehört: indem ein Lehrer Lernende bei Schulschluss mit Kopfrechenaufgaben animiert, sich stärker zu bemühen, weil nur wer richtig rechnet als Erster nach Hause und damit den Klassenraum verlassen darf, handelt er mit Zitronen: Lernende, die lerntypenmäßig einen ganz anderen Anreiz benötigen, können bei Anwendung solcher Methoden zu kurz kommen, Lernfrust ist vorprogrammiert, denn wer nicht richtig gelernt hat, wird am Ende - im Übertragenen Sinne - bestraft. Am Ende prägt sich ein, dass wer nicht gut genug ist, bestraft wird (vom Lehrer, vom Leben, von sich selbst). Und das ist natürlich starker Unsinn der von der eigentlichen Unfähigkeit des Lehrenden - aber auch von geselleschaftlichen Gesamtstrukturen auch im Bildungssektor ganze Bände spricht (bzw. sprach): der zu stark auf Wettbewerbsaspekte, auf Bewertung und "Bestrafung" bzw. Abstrafung ausgelegte Charakter von Unterricht zerstört oder hemmt im schlimmsten Fall Kreativität, erzeugt Lernblockaden und sogar Traumata, das ist nichts grundlegend neues sondern traurige Erkenntnis.
Nichts anders aber macht die moderne Gesellschaft stellenweise: sie hält vielen einen Lolli hin wie die abgedroschene Möhre dem Zeichentrickesel um viele zum weiterlaufen zu animieren und streicht am Ende den eigentlichen Gewinn ein, hinterlässt jedoch willenlose erschöpfte Kreaturen, die sich verausgabt haben und trotzdem nicht ihr Ziel erreichten, weil man ihnen das Ziel eigentlich von Anfang an gar nicht in Aussicht gestellt hatte. "Nur die Stärksten kommen durch" ist knallharte gesellschaftliche Auslese, die auch heute ihre Opfer fordert - insbesondere auch im Bereich der falsch unterrichteten Mathematik; was der Gesellschaft auf lange Zeit nichts nützt.

Auslese auch im Bereich mathematisch zu präferierender Fragestellungen birgt trotz allen Nutzens Risiken
Der Mathematiker Hilbert hat nicht grundlos vor bereits über 100 Jahren eine Liste der seiner Einschätzung nach wichtigtsten (und damit drängendsten) mathematischen Problemen veröffentlicht. Solche Auflistungen bergen natürlcih stets die Gefahr, dass Festlegungen auf bestimmte Fragestellungen als "die Wichtigsten" nach dem Prinzip des Superlativ sich schließlich als falsch erweisen und damit Entwicklungen in falsche Richtungen anstoßen, bzw. vielfältige darauffolgende gesamtgesellschaftliche Bemühungen erzeugen, die sich im Endeffekt - möglicherweise - als nutzlos erweisen.
Dieses Risiko einzugehen lässt sich in der Auseinandersetzung mit einer Naturwissenschaften vermutlich nicht vermeiden, denn wenn keinereli Eingrenzungen erfolgen, ist es nicht möglich, sich auf konkrete Fragestellunegn zu fokussieren. Exakt das praktiziert aber die Mathematik: die Mathematik kreis Fargestellungen allmählich - dabei Schritt für Schritt - ein bis sich schließlich (im Idealfall) eindeutig definierbare Fragestellunegn herauskristallisieren. Ausschließlich auf dieser Grundlage (Glücksfälle und Zufälle ausgenommen) ist es möglich, mathematische Werkzeuge und Methoden zu entwickeln und idealerweise erfolgreich anzuwenden. Das wussten bereits die alten Griechen weshalb sie schon vor langer Zeit damit begannen, einen systematischen Zugang zu mathematischen Fragestellungen zu etablieren, der Aspekte der Logik als Werkzeuge entwickelte und schließlich erfolgreich anwendete.
U.A. auf diese ursprüngliche Tradition, Mathematik zu erfinden und innovativ zu erweitern baut die gesamte moderne Mathemtatik unserer Gesellschaften heute auf. Nichts desto trotz darf - und muss - wohl weiterfragt werden, wo das eigentliche Problem bei bestimmten mathematischen Fragestellungen liegt: viellleicht - und so ähnlich hat es auch Hilbert formuliert - ist es Teil unserer Natur als Entdecker, manchmal mit dem Fragen nicht aufhören zu können, bis Fragen die uns antreiben, endlich und abschließend geklärt sind: auch auf die Mathematik trifft ein Bild zu das vielfach Verwendung findet: die Mathematik kann eine große Faszination auf einen Suchenden ausüben und ist dabei mit einem sehr Gebirgigen Terrain mit hohen Gipfeln die es zu erklimmen und engen Passagen die es zu durchwinden gilt (um das von [Sautoy] angeführte Bild aufzugreifen). Manchmal droht Absturzgefahr, häufig die Gefahr eines Erdrutsches oder eine Lawinenabgang. Vielfach befinden wir uns auf dieser Reise auf einem eigentlichen Irrweg: nichts desto trotz gehen wir weiter (wenn wir wollen).

Bibliographie:

- Wikipedia-Quellen werden in ihrer hier erfolgenden Auflistung nach Datum und Zeitpunkt des Zugriffs und nicht alphanumerisch aufgelistet -

[gWiki1]:
Bibliografische Angaben für „David Hilbert“
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[gWiki4]:
Bibliografische Angaben für „Mikroform“
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Sculpteur · Beitrag von **Sculpteur** » 28.01.2024 04:27

Diese Themenreihe wird aktuell insgesamt stark überarbeitet. Ganze Passagen und Themenblöcke können während der Editierarbeiten verschoben werden. Stellenweise werden zurückliegende Abschnitte erweitert und neue hinzugefügt. Ein Inhaltsverzeichnis zwecks besserer Übersicht kann erst im Anschluss an diese Editierarbeiten erstellt werden. Die "Wartungsarbeiten" am Themenkomplex können eine Weile in Anspruch nehmen.

Aktuell gehe ich davon aus, dass sich der Beweis der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung mit relativer Wahrscheinlichkeit mittels Anwendung des Bertrand´schen Theorems auf die Bolle´sche Matrix beweisen lässt, bzw. sich zumindestens herausarbeiten lässt, worauf es bei einem Beweis ankäme (ausschließen kann ich selbstverständlich nicht, dass ich mich hierin grundlegend irre - ich wäre nicht der Erste). Da ein solcher Nachweis fundamental wichtig auch für die rückblickende Beurteilung der historischen Erforschung der Zahlen und die Entwicklung der Mathematik im Allgemeinen wäre (Beforschung der Herangehensweisen von Mathematikern und mathematikaffin forschenden Menschen der Vergangenheit), benötige ich allerdings wein wenig Zeit um alle Punkte im Hinblick auf zurückliegende Beiträge von mir nochmals ganz genau unter die Lupe zu nehmen und auf eventuelle Denkfehler hin zu überarbeiten. Ich arbeite an all den hier zurückliegenden von mir betrachteten Aspekten allein, es gibt niemanden, der mich inhaltlich und lektorierend unterstützt und ich möchte natürlich keine falschen oder fehlerhaften Informationen zu den in diesem Themenkomplex besprochenen wichtigen Thema verbreiten.
Außerdem haben sich in den zurückliegenden Themenbeiträgen zwei Punkte herauskristallisiert, die beide sehr wichtig sind und einer gewissen weiteren Ausarbeitung bedürfen: Der eine Punkt ist die Betrachtung der Entwicklung der Mathematik im Allgemeinen: um verstehen zu können, wie die Mathematik in Zeiten vor der unseren entstand, betrachtet und beforscht wurde, ist es notwendig gewisse Grundlagenaspekte der Mathematik in gewissem Umfang zu besprechen. Dazu gehört auch die Frage wie Mathematik damals vermittelt wurde (Mathematikunterricht) und wie sie heute vermittelt wird (Mathematikunterricht, Methodik und Didaktik, Pädagogik, Zeitalter der Aufklärung und daraus resultierende Zeitströmungen etc.). Die Themenstellung ist natürlich insgesamt sehr komplex und in meinen Beiträgen kann ich aufgrund des dafür erforderlichen Umfangs nur blitzlichtartige Einblicke geben. Dabei suche ich neben einer Wiedergabe von eigenen Einsichten und Erfahrungen stets gleichzeitig den fachpraktischen Bezug für eine sinnvolle auch heutige Anwendung mathematischer Zusammenhänge, Erkenntnisse und Werkzeuge: die Mathematik nimmt (als Fach und im Sinne altagstauglich anwendbarer mathematischer Zusammenhänge auch in der Arcvhäologie und damit in der Experimentalarchäologie einen großen - und möglicherweise zukünftig größer werdenden - Stellenwert ein: wer heute Archäologie (und z.B. Ägyptologie) studiert, benötigt gewisse fachspezifische mathematische Kenntnisse bzw. sollte diese besitzen. Um all den oben genannten Aspekten in Beiträgen gerecht zu werden, die ein stellenweise noch neuartiges junges Forschungsfeld besprechen; die anderen nutzen und dabei ein gewisses Ausmaß an Informationen nicht überschreiten sollen, werde ich nun einige Tage benötigen um die zurückliegenden Beiträge die ich in diesem Thema verfasst habe zu bewerten und zu überarbeiten. Bitte Geduld. Leider hat der Tag nur 24 Stunden...
Vielen Dank.

