Archaeoforum.de

(Hinweis: Die folgenden mathematischen Aussagen wurden bisher nicht im Peer-Review von Mathematiker/innen überprüft. Trotz sorgfältiger Überprüfung keinerlei Haftung und Gewähr seitens des Verfassers für die Richtigkeit der Angaben. Jede Nutzung der Angaben auf eigenens Risiko und eigene Gefahr.)

Heute habe ich TENAX (in eigener subjektiver Mischung) repliziert, wie in einem anderen Thema in diesem Forum nachzulesen ist. Tenax ist ein mittelalterlicher Klebstoff. Tenax wurde nach Theophilus Presbyter zur Schäftung von zu schleifenden Kristallen auf einen Stock verwendet um Kristalle besser schleifen und Polieren zu können [4, 74] (es gab sicherlich noch andere Verwendungszwecke für Tenax im Mittelalter).
Tenax besteht nach Theophilus Presbyter aus Pech, Wachs, Ziegelmehl und Wasser [4, 74].
Im Anschluss an die Produktion des Tenax fragte ich mich, wie sich systematisch Mischungsverhältnisse für eine sehr vage formulierte Rezeptur ermitteln lassen.
Diese Frage ist z.B. im Bereich der experimentalarchäologischen metallurgischen Auseinandersetzung von Interesse, wenn wir uns z.B. fragen, welche Mischungsverhältnisse aus Kupfer und Zinn zur Herstellung von Bronzen [1] verwendet worden sein könnten, wenn keine eindeutigen Überlieferungen zu dieser Fragestellung vorliegen.
Darauf hin ist mir bewusst geworden, dass das von mir in dieses Forum eingestellte Thema "Die Zukunft der Entschlüsselung historischer Texte"

https://www.archaeoforum.de/viewtopic.php?f=138&t=6664

eben diese hierfür erforderliche Methodik bereits bespricht.

Um die Anzahlen von systematisch auszuprobierenden Mischungsverhältnissen zu ermitteln, eignet sich folgende Methode. Die Methode gibt dabei nicht gänzlich sinnvolle Ergebnisse aus. Es ist z.B. bekannterweise unsinnig, z.B. eine Bronze mit einem Anteil von 1% Kupfer und 99% Zinn herstellen zu wollen. Es geht bei der systematischen mathematischen Methodik der Ermittlung von Anzahlen auszuprobierender Mischungsverhältnisse also um ein "gesundes Mittelfeld an Möglichkeiten". Z.B. macht es überhaupt keine Sinn, Tenax mit einem Mischungsverhältnis von 97 Teilen Wasser, einem Teil Pech, einem Teil Bienenwachs, und einem Teil Ziegelmehl herstellen zu wollen. Im Ergebnis würden wir eher eine nicht dispersive "Wassersuppe" und keinen für Schäftungen geeigneten Klebstoff erhalten.
Die hinter den in diesem Beitrag wirkenden Überlegungen erfordern allerdings eine vollständige (möglichst einfache systematische) mathematische Ermittlung der Möglichkeiten, weil es sonst mathematisch zu kompliziert wird...

Mischungsverhältnisse, in denen nur zwei verschiedene Komponenten miteinander vermischt werden, sind einfach zu berechnen: Hier werden einfach beide Komponenten in ihren diametral steigenden und fallenden Anteilen zueinander gegenübergestellt, z.B. (bei einer Staffelung in 10%-Schritten):

A = 10% / B = 90%
A = 20% / B = 80%
A = 30 % / B = 70%
A = 40 % / B = 60%
A = 50 % / B = 50%
A = 60% / B = 40%
A = 70% / B = 30%
A = 80% / B = 20%
A = 90% / B = 10%

Bei der Frage, wieviele Anzahlen von möglichen Mischungsverhältnissen sich ergeben, wenn wir mit drei verschiedenen Komponenten zu verschiedenen Gewichtungen arbeiten, wird es bereits beachtlich komplizierter (hier im Beispiel veranschaulicht anhand eines zu mischenden hydraulischen Mörtels (die alten Römer kannten bereits hydraulischen, also unter Wasser aushärtenden Mörtel) [2]:

A = Wasser; B = Kalkmörtel [3], C = Sand

3 verwendete Komponenten erfordern folgendes mathematisches Beziehungsgefüge (hier im Beispiel veranschaulicht an einer Staffelung in 10%-Volumenanteilschritten):