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Das kumulative antipodale Rekursivitätskonzept binärer Spiegelungen natürlicher Zahlen
Ein methodisch-didaktisch (mathegogischer) Zugang zu einem ganzheitlicheren Zahlenverständnis kann über die Vermittlung des Strukturbegriffs in Anwendung auf Zahlenräume und Zahlenbereiche erfolgen: ein Blick auf die modern wahrgenommene Welt der Mathematik - dieses zuweilen undurchdringlich erscheinende "Gebirge" (siehe [Sautoy]) aus Axiomen, Formulierungen, Formelstellungen und Problemen erweckt häufig den Eindruck, dass das ursprünglichste eines Gebäudes; nämlich das Fundament; aus dem Blickwinkel herausgerutscht ist. Dabei ist es der strukturelle Aspekt der Mathematik der als eines der verlässlichen Konzepte der mathematischen Grundlagenbildung auf mannigfaltige Aspekte der Mathematik (so z.B. auf Zahlenräume und Zahlbereiche) angewendet werden kann: das Aufzeigen eines simplen strukturellen mathematischen Zusammenhangs kann dabei manchmal mehr sagen als tausend noch so schön ineinander verschachtelte Formelzeichen und Zahlenspielereien. Unter der heutzutage üblichen - "modernen" - Art und Weise, Mathematik zu verkleiden und rezipierbar zu machen, liegt stellenweise und häufig (nicht allerorten, es existieren dahingehend natürlich auch sehr gute Ansätze) eine mit Buchstaben, Zahl- und Formelzeichen kaschierte Verständnis-Fallgrube. So wundert es nicht, wenn viele Lernende kein ausgeprägteres Interesse an Mathematik entwickeln, weil es ihnen bereits in der grundlegenden Vermittlungen zu fremd erscheint, bzw. befremdlich erscheinen kann, weshalb früh Demotivation und Abwehrhaltungen aufgebaut werden können, was schließlich zur Ausbildung von Wissenslücken und Frustration bis hin zu Traumata und diffusen Ängsten vor dem Mathematikunterrricht oder einer Auseinandersetzung mit naturwisschenschaftlichen Fächern überhaupt führen kann. Dabei kann es sein, dass ausgerechnet Menschen, die in ihrer schulischen Grundbildungszeit so stark vom Mathematikunterricht und damit ggf. einhergehendem Leistungsdruck abgestoßen werden, eigentlich sogar eine ausgesprochen positive Disposition und Offenheit für mathematische (bzw. naturwissenschaftliche) Auseinandersetzung in sich tragen - um nicht von Talent zu sprechen, weil Talent andersartige irgewndwie von der Begrifflichhkeit her auch immer diskreditieren kann und ein an und für sich wertender Begriff ist.
Im Hinblick auf die Frage, wie wir die Welt der Zahlen und der Mathemati gut rezipieren, ganzheitlich erfassen und nachvollziehend schließlich gut verstehen können, kann es durchaus lohnen, sich einmal intensiver mit der Frage auseinanderzusetzen, wie die alten Völker eigentlich mathematisches (und insgesamt naturwissenschaftliches) Wissen an nachfolgende Generationen weitergegeben haben. Darüber hinaus ist in einem Prozess der ganzheitlichen Auseinanderstezung mit der Erforschung der Zahlen und der Entwicklung der Mathematik natürlich sinnvoll, die - hier sogenannte - Archäomathematik als quasi neuartiges, heute noch stark in der Entwicklung befindliches Forschungsfeld zu begreifen, in dem es viele Komponenten noch zu entwickeln gilt, weil Archäomathematik vielfältige Aspekte vereint und fächerübergreifend interdisziplinäre Argumente und Vorgehensweisen aus den unterschiedlichsten BEreichen wie Archäologie, Experimentalarchäologie, Orientalistik und Ägyptologie, Sprachforschung, Kunstgeschichte und Philosophie, Informatik und Mathematik, Pädagogikwissenschaft, Psychologiewissenschaft, Geschichtswissenschaft, Musikwissenschaft und Musikalische Erziehung, Theaterpädagogik, Stimmbildung, insgesamt musisch-kreative Förderungskonzepte, Agogik im Ganzen u.a. sinnvollerweise - und stellenweise auch notwendigerweise - mit einfließen: weil eine intensive Auseinandersetzung mit der Geschichte der Menschheit (und im speziellen der Entstehung der Mathematik) auch immer einen soziokulturell verwertbaren Transfer ins Heute ermöglicht.

Am (hier) sog. antipodalen Rekursivitätskonzept das sich auf die binären Spiegelungseigenschaften natürlicher Zahlen anwenden lässt wird im Folgenden von mir erläutert, weshalb die Bolle´sche Matrix sämtliche primen Summandenpaare zur Bildung natürlicher Zahlenwerte lückenlos in aufsteigender Entwicklung ausgibt und welche Rolle der achspiegelnde Effekt dabei spielt. Außerdem wird aufgezeigt, weshalb die bisherigen, von mir aufgezeigten, Beweisführungsversuche für die starke (binäre) Goldbach´sche Vermutung nicht ausreichen können, um diese (mehr oder weniger ordentlich im Sinne der mathematischen Form) zu beweisen: daraus resultiert schließlich eine sich stärker herantastende Fragestellung an die wesentliche Auseinandersetzung mit möglichen zu entwickelnden Strategien, um auch recht komplexe und zu Beginn stellenweise sehr schwierige mathematische Fragestellungen zu überschauen.

Ein wesentlicher Fehler, der unseren modernen Lehr- und Lerngesellschaften im Bereich der modernen Mathematik aber stellenweise auch im Unterricht dahingehend unterläuft ist eine zu starke Fixierung auf Formeln, Formelzeichen und z.B. stark abstrakte (aber nicht abstrahierende) Zahlbegriffe. Im Klartext: Formeln sollen möglichst schnell von Lernenden erlernt (auswendig gelernt), komplexe Zusammenhänge einfach als gegeben akzeptiert und übernommen und selten bleibt aufgrund schulischen Leistungsdruck genügend Zeit, die Gurndlagen für die Entstehung von komplexen Zusammenhängen zu erörtern, damit sie überhaupt gut rezipiert werden können. Dieses Problem beginnt bereits in der Grundschulzeit und dort werden wohl vermutlich die gravierendsten Lücken und Zugangsschwierigkeiten zum Fach Mathmeatik aufgebaut. Ein gutes Beispiel hierfür ist bereits die Verwendung und Differenzierung von elementarsten Begrifflichkeiten wie dem sog. Kardinalaspekt und Ordinalaspekt durch unsere Lehr- und Lerngesellschaften: wie kann allein angesichts der gewählten Begrifflichkeiten naheliegend assoziiert werden, dass es sich um grundlegende mathematische Zusammenhänge handelt, wenn bereits die Begrifflichkeiten eigentlich einen Ausflug in die Geschichte der Menschheit und ein Wörterbuch zum Nachschlagen der Begriffe erfordern. Exakt hier setz das Probnlem mit heutigem Unterricht an: Unterricht erfordert stärker fächerübergreifendere Auseinandersetzung mit zu vermittelndem Lernstoff in Unterrichtseinheiten, bzw. Unterichtsblöcken oder auch Projekten in denen auch einmal Zeit ist, kleine (geistige und tatsächliche) Ausflüge in ganz andere Lernbereiche zu ermöglichen: so kann z.B. mit einer Experimentalarchäologin oder einem Experimentalarchäologen z.B. in einem Freilichtmuseum am Lagerfeuer sitzen und Aspekte der Mathematikentwicklung in der Geschichte der Menschheit hautnah miterleben, weil dies automatisch z.B. auch Aspekte wie die Entwicklung der Logistik, das Herstellen von Ausrüstungsgegenständen, etwa das Anfertigen einer Flöte oder eines anderen Musikinstruments, das Bestimmen und Erproben eines funktionierenden Mischungsverhältnisses für die Herstellung eines Bronzegusses oder etwa das Anrühren einer Engobe; das Bauen von Behausungen und die damit einhergehenden z.B. vermessungstechnischen Fragestellungen; Auseinandersetzungen mit der Entwicklung der Vermessungstechnik, der Sprache, der Schrift, damit einhergehenden Aspekten der Kombinatorik und Kryptologie - die sich hautnah und fachpraktisch vermitteln lassen, etwa das Backen von Brot und die damit einhergehende äußerst komplexe und interessante Fragestellung, wie Getreidesorten und Hefekulturen die Menschheit prägten oder wie aufwändig und komplex es ist einen Sauerteig anzusetzen und zu pflegen; was auch Aspekte der Zeitmessung und Zeitorganisation ansprechen kann, die Herstellung von Mixturen uvm. ansschneidet; Auseinandersetzung mit Musik und Akkustik, oder der große Komplex der kultischen Aspekte sowie der Sepukralkultur der Menscheit, die zu Monumentalszenarien und dazugehörigen Bauwerken geführt haben, deren Bestehen ein sehr guter Ansatzpunkt für die Auseinandersetzung mit fachpraktischen mathematischen Fragestellungen sind und nicht zuletzt z.B. die Auseinandersetzung mit der Entstehung und Anwendung von Kalendarien und Zeitmessung (astronomische Aspekte, Planetelaufbahnen, Sternernkunde etc.): eine fachpraktische Auseinandersetzung mit der Entstehung der Mathematik bzw. ihrer eigentlichen "Entdeckung" kann insgesamt wesentlicher für eine Auseinandersetzung mit der Mathematik als Ganzes motivieren. Auch verinnerlichen sich Lösungsstrategien für den Umgang mit mathematischen Formelstellungen so idealerweise wesentlicher und sind stärker dem Einfluss eingestaubter Klassenzimmer mit Zwangssitzhaltung und altmodischem Frontalunterricht als Relikten der Vergangenheit entzogen, in denen die methodisch-didaktischen Gesetze von Dinosauriern noch galten und Begriffe wie etwa "Gesamtschule" und Entfernung von Regelunterrichtsszenarien wie Fremdwörter erschienen.

Einer der gröbsten und fahrlässigsten Fehler, der auch heute noch in Mathematikunterrichten geshieht ist das Ausklammern bzw. regelrechte Ausgrenzen der Kleinschrittigkeit: so ist im schlimmsten Fall häufig die Garantie dafür regelrecht gelegt, dass bestimmte Lerntypen vom vermittelten Lernstoff regelrecht überrollt werden und keine Chance erhalten, einen für sie funktionierenden Transfer zwischen aufzunehmendem Lernstoff und eigener subjektiver Disposition aufzubauen und zu vollziehen. Dieses Manko des standartisierten Regelunterrichts erzeugt dann die entsprechenden Folgebeeinträchtigungen die sich auch auf andere Unterrichte und Fächer übertragen werden können und stellenweise zu einer generalisierten Blockade beim Lernenden führen können.
Geschuldet ist diese Problematik dem noch heute stellenweise angestaubten Verständnis der Begrifflichkeit Lerngruppe und dem Aufbau sowie der Pflege einer Lerngruppe: überall dort, wo unter Lerngruppe nicht verstanden wird, dass dies längst keine einheitliche Klasse mehr mit vielen (häufig zu vielen) Lernenden bedeutet, die regelhaft in einem Klassenraum mit einem Klassenlehrer sitzen und z.B. das Konzept der Doppel-Tutorenschaft vermissen lassen, besteht zumindestens das stark erhöhte Risiko dass Lernende pinkfloydoesk durch Unterricht und Schule hindurch gepfercht werden und sich hierarchische Szenarien auch zwischen Lernenden untereinander aufbauen, was wiederum Freiräume für Mobbing, Ausgrenzung und gegenseitige Respektlosigkeit auf beiden Seiten (auf Seiten der Lernenden wie der Lehrenden) etablieren kann. Szenarien von Gewalt gegen Lehrende durch Lernende (teils auch subtiler Art wie etwa Mobbing und taktische Respektlosigkeit, die eine Sonderform des Mobbing darstellen kann) gehören ebenso wenig der weit zurückliegenden Vergangenheit an wie z.B. Szenarien in denen Lehrende mit Stühlen und Schlüsselbunden nach Schülern werfen (ohne dafür von der Schulleitung und didaktischen Leitung disziplinarisch belangt zu werden). Solche Vorkommnisse gehören auch in heutigen Zeiten mancherorten leider nicht der weit zurückliegenden Vergangenheit an - ganz im Gegenteil - denn es wurde häufig bis heute nicht aus Fehlern gelernt und es wurden nicht die entsprechenden Konsequenzen gezogen.
Wenn Schule als ein für das Leben prägender Lernort etwas darstellt, dass manche nur möglichst schnell hinter sich bringen wollen, dann hat Schule versagt.
Lernende wie Lehrende sind heute häufig überfordert mit schulischem Unterricht. Gegen diese latente Überforderung gilt es flexibel neuartige Konzepte des Unterrichtens und des Miteinanders in Lernsituationen zu erproben, denn die Eine funktionierende Methode des erfolgreichen Unterrichtens wird es vielleicht niemals geben. Dafür ändern sich die Zeiten in denen wir leben und damit auch wir selbst uns stets zu stark und zu dynamisch. Um flexibel und ganzheitlich auf Unterrichtssituationen reagieren zu können, ist es sinnvollerweise erforderlich, den eigenen Horizont als Lehrender permanent zu erweitern und neuerworbenes Wissen, sowie neuerworbene Kompetenzen mit Herangehensweisen der Vergangenheit zu vergleichen und zu bewerten.
Die Geschichte der Entwicklung der Mathematik - und damit die Geschichte der Erforschung der Zahlen - liefert hier einen interessanten und vielschichtigen Ansatzpunkt, denn wenn wir nachvollziehen, wie unsere Altvorderen Unterricht, das Unterrichten, die Auseinandersetzung mit Natur und Umwelt und den daraus resultierenden Naturanschauungen und schließlich Naturwissenschaften begriffen haben könnten, erwerben wir idealerweise gleichzeitig ein breitgefächerteres Inventar der Möglichkeiten, Unterrichtsinhalte und Lernstoff zu vermitteln und in einen direkten Vergleich zu vergangenem das funktioniert oder eben nicht funktioniert hat und zukünftig möglichem zu setzen.