Vorweg müssen dafür einige Parameter festgelegt werden:
Der klleinstmögliche Volumenanteil an der Gesamtmischung sind 10%, der größtmögliche Volumenanteil an der Gesamtmischung sind 80% (weil die anderen beiden, mindestens jeweils 10% betragenden Volumenanteile noch in der Gesamtmischung untergebracht werden müssen, das "majorierende" Gesamtmischungsverhältnis ist also bei eindeutiger Dominanz einer Komponente ( 8 : 1 : 1 = 10 Anteile).

es folgt (nach vorgestellter Methode):

Eine einfache mathematische Matrix nach folgender Systematik (siehe zum Vergleich Thema "Die Zukunft der Entschlüsselung historischer Texte") genügt, um sämtliche Mischungsverhältnisse zum Ausdruck zu bringen.

Die mathematische Methode wird in einem Folgebeitrag in diesem Thema erstellt.

QUELLEN:
[1] Seite „Bronze“. In: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 2. Juni 2022, 14:22 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?ti ... =223376820 (Abgerufen: 5. August 2022, 17:51 UTC)

[2] Seite „Bindemittel“. In: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 9. April 2022, 12:26 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?ti ... =221916953 (Abgerufen: 5. August 2022, 17:58 UTC)

[3] Seite „Kalkmörtel“. In: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 14. September 2021, 07:58 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?ti ... =215572930 (Abgerufen: 5. August 2022, 18:00 UTC)

[4] Kölner Domblatt - Jahrbuch des Zentral Dombau-Vereins (Einundsiebzigste Folge), Verlag Kölner Dom, Köln, 2006

Das Greift genau in eine Fragestellung die ich zu Pulverresten aus Tongranaten aus dem 16./17. Jahrhundert habe.

https://www.franzkowiak.de/index.php/de ... naten.html

In den Granaten haben wir Reste der ehemaligen Ladung aus Schwarzpulver gefunden, von denen nach der mehrhundertjährigen Feuchtbodenlagerung augenscheinlich nur noch Holzkohle und Schwefel vorliegen, wie Brennproben an Pulverresten andeuten. Der Sallpeter wurde aus den Granaten ausgewaschen, bzw. von Pflanzenwurzeln aus den Granaten herausgezogen.

Aktuell bin ich auf der Suche nach Möglichkeiten der einer quantitativen Bestimmung von Schwefel und Holzkohle aus den vorliegenden Pulverresten, mit der Hoffnung, Hinweise auf die ursprüngliche Pulverrezeptur zu erhalten.

Die optimale Rezeptur entspricht 75 % (Gewicht) Salpeter, 10 % Schwefel und 15 % Holzkohle, diese wurde bereits im 15. Jh. angewandt, aber in historischen Rezepten finden sich zahlreiche Variationen, mit je nach Einsatzzweck oder Intention des Autoren (z.B. um sich unentbehrlich zu machen) in den Anteilen variieren.

Vielen Dank für Deinen Beitrag!
Ich bin heute noch nicht dazu gekommen, die Variationsmethode für Mischungsverhältnisse abschließend zu bestimmen. Dieser Beitrag wurde von mir recht impulsiv verfasst. Anschließend bemerkte ich, dass die Ermittlungsmethode sich etwas komplexer als erwartet gestaltet. Ich bitte um etwas Geduld. Ich entwickle die mathematischen Methoden hoffentlich in den nächsten Tagen und visiere dabei eine Matrix mit 1%-Schritten an, die sich dann - je nach Komponentenanzahl universell einsetzen lässt (bei Ausschluss möglicher Fehler).

Mischungsverhältnisse ermitteln für 10%-Schritte bei 3 verschiedenen zu mischenden Komponenten
Für die Ermittlung sämtlicher überhaupt möglicher Mischungsverhältnisse bei 10% Staffelungsschritten bietet sich die folgende Methode an, sie besteht aus 3 Schritten:

Schritt 1: Majorisierung zwischen den Komponenten ermitteln
Im ersten Schritt wird das majorisierende Verhältnis einer Mischungskonstellation ermittelt.
Den Begriff "majorisierend" verwende ich in diesem Zusammenhang für eine Mischungskonstellation, bei der eine einzelne Komponente den größtmöglichen Anteil in einer Mischung übernimmt.
Im Falle einer Konstellation von 3 verschiedenen Komponenten ergibt sich die Majorisierung aufgrund von 10%-Schritten wie folgt:

10% = 1/10 Gesamtmischung (hier beispielhaft erläutert anhand von Volumenprozentanteilen)

Die Gesamtmischung besteht also in diesem Fall aus 10 * 10% = 100% Volumenanteilen.