Hier im Folgenden ein Beispiel, wie die Eigenschaften von (natürlichen) Zahlen in komplexen Wirkzusammenhängen anschaulicher erläutert werden können. Die Vermittlung dieser Zusammenhänge kann schließlich - früher oder später - den eigenständigen Transfer auf auch komplexeste Zusammenhänge im Hinblick auf die strukturellen Aspekte der Mathematik (z.B. zahlentheoretische Aspekte) idealerweise ermöglichen. Bei all dem; so auch bei wirklich herausfordernden Aspekten der Zahlentheorie wie etwa der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung; kann idealerweise integriert werden, dass es häufig die Art der Vermittlung in unseren Lehr- und Lerngesellschaften - aber auch in intersoziokulturellen Zusammenhängen (siehe Medien und mediale Präsentation von Wissenszusammenhängen) war - und ist, bzw. sein muss, die zu einem Unverständnis darüber führt(e), wie wir eine strukturierte Herangehensweise an auch stark komplexe mathematische Zusammenhänge eigenständig entwickeln können. Dies dabei idealerweise ohne gleich Mathematik studiert zu haben oder im Schulfach Mathematik überhaupt gut (treffender formuliert) "als gut bewertet" gewesen zu sein.
Indem das antipodale Rekursivitätskonzept auf die Bolle´sche Matrix angewendet wird, kann deshalb sehr anschaulich - und frei von jeder komplizierten und für viele Lernende möglicherweise unverständlichen - Formelsprache erläutert werden, wie natürliche Zahlen in binär gespiegelten Konstellationen funktionieren. Das antipodale Rekursivitätskonzept der natürlichen Zahlen in binären Zahlenkonstellationen kann dabei wahlweise und vereinfachend z.B. auch als Gegenläufigkeitskonzept von (natürlichen) Zahlenpaaren benannt und entsprechend vermittelt werden.
Das Konzept eignet sich damit hervorragend für eine basale arithmetische und geometrische Auseinandersetzung und kann damit tiefergehender Einblicke in die Eigenschaften natürlicher Zahlen und insbesondere in die Eigenschaften von Primzahlen als den Zahlenraum sub-strukturierenden ermöglichen Zahlen ermöglichen. Dabei lässt sich das Konzept von der Form her sehr anschaulich visualisieren und mit vielen einfachen Beispielen aus der Natur oder dem alltäglichen Leben belegen.
Primzahlen waren auch in meiner mittlerweile lange zurückliegenden Zeit schulischer Grundbildung eins von vielen mathematischen - auf mich persönlich damals seltsam befremdlich wirkenden - Konzepten, dass vom damaligen Lehrer in seiner Bedeutung grob unvollständig nur "irgendwie" erklärt wurde: trotz der fundamentalen Einblicke, die über die Eigenschaften der Primzahlen für einen Überblick über die Eigenschaften der natürlichen Zahlen und den Aufbau des Zahlenraums der natürlichen Zahlen insgesamt ermöglicht werden können (aber natürlich nicht müssen - je nach Unterricht und Lerntyp) wurden Primzahlen im damaligen Mathematikunterricht - bevor man dann rasch wieder zur Tagesordnung überging einfach abgetan als:

"ganze (natürliche) Zahlen, die sich nur durch Eins und durch sich selbst teilen lassen."

Primzahlen sind als bedeutender Bestandteil der natürlichen Zahlen (bzw. auch als mengentheoretischer Bestandteil; also als quasi im Gesamt-Zahlenraum der natürlichen Zahlen enthaltene Fraktion) von besonders spezieller Bedeutung für ein tiefgreifenderes und erweiterteres Verständnis der natürlichen Zahlen - und damit für die mögliche Vermittlung basaler struktureller Aspekte der Mathematik. Besonders deutlich wird dies, wenn wir die Summenskaskade der natürlichen Zahlen (Summenkaskade aus ℕ) als grundlegendes Strukturprinzip betrachten und dieses der Produktekaskade der natürlichen Zahlen gegenüberstellen.

So kann aus dem summentechnischen Aspekt im Zahlenraum der natürlichen Zahlen in mehreren aufeinanderfolgenden spezifischen Reduktions- und Transferschritten der kleinschrittig allmählich herauszuarbeitende produktetechnische Aspekt im Zahlenraum der natürlichen Zahlen aufgezeigt, beschrieben und für den Verständnistransfer für Lernende zur Verfügung gestellt werden. Die abstrakte und abstrahierende Lernschritte erforderliche Umwandlung von Summen in Produkte bzw. der Transfer von Summen zu Produkten, oder auch die Herausarbeitung des mathematischen Beziehungsgefüges zwischen Summen und Produkten, wird sinnigerweise in dieser Reihenfolge veranschaulicht und erarbeitet (und nicht umgekehrt; allerhöchstens gleichzeitig). Die Herausarbeitung des produktetechnischen Aspekts, also des Aufzeigens von Eigenschaften von aus natürlichen Zahlen gebildeten Produkten (siehe z.B. auch Flächenbildungsgesetze und mehrdimensionale Produkte natürlicher Zahlen wie Kubikzahlen erfolgt hierbei durch die Reduktion der Summanden, bzw. Multiplikanten in der (grundständigen Produktekaskade aus ℕ; hier auch als Basis-Produktekaskade aus ℕ benannt; das ist der besondere und hervorzuhebende Aspekt bei dieser Anschauung (siehe Abbildungen 1, 2 u.3; Abb. 3 folgen in Kürze). Ein eindeutig gefestigtes Verständnis über und eine deutliche Differenzierungsfähigkeit zwischen Kardinal- und Ordinalaspekt sollte bei dieser Vorgehensweise bei Lernenden allerdings zunächst gegeben sein.

(weitere Inhalte folgen baldmöglich)

BIBLIOGRAPHIE:
Bücher:
Padberg, F. Benz, C.: Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II: Didaktik der Arithmetik. 5. überarb. Aufl. Verlag Springer Spektrum, Berlin, 2021.

Reiss, K.: Mathematik für das Lehramt – Basiswissen Zahlentheorie. 2. Aufl. Verlag Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2005. (45,46)

du Sautoy, M.: Die Musik der Primzahlen - Auf den Spuren des größten Rätsels der Mathematik. ungek. Ausg. 2006; 7.Aufl., Verlag dtv Wissen, München, 2013.

Sculpteur · Beitrag von **Sculpteur** » 29.01.2024 04:10

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- - -

INHALTSVERZEICHNIS DIESES BEITRAGS:
A. Voraussetzungen
B. Aufbau des Beweisversuchs
C. Schlussfolgerungen als Beweisversuch

zu A:
Voraussetzung 1: starke (binäre) Goldbach´sche Vermutung
Voraussetzung 2: Bertrand´sches Theorem (Theorem von Bertrand-Tschebyschow)
Voraussetzung 3: Bolle´sche Matrix (ℕ[multipel] ∈ (BM(p)[mxn])
Voraussetzung 4: (Rekursion des (binären) Gegenläufigkeitsprinzip von Paaren natürlicher Zahlen)

zu A(1): Die starke (binäre) Goldbach´sche Vermutung
zu A(2): Bertrand´sches Theorem
zu A(3): Bolle´sche Matrix[/u] (ℕ[multipel] ∈ (BM(p)[mxn])
- Kurzbeschreibung zur Bolle´schen Matrix und Übersicht siehe Anhang (folgt noch)

zu A(4): Die strukturelle Ordnung der natürlichen Zahlen in dualen (binären) Konstellationen

zu B: Aufbau des Beweisversuchs / Übersicht:
B(1) : Die Anwendung des Bertrand´schen Theorems auf die Bolle´sche Matrix (ℕ[multipel] ∈ (BM(p)[mxn])
B(2): Die Rekursion des (binären) Gegenläufigkeitsprinzip von Paaren natürlicher Zahlen; die Spiegelungseigenschaften der natürlichen Zahlen als Beweisargument für den Versuch, die starke (binäre) Goldbach´sche Vermutung zu beweisen.
B(2a): Gegenläufige Entwicklung und Rekursionsaspekte von dualen (binären) Primzahlkonstellationen in der Bolle´schen Matrix
B(2b): Gegenläufige Entwicklung und Rekursionsaspekte von dualen (binären) zusammengesetzter Zahlenkonstellationen in der Bolle´schen Matrix

zu C. Schlussfolgerungen als Beweisversuch / Übersicht:
C(1): Nachweis der Spiegelungsphänomenik der Bolle´schen Matrix in Anwendung aud duale (binäre) Zahlenkonstellationen natürlicher Zahlen; (hier) sog. Stricknadelvermutung* (nach Hoppe, 2024; betr. herkömmliche Achssymmetrien)
C(2): Logische Schlussfolgerungen über die Anwendung des Bertrand´schen Postulats auf die Bolle´sche Matrix
C(2.1): Vermutung für die Beweisbarkeit dualer (binärer) Primzahlkonstellationen der Qualität p(n,gamma)+p(n,gamma) = 2p(n) in der Bolle´schen Matrix
C(2,2): Vermutung für die Beweisbarkeit dualer (binärer) Primzahlkonstellationen der Qualität p(n,alpha)+p(n,beta) = 2p in der Bolle´schen Matrix
C(3): Schlussfolgerungen aus C(1) und C(2) als Argumente für den Versuch des Beweises der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung
C(3.1): fundamentale Argumente
(folgt)
C(3.1.1) Vermutung über duale (binäre) Primzahlkonstellationen der Qualitäten 2p(n) und p(nx)+p(ny) in der BM(p)
(folgt)
C(3.1.2) Nachweisversuch der Vermutung aus C(3.1.1)
(folgt)
C(3.3.1): Vermutung über die Überflüssigkeit einer Primzahllückenbetrachtung zwecks Nachweis der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung
C(3.3.2): Nachweisversuch der Vermutung aus C(3.3.1)
(folgt)
C(3.4): Ausschlussargumente gegen die Notwendigkeit weiterer Beweise wenn der Spiegelsatz für duale Primzahlkonstalltionen in der BM(p) der bewiesen werden kann
(folgt)
C(3.4.1): Nachweisversuch der Vermutung aus C(3.2.1)
(folgt)
C(4): Resumee´/ Zusammenfassender Überblick über die Argumente für die Möglichkeit eines Beweises der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung

ANHANG:
Anhang I:
Anhang II
Anhang III (Trivia): Die Namensgebung der Bolle´schen Matrix

- - -

BEWEISVERSUCH DER STARKEN (BINÄREN) GOLDBACH`SCHEN VERMUTUNG (TEIL II)
Vermutung: Die starke (binäre) Goldbach´sche Vermutung ist durch die logische Verkettung von Argumenten bei Anwendung des Bertrand´schen Theorems auf die sog. Bolle´sche Matrix (BM(p) ∈ ℕ; nach Hoppe, 2024) möglich.

Es folgen die Voraussetzungen, die logischen Argumente und deren Verkettung:

BEWEISGRUNDLAGEN UND BEWEISAUFBAU:
A. Voraussetzungen
B. Aufbau des Beweisversuchs
C. Schlussfolgerungen als Beweisversuch

zu A:
Voraussetzung 1: starke (binäre) Goldbach´sche Vermutung
Voraussetzung 2: Bertrand´sches Theorem (Theorem von Bertrand-Tschebyschow)
Voraussetzung 3: Bollle´sche Matrix (ℕ[multipel] ∈ (BM(p)[mxn])
Voraussetzung 4: (Rekursion des (binären) Gegenläufigkeitsprinzip von Paaren natürlicher Zahlen)

zu A(1): Die starke (binäre) Goldbach´sche Vermutung
Die starke (binäre) Goldbach´sche Vermutung des deutschen (preussischen) Mathematikers Christian Goldbach (1690 - 1764) setzt sich mit der Frage auseinander, ob sich jede gerade (natürliche) Zahl > 2 mindestens einmal als binäre Summe zweier Primzahlen darstellen lässt. Erstmals Erwähnung fand die Goldbach´sche Vermutung in einem Briefwechsel Goldbach´s mit Leonhard Euler, schweizer Matheamtiker (1707 - 1783) ([PDF/Fackeldey,1];[Reiss,32];[Sautoy61,27,58-64]).

[ZITAT]:
Die Goldbachsche Vermutung, benannt nach dem Mathematiker Christian Goldbach, ist eine unbewiesene Aussage aus dem Bereich der Zahlentheorie. Sie gehört als eines der Hilbertschen Probleme (Nr. 8b) zu den bekanntesten ungelösten Problemen der Mathematik.
[ZITAT ENDE] [gWiki1]

[ZITAT]:
Die Goldbachsche Vermutung, benannt nach dem Mathematiker Christian Goldbach, ist eine unbewiesene Aussage aus dem Bereich der Zahlentheorie. Sie gehört als eines der Hilbertschen Probleme (Nr. 8b) zu den bekanntesten ungelösten Problemen der Mathematik.
[ZITAT ENDE] [gWiki1]

zu A(2): Bertrand´sches Theorem
Das ursprüngliche Bertrand´sche Postulat ist als als bewiesen anerkannt (Theorem von Bertrand, auch Theorem von Bertrand-Tschebyschow)

[ZITAT]:
Das Bertrandsche Postulat (auch Satz von Bertrand-Tschebyschow) ist ein mathematisches Theorem, das besagt, dass für jede natürliche Zahl n > 1 mindestens eine Primzahl p mit n < p < 2n existiert.
[ZITAT ENDE]
[gWiki2]

- - -

zu A(3): Bolle´sche Matrix (ℕ[multipel] ∈ (BM(p)[mxn])[/u]
- Kurzbeschreibung zur Bolle´schen Matrix und Übersicht siehe Anhang (folgt noch)

zu A(4): Die strukturelle Ordnung der natürlichen Zahlen in dualen (binären) Konstellationen
Natürliche Zahlen ordnen sich strukturell paarweise ausgehend von ihrem Ursprung stringent nach folgender Systematik, z.B.:
(hier dargestellt als Proportionen)
bei ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

1 : 1

1 : 2
2 : 1

1 : 3
2 : 2
3 : 1

1 : 4
2 : 3
3 : 2
4 : 1

usw. usf.

aus der stringenten Systematik des Aufbaus dualaer (binärer) Paar-Konstellationen natürlicher Zahlen die axiomischen Charakter besitzen und deshalb keines weiteren Nachweises bedürfen, lassen sich (hier sog.) Spiegelungsgesetzmäßigkeiten binärer natürlicher Zahlenkonstellationen (hier: Zahlenpaare) ableiten.
Im Gesamtaufbau der Bolle´schen Matrix (ℕ[multipel] ∈ (BM(p)[mxn]) findet diese Ordnung der natürlichen Zahlen in multiplen binären Konstellationen Ausdruck.

- - -

zu B: Aufbau des Beweisversuchs / Übersicht:
B(1) : Die Anwendung des Bertrand´schen Theorems auf die Bolle´sche Matrix (ℕ[multipel] ∈ (BM(p)[mxn])
B(2): Die Rekursion des (binären) Gegenläufigkeitsprinzip von Paaren natürlicher Zahlen; die Spiegelungseigenschaften der natürlichen Zahlen als Beweisargument für den Versuch, die starke (binäre) Goldbach´sche Vermutung zu beweisen.
B(2a): Gegenläufige Entwicklung und Rekursionsaspekte von dualen (binären) Primzahlkonstellationen in der Bolle´schen Matrix
B(2b): Gegenläufige Entwicklung und Rekursionsaspekte von dualen (binären) zusammengesetzter Zahlenkonstellationen in der Bolle´schen Matrix

- - -

zu C. Schlussfolgerungen als Beweisversuch / Übersicht:
C(1): Nachweis der Spiegelungsphänomenik der Bolle´schen Matrix in Anwendung aud duale (binäre) Zahlenkonstellationen natürlicher Zahlen; (hier) sog. Stricknadelvermutung* (nach Hoppe, 2024; betr. herkömmliche Achssymmetrien)
C(2): Logische Schlussfolgerungen über die Anwendung des Bertrand´schen Postulats auf die Bolle´sche Matrix
C(2.1): Vermutung für die Beweisbarkeit dualer (binärer) Primzahlkonstellationen der Qualität p(n,gamma)+p(n,gamma) = 2p(n) in der Bolle´schen Matrix
C(2,2): Vermutung für die Beweisbarkeit dualer (binärer) Primzahlkonstellationen der Qualität p(n,alpha)+p(n,beta) = 2p in der Bolle´schen Matrix
C(3): Schlussfolgerungen aus C(1) und C(2) als Argumente für den Versuch des Beweises der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung
C(3.1): fundamentale Argumente
(folgt)
C(3.1.1) Vermutung über duale (binäre) Primzahlkonstellationen der Qualitäten 2p(n) und p(nx)+p(ny) in der BM(p)
(folgt)
C(3.1.2) Nachweisversuch der Vermutung aus C(3.1.1)
(folgt)
C(3.3.1): Vermutung über die Überflüssigkeit einer Primzahllückenbetrachtung zwecks Nachweis der starken (binären) Goldbach´schen Vermutung
C(3.3.2): Nachweisversuch der Vermutung aus C(3.3.1)
(folgt)
C(3.4): Ausschlussargumente gegen die Notwendigkeit weiterer Beweise wenn der Spiegelsatz für duale Primzahlkonstalltionen in der BM(p) der bewiesen werden kann
(folgt)
C(3.4.1): Nachweisversuch der Vermutung aus C(3.2.1)
(folgt)
- - -

BIBLIOGRAPHIE:
Bücher:
BIBLIOGRAPHIE:
(Hinweis: Wikipedia-Quellen werden nicht alphabetisch, sondern chronologisch - nach Zeitpunkt des Zugriffs sortiert - aufgelistet. Gleiches gilt für foreninterne Links als hier gelistete Quellen.)