Die größtmögliche Majorisierung einer einzelnen Komponente liegt damit bei 80%, wenn die Grundregel gilt, dass sämtliche Komponenten mit einem Anteil von mindestens 10% enthalten sein müssen; daraus folgt die Majorisierung von

8 : 1 : 1

oder auch

80% : 10 % : 10%

Schritt 2: Grundlegendes Entwicklungsschemata ermitteln
Die Ermittlung des grundlegenden Entwicklungsschematas bei 3 miteinander zu vermischenden Komponenten ist unabhängig von der tatsächlichen Größe von z.B. Volumenanteilen einer Mischung. Das grundlegende Entwicklungsschemata sagt ausschließlich etwas über die Verwürfelungsmöglichkeiten einer Konstellation aus.
Bei 3 miteinander zu vermischenden Komponenten entstehen !3 (d.H. Fakultät 3 = 1 * 2 * 3 Verwürfelungsmöglichkeiten).

Für die Konstellation A : B : C mit Buchstaben als Platzhaltern resultieren daraus folgende Verwürfelungsmöglichkeiten (hier nach einer bestimmten von mehreren möglichen logischen Entwicklungsmöglichkeiten):
(römmische Ziffern in eckigen Klammern hinter Zeilen bezeichnen die jeweilige Zeilenposition)

A : B : C
A : C : B [II]
B : A : C [III]
B : C : A [IV]
C : A : B [V]
C : B : A [VI]

Der Sinn dieser Konstellationsermittlung liegt darin, dass sie mathematisch überschaubarer ist und Auskunft über die Verwürfelungsmöglichkeiten gibt. Diese Methode gewährleistet, dass keine Konstellation vergessen oder übersehen wird. Deutlich wird die Funktionsweise dieser Methode, wenn für die Platzhalter Ziffern eingesetzt werden und diese tatsächlichen Komponenten zugeordnet werden. (Bitte nicht nachmachen, dies ist KEINE Rezepturempfehlung und dient ausschließlich zur Veranschaulichung!)

Beispiel:
A = hydraulischer Kalk
B = Maurersand
C = Wasser

Schemata:
A : B : C
A : C : B [II]
B : A : C [III]
B : C : A [IV]
C : A : B [V]
C : B : A [VI]

Ersetzen der Platzhalter mit Zuweisung zu Komponenten:
Beispiel: hydraulischer Kalk : Maurersand : Wasser
1 : 2 : 3
1 : 3 : 2 [II]
2 : 1 : 3 [III]
2 : 3 : 1 [IV]
3 : 1 : 2 [V]
3 : 2 : 1 [VI]

Bei dieser mathematischen Ermittlungsmethode gilt das Prinzip, dass sämtliche Möglichkeiten, die sich in der 1ten Hälfte der Matrix ergeben, ebenfalls in der zweiten Hälfte der Matrix ausgelesen werden können, wenn die Zeilen sowohl vorwärts als auch rückwärts ausgelesen werden.
Dieser Grundsatz darf jedoch keinesfalls auf die Ermittlung von Mischungsverhältnissen angewendet werden, weil in einer Konstellation aus 3 Komponenten bei Zuordnung der Komponenten zu jeweiligen Spalten jedes Mischungsverhältnis einzigartig ist (!), Beispiel:

1 : 2 : 3 1te Hälfte der Möglichkeiten
1 : 3 : 2 [II]
2 : 1 : 3 [III]
...............
2 : 3 : 1 [IV] 2te Hälfte der Möglichkeiten (diametral gespiegelt)
3 : 1 : 2 [V]
3 : 2 : 1 [VI]