Bücher:
Padberg, F. Benz, C.: Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II: Didaktik der Arithmetik. 5. überarb. Aufl. Verlag Springer Spektrum, Berlin, 2021.

Reiss, K.: Mathematik für das Lehramt – Basiswissen Zahlentheorie. 2. Aufl. Verlag Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2005.

du Sautoy, M.: Die Musik der Primzahlen - Auf den Spuren des größten Rätsels der Mathematik. ungek. Ausg. 2006; 7.Aufl., Verlag dtv Wissen, München, 2013.

Schmidt / Trenkler: Moderne Matrix-Algebra - Mit Anwendungen in der Statistik. (Reihe: Springer-Lehrbuch), Verlag Springer; Berlin, Heidelberg, New York, 1998

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Bibliografische Angaben für „Rekursion“
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Datum des Abrufs: 30. Januar 2024, 06:25 UTC

PDF´s:
Fackeldey, Konstantin: Die Goldbach´sche Vermutung und ihre bisherigen Lösungsversuche. Freie Universität Berlin, 2002
Link zur Publikation: https://page.math.tu-berlin.de/~fackeld ... keldey.pdf
Datum und Zeitpunkt des Zugriffs: 29.01.2024; 04:51 MEZ

- - -
ANHANG:

Inhaltsverzeichnis Anhang:
Anhang I: Kurzinformationen zur Bolle´schen Matrix (nach Hoppe, 2024) [siehe Abb. 1 u. 2]
1. Informationen über die Bolle´sche Matrix / Überblick
2. In der Bolle´schen Matrix darstellbarer Zahlenraum
3. Hauptbereiche und Sektoren der Bolle´schen Matrix
3.1 Hauptbereiche der Bolle´schen Matrix
3.1.1 Hauptbereich I: Hauptbereich mit vertikaler und horizontaler Positionsleiste mit Zahlensträngen der natürlichen Zahlen ℕ
3.1.2 Hauptbereich II: Matrix-Hauptrasterfeld mit darin eingetragenen, in vertikaler Richtung hintereinandergereihten Zahlensträngen von ℕ
3.2 Hauptsektoren und Nebensektoren der Bolle´schen Matrix im Hauptbereich II (Hauptrasterfeld der Bolle´schen Matrix):
3.2.1 Sektor Α (griech. "Alpha")
3.2.2 Sektor Β (griech. "Beta")
3.2.3. Sektor Γ (griech. "Gamma")
3.2.4. Hauptsektor(en) ∆ (griech. "Delta")
3.2.5. Nebensektor(en) ∆ (griech. "Delta")
4. Rekursionsanalyse mit der Bolle´schen Matrix

Anhang II: Haftungsausschluss / Disclaimer
Anhang III (triviae):

zu Anhang I:
[siehe Abb. 1 u. 2]

1. Informationen über die Bolle´sche Matrix / Überblick
Die Bolle´sche Matrix (ℕ[multipel] ∈ (BM(p)[mxn]); nach Hoppe, 2024) ist eine zweidimensionale Matrix, die als tabellarisches Dokument darstellbar ist: diese Darstellungsmöglichkeit war von Anfang an bei Konzeptionierung der Matrix angestrebt, um die Matrix z.B. auf Papier, auf Tafeln oder etwa unter Verwendung einer heute gängigen Tabellen-Kalkulationssoftware verwenden zu können. Die (ℕ[multipel] ∈ (BM(p)[mxn] verfügt über (z.B wahlweise) grau eingefärbte, im 90°-Winkel zueinandergesetzte Zahlenleisten in horizontaler und vertikaler Ausrichtung, die quasi eine Art von "Positionsangabe von natürlichen Zahlen im zur zweidimensionalen Matrix erhobenen Zahlenraum der natürlichen Zahlen darstellen. Die Bolle´sche Matrix ist in ihrem Analyse-Rasterfeld aufgebaut wie eine herkömmliche quadratische Matrix bzw. Matritze, allerdings mit einem sehr wichtig hervorzuhebenden unterschied: In der Bolle´schen Matrix sind die natürlichen Zahlen im Analyse-Rasterfeld der Matrix nicht nach dem Prinzip einer quadratischen Matrix arrangiert (wie dies bei Kartesischen Produkten bei AXB der Fall ist): die Zahlenreihen im Analyse-Rasterfeld der Matrix sind durchgängig nach dem Schema angeordnet, dass die in vertikale Richtung sich von ihrem Usprung mit dem Zahlenwert 1 aus (theoretisch unendlich lang) entwickelnde Zahlenreihe der natürlichen Zahlen in horizontale Richtung (theoretisch) unendlich häufig direkt hintereinander weg aneinandergereiht wird. Einzig die Frage wieviel Platz der analysierte (multipel) abgebildete Zahlenraum (der natürlichen Zahlen; ℕ) einnimmt entscheidet darüber, über welche Dimensionierungen die Bolle´sche Matrix (je nach Darstellungsmethode und dafür genutzten "Werkzeugen und Mitteln (z.B. Papier und Stift)" verfügt: die Bolle´sche Matrix beschreibt (theoretisch) also den (multiplen) unendlich großen Zahlenraum der natürlichen Zahlen (ℕ) und wird (je nach Analyseabsicht und Möglichkeiten der z.B. technischen Machbarkeit per Vorab-Definition entsprechend eingegrenzt. Theoretisch kann die Bolle´sche Matrix (z.B. aus Platzgründen) bei entsprechenden Vorab-Definitionen und entsprechender Beschreibung auch ausschnitthaft oder etwa als rechteckige Matrix ausgeführt und angewendet werden (Ausnahmen und Sonderformen der Darstellung).
Das grundlegende Prinzip nach dem die Bolle´sche Matrix für die Analyse der dualen (binären) Zerlegungsmöglichkeiten für die Betrachtung des Zahlenraums der natürlichen Zahlen vom Verfasser konzipiert wurde und damit im speziellen die Analyse der Eigenschaften von Primzahlen als Summanden zur Zahlenwertbildung betrifft, liegt in einer gedoppelt und im Winkel von 90° überlagerten adaptierten Aussiebungsprinzip nach dem Vorbild des Sieb des Eratosthenes. Die Winkelung in der die beiden zueinander verdrehten "Siebe" dazu quasi "überdoppelt" zueinander arrangiert werden, ist dabei ausschließlich im mathematischen Sinne als festgelegt zu erwähnen: ob die Bolle´sche Matrix etwa bei einer freihändigen Ausführung den Winkel von 90° nicht einhält, ist unerheblich, solange das der Matrix zugrunde liegende Prinzip davon unberührt bleibt: es existieren verschiedenen Möglichkeiten, das Prinzip der Bolle´schen Matrix umzusetzen.
Jede natürliche Zahl >1 lässt sich (weil natürliche Zahlen per Definition ganzzahlige positive Zahlen sind mit denen wir z.B. täglich zählen) als duale (bzw. "binäre") Summe zweier spezifischer - je nach zerlegtem Zahlenwert zueinanderpassender Summanden ausdrücken: bei fortschreitender Zahlenwertgröße steigt dabei die spezifisch-proportionale Anzahl von Schreibweisen für die duale (binäre) Zerlegung von Zahlenwerten natürlicher Zahlen: diese Zusammenhänge entsprechen (natürlicherweise) festgefügten mathematischen Grundgesetzmäßigkeiten. Dieses Prinzip macht sich die Bolle´sche Matrix von ihrem Konzept her zunutze: durch die in der Bolle´schen Matrix erfolgende spezifische Aneinanderreihung der multipel zueinander arrangierte Zahlenreihen der natürlichen Zahlen die sich auf die immer wieder gleiche Art und Weise - sich dabei von ihrem Ursprung des Zahlenwerts 1 aus entwickelnd - aneinander reihen entstehen bei zusätzlicher Markierung der Primzahlpositionen im so entstehenden Aussiebungsverfahren lückenlos sämtliche üpberhaupt möglichen dualen (binären) Zerlegungsmöglichkeiten für natürliche Zahlen. Zurückzuführen ist dieser Zusammenhang darauf, dass in der Bolle´schen Matrix (auf spezielle Art und Weise) die dualen (binären) Kombinationskonstellationen natürlicher Zahlen; ausgehend vom Urpsrung ihrer Entwicklung; abgebildet werden. Die Bolle´sche Matrix beschreibt in speziell zusammengefasster Art und Weise also das grundlegende Prinzip mit axiomischem Charakter nach dem sich die natürlichen Zahlen ausgehend von ihrem Ursprung (je nach Definition 0 oder 1) paarweise zueinander ordnen, z.B. (siehe auch Punkt zu A(4) im Hauptmanuskript):

(hier dargestellt als Proportionen)
bei ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

1 : 1

1 : 2
2 : 1

1 : 3
2 : 2
3 : 1

1 : 4
2 : 3
3 : 2
4 : 1

usw. usf.