Vergleichen wir das Mischungsverhältnis aus Zeile I, also 1 Teil hydraulischer Kalk zu 2 Teilen Maurersand zu 3 Teilen Wasser mit dem Mischungsverhältnis aus Zeile VI, wird deutlich, dass es sich um zwei völlig verschiedene Mischungsverhältnisse handelt, weil Zeile Vi die Mischung 3 Teile hydraulischer Kalk zu 2 Teilen Maurersand zu 1 Teil Wasser beschreibt:

Zeile I: 1 Teil hydraulischer Kalk : 2 Teile Maurersand : 3 Teile Wasser
Zeile VI: 3 Teile hydraulischer Kalk : 2 Teile Maurersand : 1 Teil Wasser

Schritt 3: Matrix entwickeln:
In Schritt 3 kann nun abschließend die Matrix mit den sich ergebenden Möglichkeiten von Mischungsverhältnissen erzeugt werden. Der Prozess der Matrixentwicklung lässt sich auch korrekt mathematisch beschreiben und es ist möglich, Formeln aus der Matrix abzuleiten. Diese Auseinandersetzung führt in diesem Beitrag aber aktuell zu weit, auch weil ich die Formeln erst noch erarbeiten, bzw. recherchieren müsste.
Zur Erzeugung der Matrix muss vorweggeschickt werden, dass ich hierfür der Einfachheit und besseren Übersicht halber eine Methode verwende, die sich auf die Vermischung von 3 Komponenten anwenden lässt und von dem in Schrtitt 2 geschilderten Prinzip abweicht (es könnte alles ansdchließend sortiert werden, wenn der Bedarf besteht). Das in Schritt 2 geschilderte Schemata findet sich in der Matrix deshalb wieder, jedoch in einer sehr speziellen Verteilung. Insgesamt eignet sich die im folgenden geschilderte Systematik aber besser, weil sie übersichtlicher gestaltet werden kann. Die Anzahl an sich ergebenden Gesamtmöglichkeiten erfolgt hier noch nach einfacher anschließender Auszählung:

Matrix für die Ermittlung der Anzahlen von Mischungsverhältnissen für 3 Komponenten bei 10%-Schritten:

(Majorisierung = 1 : 1 : 8 , bzw. 10% : 10 % : 80%)

1 : 1 : 8
1 : 2 : 7 [II]
1 : 3 : 6 [III]
1 : 4 : 5 [IV]
1 : 5 : 4 [V]
1 : 6 : 3 [VI]
1 : 7 : 2 [VII]
1 : 8 : 1 [VIII]

2 : 1 : 7 [IX]
2 : 2 : 6 [X]
2 : 3 : 5 [XI]
2 : 4 : 4 [XII]
2 : 5 : 3 [XIII]
2 : 6 : 2 [XIV]
2 : 7 : 1 [XV]

3 : 1 : 6 [XVI]
3 : 2 : 5 [XVII]
3 : 3 : 4 [XVIII]
3 : 4 : 3 [IXX]
3 : 5 : 2 [XX]
3 : 6 : 1 [XXI]

4 : 1 : 5 [XXII]
4 : 2 : 4 [XXIII]
4 : 3 : 3 [XXIV]
4 : 4 : 2 [XXV]
4 : 5 : 1 [XXVI]

5 : 1 : 4 [XXVII]
5 : 2 : 3 [XXVIII]
5 : 3 : 2 [IXXX]
5 : 4 : 1 [XXX]

6 : 1 : 3 [XXXI]
6 : 2 : 2 [XXXII]
6 : 3 : 1 [XXXIII]

7 : 1 : 2 [XXXIV]
7 : 2 : 1 [XXXV]

8 : 1 : 1 [XXXVI]

Um es noch einmal zu betonen: Sofern ich mich nicht irre und sich keine Logikfehler eingeschlichen haben, gibt die obenstehende Matrix sämtliche mit 3 Komponenten in 10%-Schritten möglichen Mischungsverhältnisse aus, im ausgezählten Endresultat sind das im Ergebnis 1+2+3+4+5+6+7+8 = SUM(1 ...8) = 36 mögliche Mischungsverhältnisse.

Ich werde die Matrix sicherheitshalber noch mehrmals überprüfen.

Eine Matrix für die Ermittlung von möglichen Mischungsverhältnissen für 3 Komponenten bei 1%-Schritten werde ich baldmöglich erarbeiten, das wird aber noch ein wenig Zeit in Anspruch nehmen.

NACHTRAG: Zum Thema 1%-Schritte bei 3 Komponenten habe ich gerade eine ganz grobe Überschlagsrechnung vorgenommen. Irrtümer und Rechenfehler ausgeschlossen handelt es sich um annähernd zwischen 4.500 und 5.000 mögliche Mischungsverhältnisse, die aus solcher Konstellation resultieren (!).

Hier zunächst eine Matrix für die Ermittlung der Möglichkeiten einer 3er-Konstellation von Komponenten in 5%-Schritten.

Auch hier bezieht sich die grundlegende Schematik auf !3 grundlegende Verwürfelungen. Die Majorität der Verteilung der Komponenten liegt aufgrund der 5%-Schritte bei 90 : 5 : 5 bzw. gekürzt bei 18 : 1 : 1 oder auch 90% : 5% : 5%.

Matrix in 5%-Schritten:
(Jeder Ziffernwert wird anschließend einfach mit 5 multipliziert; die Werte in Klammern hinter jeder Zeile zeigen die tatsächliche prozentuale Verteilung; die römischen Ziffern in eckigen Klammern bezeichnen die Position einer Zeile.)
1 : 1 : 18 ( 5% : 5% : 90%)
1 : 2 : 17 (5% : 10% : 85%) [II]
1 : 3 : 16 (5% : 15% : 80%) [III]
1 : 4 : 15 (5% : 20% : 75%) [IV]
1 : 5 : 14 (5% : 25% : 70%) [V]
1 : 6 : 13 (5% : 30% : 65%) [VI]
1 : 7 : 12 (5% : 35% : 60%) [VII]
1 : 8 : 11 (5% : 40% : 55%) [VIII]
1 : 9 : 10 (5% : 45% : 50%) [IX]
1 : 10 : 9 (5% : 50% : 45%) [X]
1 : 11 : 8 (5% : 55% : 40%) [XI]
1 : 12 : 7 (5% : 60% : 35%) [XII]
1 : 13 : 6 (5% : 65% : 30%) [XIII]
1 : 14 : 5 (5% : 70% : 25%) [XIV]
1 : 15 : 4 (5% : 75% : 20%) [XV]
1 : 16 : 3 (5% : 80% : 15%) [XVI]
1 : 17 : 2 (5% : 85% : 10%) [XVII]
1 : 18 : 1 (5% : 90% : 5%) [XVIII]

2 : 1 : 17 (10% : 5% : 85%) [IXX]
2 : 2 : 16 (10% : 10% : 80%) [XX]
2 : 3 : 15 (10% : 15% : 75%) [XXI]
2 : 4 : 14 (10% : 20% : 70%) [XXII]
2 : 5 : 13 (10% : 25% : 65%) [XXIII]
2 : 6 : 12 (10% : 30% : 60%) [XXIV]
2 : 7 : 11 (10% : 35% : 55%) [XXV]
2 : 8 : 10 (10% : 40% : 50%) [XXVI]
2 : 9 : 9 (10% : 45% : 45%) [XXVII]
2 : 10 : 8 (10% : 50% : 40%) [XXVIII]
2 : 11 : 7 (10% : 55% : 35%) [IXXX]
2 : 12 : 6 (10% : 60% : 30%) [XXX]
2 : 13 : 5 (10% : 65% : 25%) [XXXI]
2 : 14 : 4 (10% : 70% : 20%) [XXXII]
2 : 15 : 3 (10% : 75% : 15%) [XXXIII]
2 : 16 : 2 (10% : 80% : 10%) [XXXIV]
2 : 17 : 1 (10% : 85% : 5%) [XXXV]

3 : 1 : 16 (15% : 5% : 80%) [XXXVI]
3 : 2 : 15 (15% : 10% : 75%) [XXXVII]
3 : 3 : 14 (15% : 15% : 70%) [XXXVIII]
3 : 4 : 13 (15% : 20% : 65%) [IXXXX]
3 : 5 : 12 (15% : 25% : 60%) [XXXX]
3 : 6 : 11 (15% : 30% : 55%) [XXXXI
3 : 7 : 10 (15% : 35% : 50%) [XXXXII]
3 : 8 : 9 (15% : 40% : 45%) [XXXXIII]
3 : 9 : 8 (15% : 45% : 40%) [XXXXIV]
3 : 10 : 7 (15% : 50% : 35%) [XXXXV]
3 : 11 : 6 (15% : 55% : 30%) [XXXXVI]
3 : 12 : 5 (15% : 60% : 25%) [XXXXVII]
3 : 13 : 4 (15% : 65% : 20%) [XXXXVIII]
3 : 14 : 3 (15% : 70% : 15%) [IL]
3 : 15 : 2 (15% : 75% : 10%) [L]
3 : 16 : 1 (15% : 80% : 5%)