Darstellungsbedingt (z.B. aufgrund der Frage nach gewählter Rastergröße und danach wieviel Platz z.B. einzutragende Zahlen / Ziffern benötigen, kann die quadratische Ausführung der Bolle´schen Matrix formatierungsbedingt nicht quadratisch erscheinen, stellt im mathematischen Sinne jedoch stets eine quadratische Matrix dar.
(siehe zeitnah noch folgende Abbildungen).

2. In der Bolle´schen Matrix darstellbarer Zahlenraum
Je nach Vorab-Definition, Erfordernis und Analyseabsicht ist in der Bolle´schen Matrix der Zahlenraum ℕ(multipel) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} oder ℕ(multipel) = {1, 2, 3, 4, 5, ...} abbildbar.

3. Hauptbereiche und Sektoren der Bolle´schen Matrix
Zwecks besserer Übersichtlichkeit und Beschreibbarkeit (z.B. in mengentheoretischer Hinsicht) ist die Bolle´sche Matrix unterteilt in verschiedene Hauptbereiche sowie verschiedene Hauptsektoren (bestimmte Hauptsektorenarten der Bolle´schen Matrix können dabei bei Erfordernis und Absicht auch als Vektoren definiert und beschrieben werden).

3.1 Hauptbereiche der Bolle´schen Matrix
Die Bolle´sche Matrix ist in zwei wesentliche Hauptbereiche unterschieden und zwar in:

3.1.1 Hauptbereich I: Hauptbereich mit vertikaler und horizontaler Positionsleiste mit Zahlensträngen der natürlichen Zahlen ausgehend von ihrem Entwicklungsursprung (je nach Vorabdefinition 0 oder 1) als Positionsangaben.

3.1.2 Hauptbereich II: Matrix-Hauptrasterfeld mit darin eingetragenen, in vertikaler Richtung hintereinandergereihten Zahlensträngen von ℕ(multipel) mit dem typischen Aufbau (siehe Abb. ..., folgt noch).

3.2 Hauptsektoren und Nebensektoren der Bolle´schen Matrix im Hauptbereich II: (Hauptrasterfeld der Bolle´schen Matrix)

3.2.1 Sektor Α (griech. "Alpha")
Der Bereich im Hauptrasterfeld der Bolle´schen Matrix links unter der Spiegelachse der Bolle´schen Matrix.
(betr. hier gewählte Darstellungsart)

3.2.2 Sektor Β (griech. "Beta")
Der Bereich im Hauptrasterfeld der Bolle´schen Matrix rechts über der Spiegelachse der Bolle´schen Matrix.
(betr. hier gewählte Darstellungsart)

3.2.3. Sektor Γ (griech. "Gamma")
Der Bereich im Hauptrasterfeld der Bolle´schen Matrix der vom Verfasser Spiegelachse der Bolle´schen Matrix genannt wird und damit aus einer Aneinanderreihung von (gewählt) entsprechend vielen Hauptrasterfeld-Zellen entspricht und z.B. auch als Vektor definiert und beschrieben werden kann. Angeordnet ist die Spiegelache - und damit der Sektor Γ in der Bolle´schen Matrix stets im Winkel von 45°. Im Sinne einer herkömmlichen Matrix stellt der Sektor Γ der Bolle´schen Matrix (im Vergleich) quasi die Hauptdiagonale einer quadratischen Matrix dar. Die Spiegelachse in der Bolle´schen Matrix verläuft (in der hier gewählten Darstellung) sich zahlenraumtechnisch entwickelnd stets von links oben nach rechts unten. In der Bolle´schen Matrix existiert damit per Definition nur eine einzige Spiegelachse. Die Spiegelachse (Sektor Γ der Bolle´schen Matrix verläuft; in der hier gewählten Darstellung; sich zahlenraumtechnisch entwickelnd stets von ganz links oben (oberste linke Ecke des Hauptrasterfelds der Matrix) nach ganz rechts unten (unterste rechte Ecke des Hauptrasterfelds der Matrix). Damit entwickelt sich die Spiegelachse der Bolle´schen Matrix stets ausgehend vom Ursprungszahlenwert 1 (bzw. 0, je nach vorheriger Definition des Zahlenraums ℕ) in Bezug auf das Hauptrasterfeld der Matrix in entsprechend definierter Längenausdehnung bzw. auch "Größenausdehnung". Theoretisch ist die Spiegelachse der Bolle´schen Matrix (je nach Vorab-Definition) unendlich lang. Ausschnitte aus spezifischen Summandenachsen in der Bolle´schen Matrix sind per entsprechender Definition möglich und (z.B. auch als Vektoren) beschreibbar.

3.2.4. Hauptsektor(en) ∆ (griech. "Delta")
Der Bereich im Hauptrasterfeld der Bolle´schen Matrix der vom Verfasser (jeweils spezifisch) Summandenachse(n) der Bolle´schen Matrix genannt wird und damit aus einer Aneinanderreihung von (gewählt) entsprechend vielen Hauptrasterfeld-Zellen entspricht und z.B. auch als Vektor(en) definiert und beschrieben werden kann. Angeordnet ist die Haupt-Summandenachse - und damit der Hauptsektor ∆ in der Bolle´schen Matrix stets im Winkel von 45°. Im Sinne einer herkömmlichen Matrix stellt der Hauptsektor Γ der Bolle´schen Matrix (im Vergleich) quasi die Gegendiagonale einer quadratischen Matrix dar. Darüber hinaus können - je nach zuvor festgelegter (definierter) Größe in der Bolle´schen Matrix entsprechend multipel zahlreiche - bis hin zu theoretisch unendlich viele - Nebensummandenachsen (vom Verfasser Nebensektoren genannt) existieren.
Die Hauptsummandenachse (Sektor ∆ der Bolle´schen Matrix verläuft; in der hier gewählten Darstellung; sich zahlenraumtechnisch entwickelnd stets von ganz links unten (untere linke Ecke des Hauptrasterfelds der Matrix) nach ganz rechts oben (obere rechte Ecke des Hauptrasterfelds der Matrix). Damit entwickelt sich die Hauptsummandenachse der Bolle´schen Matrix stets ausgehend vom Ursprungszahlenwert 1 (bzw. 0, je nach vorheriger Definition des Zahlenraums ℕ) in Bezug auf das Hauptrasterfeld der Matrix in entsprechend definierter Längenausdehnung bzw. auch "Größenausdehnung". Theoretisch kann eine Summandenachse in der Bolle´schen Matrix (je nach Vorab-Definition) unendlich lang sein. Ausschnitte aus spezifischen Summandenachsen in der Bolle´schen Matrix sind per entsprechender Definition möglich und (z.B. auch als Vektoren) beschreibbar.

3.2.5. Nebensektor(en) ∆ (griech. "Delta")
Die Nebensektorenachsen (Nebensektoren ∆ der Bolle´schen Matrix verlaufen; in der hier gewählten Darstellung; sich zahlenraumtechnisch entwickelnd stets von weitest möglich links unten; beginnend jeweils im Sektor A des Hauptrasterfelds der Matrix nach weitest möglich rechts oben. Damit entwickeln sich die Nebensummandenachsen der Bolle´schen Matrix stets ausgehend vom Ursprungszahlenwert 1 (bzw. 0, je nach vorheriger Definition des Zahlenraums ℕ) in Bezug auf das Hauptrasterfeld der Matrix in entsprechend definierter Längenausdehnung bzw. auch "Größenausdehnung". Theoretisch kann eine Nebensummandenachse in der Bolle´schen Matrix (je nach Vorab-Definition) unendlich lang sein. Ausschnitte aus spezifischen Summandenachsen in der Bolle´schen Matrix sind per entsprechender Definition möglich und (z.B. auch als Vektoren) beschreibbar.
Um Verwechslungen zu vermeiden und eindeutige Beschreibungen in z.B. mengentheoretischer Hinsicht möglich zu machen wählt der Verfasser für Nebensummandenachsen (Nebensektoren ∆) in der Bolle´schen Matrix (hier in der gewählten Darstellung):

Sektor ∆ für die per Vorab-Definition jeweilige Hauptsummandenachse der Bolle´schen Matrix (Γ-Sektor)

und

Sektor ∆´ für die per Vorab-Definition jeweils linksseitig zur Hauptsummandenachse (∆-Sektor) der Bolle´schen Matrix befindliche Nebensummandenachse und Sektor ∆´´ für die per Vorab-Definition jeweils linksseitig zur Hauptsummandenachse (∆-Sektor) der Bolle´schen Matrix befindliche Nebensummandenachse. Wahlweise wählt der Verfasser für Nebensummandenachsen in der Bolle´schen Matrix auch die Beschreibung:
∆(links) = Nebensummandenachse linksseits der Spiegelachse der Bolle´schen Matrix
∆(rechts) = Nebensummandenachse rechtsseits der Spiegelachse der Bolle´schen Matrix

Hauptsummandenachsen wie Nebensummandenachsen in der Bolle´schen Matrix lassen sich auch wie Vektorenabschnitte entsprechend beschreiben. Hierfür ist dann die vom Verfasser - in dieser Darstellung gewählte - noch zusätzlich gewählte
beschreibende jeweilige spezifische Unterteilung einer Summandenachse in die jewieligen Vektorenbereiche einer spezifischen Summandenachse sinnvoll (eine vollständige Summandenachse in der Bolle´schen Matrix schneidet stets (differenziert) die sämtlichen 3 Hauptsektoren der Bole´schen Matrix (A-Sektor; B-Sektor, Γ-Sektor) und so macht also auch die entsprechende Beschreibbarkeit solcher Schnitte" Sinn indem Summandenachsen in der Bolle´schen Matrix jeweils beschreibend definiert werden als spezifischer vereinender Vektor der Vektorenbereiche bzw. Vektorenabschnitte A, B, Γ (also der Vektorenabschnitte Alpha, Beta, Gamma).

4. Rekursionsanalyse mit der Bolle´schen Matrix
Für eine vergleichende Rekursionsanalyse kann die Bolle´sche Matrix wahlweise als Ausführung mit Rekursions-Rasterfeld verwendet werden. Damit werden elementare Zusammenhänge zwischen natürlichen Zahlen im Vergleich besser beschreibbar (z.B. in mengentheoretischer Hinsicht) und pozenzielle Transfers in andere Zahlenbereiche können so absolviert, bzw. vorbereitet werden. Um die Bolle´sche Matrix für die Rekursionsanalyse nutzen zu können, wie die SPiegelachse der Bolle´schen Matrix als durchgängig 0 (Null, Nullwert, bzw. Nullachse hier im topologischen Sinne auch Null-Ereignishorizont der Bolle´schen Matrix) angesehen während Sektor Alpha im Hauptrasterfeld mit dem Vorzeichen Minus und der Sektor Beta im Hauptrasterfeld der Bolle´schen Matrix ausgewiesen wird. Dies bedeutet, dass sich Rekursionszahlenreihen im Hauptrasterfeld der Bolle´schen Matrix spalten- und zeilenspezifisch jeweils vom Rekursions-Nullhorizont der Matrix ausgehend entwickeln nach dem Schema (z.B.): {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.
Um die Rekursions-Analyse unter Verwendung der Bolle´schen Matrix z:B: im Abgleich mit mengentheoretischen Aspekten besser beschreibbar zu machen, wählt der Verfasser (hier) die folgenden begrifflichen Belegungen, Abkürzungen und Formelzeichen:

In Anwendung auf die Hauptbereiche der Bolle´schen Matrix:
ℕ[n(0), ..., n(n)]→ ∈ BM(p) = horizontale Positionsachse der Bolle´schen Matrix
ℕ[n(0), ..., n(n)]↓ ∈ BM(p) = horizontale Positionsachse der Bolle´schen Matrix

In Anwendung auf die Hauptsektoren der Bolle´schen Matrix:
Sektor(0) bzw. auch ℕ(0)↘ ∈ BM(p) = Spiegelachse als Nullachse der Bolle´schen Matrix in der Rekursionsanalyse; (Προέλευση) ∈ BM(p)

A(-)↙ ∈ BM(p) = negativer Rekursions-Ereignishorizont im Hauptrasterfeld der Bolle´schen Matrix
B(+)↗ ∈ BM(p) = positiver Rekursions-Ereignishorizont im Hauptrasterfeld der Bolle´schen Matrix

Aus der Zuordnung ergeben sich die Möglichkeiten der Beschreibung von Summandenachsen in der für die Rekursionsanalyse genutzten Bolle´schen Matrix, die hierfür vom Verfasser (hier) gewählten sind (z.B. in der Beschreibung von Summandenachsen in der Bolle´schen Matrix als Vektoren):

In Anwendung auf Summandenachsen in der Bolle´schen Matrix:
(wird aktuell noch bearbeitet)
(rek.)Α
(rek.)Β
(rek.)Γ
(rek.)∆

zu Anhang II: DISCLAIMER (Haftungsausschluss) des Verfassers:
Bitte beachten, dass die Nutzung der vom Autor in diesem Thema verfassten Inhalte trotz sorgfältiger Prüfung ausschließlich auf eigenes Risiko und ohne jegliche Haftung seitens des Autors erfolgen. Insbesondere für mathematische Zusammenhänge und deren Schilderung ist zu betonen, dass die Beiträge des Autors zu diesem Thema nicht peer-reviewed sind und der Autor diese Forschungsaspekte lediglich als Hobby betreibt: der Autor ist weder ausgebildeter Mathematiker noch Kunsthistoriker. Sämtliche Zusammenhänge hat der Autor sich neben seiner Grundlagenbildung im Bereich des bildhauerischen Handwerks selbstständig anhand logischer Schlussfolgerungen, systematischer Experimente und durch Recherche zum Thema erarbeitet. Der Autor möchte insbesondere darauf hinweisen, dass seine eigene Art und Weise der Darstellung von Zusammenhängen (z. B. in mathematischen Formeln und logischen Argumentationsketten) von den üblichen internationalen Vereinbarungen abweichen kann.
Es ist insbesondere zu beachten, dass vom Autor in diesem Thema beschriebenen Zusammenhänge nicht unbedingt automatisch korrekt sind (oder sein müssen) und trotz sorgfältigster Prüfung Fehler (z. B. auch Formatierungsfehler und Autokorrekturfehler sowie Grammatikfehler) enthalten können. Die vom Autor hier im Thema beschriebenen Kontexte eignen sich insgesamt in keiner Weise als Ersatz für qualifizierten Unterricht oder als zertifizierte oder zertifizierbare Lernhilfe. Die vom Autor zu diesem Thema verfassten Texte wurden nicht von anderen Personen Korrektur gelesen.
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zu Anhang III (Trivia): Die Namensgebung der Bolle´schen Matrix
Benannt ist die Bolle´sche Matrix nach einem Hund mit dem Rufnamen "Bolle": Nur durch erforderliche ausdauernde Spaziergänge mit Bolle in der freien Natur war es dem Verfasser möglich, so ausführlich über mathematische Zusammenhänge und insbesondere Primzahlen nachzudenken. Bolles Beitrag zu den hier aufgezeigten Ergebnissen des Verfassers trägt der Verfasser Rechnung mit der Namensgebung Bolle´sche Matrix für das zweiachsige zweidimensionale Matrix-Konzept für die Darstellung der Zerlegungseigenschaften dualer (binärer) natürlicher Zahlen nach dem Prinzip eines adaptierten, gedoppelt und in einer Winklung von 90° überlagerten Siebs des Eratosthenes [gWiki6].
Die Bolle´sche Matrix (ℕ[multipel] ∈ (BM(p)[mxn]); nach Hoppe, 2024) ist nicht zu verwechseln bzw. in der Differenzierung nicht in irgendeiner Art und Weise in Übereinstimmung zu bringen mit der Bool´schen Algebra [gWiki7].