4 : 1 : 15 (20% : 5% : 75%)
4 : 2 : 14 (20% : 10% : 70%)
4 : 3 : 13 (20% : 15% : 65%)
4 : 4 : 12 (20% : 20% : 60%)
4 : 5 : 11 (20% : 25% : 55%)
4 : 6 : 10 (20% : 30% : 50%)
4 : 7 : 9 (20% : 35% : 45%)
4 : 8 : 8 (20% : 40% : 40%)
4 : 9 : 7 (20% : 45% : 35%)
4 : 10 : 6 (20% : 50% : 30%)
4 : 11 : 5 (20% : 55% : 25%)
4 : 12 : 4 (20% : 60% : 20%)
4 : 13 : 3 (20% : 65% : 15%)
4 : 14 : 2 20% : 70% : 10%)
4 : 15 : 1 (20% : 75% : 5%)

5 : 1 : 14 (25% : 5% : 70%)
5 : 2 : 13 (25% : 10% : 65%)
5 : 3 : 12 (25% : 15% : 60%)
5 : 4 : 11 (25% : 20% : 55%)
5 : 5 : 10 (25% : 25% : 50%)
5 : 6 : 9 (25% : 30% : 45%)
5 : 7 : 8 (25% : 35% : 40%)
5 : 8 : 7 (25% : 40% : 35%)
5 : 9 : 6 (25% : 45% : 30%)
5 : 10 : 5 (25% : 50% : 25%)
5 : 11 : 4 (25% : 55% : 20%)
5 : 12 : 3 (25% : 60% : 15%)
5 : 13 : 2 (25% : 65% : 10%)
5 : 14 : 1 (25% : 70% : 5%)

6 : 1 : 13 (30% : 5% : 65%)
6 : 2 : 12 (30% : 10% : 60%)
6 : 3 : 11 (30% : 15% : 55%)
6 : 4 : 10 (30% : 20% : 50%)
6 : 5 : 9 (30% : 25% : 45%)
6 : 6 : 8 (30% : 30% : 40%)
6 : 7 : 7 (30% : 35% : 35%)
6 : 8 : 6 (30% : 40% : 30%)
6 : 9 : 5 (30% : 45% : 25%)
6 : 10 : 4 (30% : 50% : 20%)
6 : 11 : 3 (30% : 55% : 15%)
6 : 12 : 2 (30% : 60% : 10%)
6 : 13 : 1 (30% : 65% : 5%)

7 : 1 : 12 (35% : 5% : 60%)
7 : 2 : 11 (35% : 10% : 55%)
7 : 3 : 10 (35% : 15% : 50%)
7 : 4 : 9 (35% : 20% : 45%)
7 : 5 : 8 (35% : 25% : 40%)
7 : 6 : 7 (35% : 30% : 35%)
7 : 7 : 6 (35% : 35% : 30%)
7 : 8 : 5 (35% : 40% : 25%)
7 : 9 : 4 (35% : 45% : 20%)
7 : 10 : 3 (35% : 50% : 15%)
7 : 11 : 2 (35% : 55% : 10%)
7 : 12 : 1 (35% : 60% : 5%)

8 : 1 : 11 (40% : 5% : 55%)
8 : 2 : 10 (40% : 10% : 50%)
8 : 3 : 9 (40% : 15% : 45%)
8 : 4 : 8 (40% : 20% : 40%)
8 : 5 : 7 (40% : 25% : 35%)
8 : 6 : 6 (40% : 30% : 30%)
8 : 7 : 5 (40% : 35% : 25%)
8 : 8 : 4 (40% : 40% : 20%)
8 : 9 : 3 (40% : 45% : 15%)
8 : 10 : 2 (40% : 50% : 10%)
8 : 11 : 1 (40% : 55% : 5%)

9 : 1 : 10 (45% : 5% : 50%)
9 : 2 : 9 (45% : 10% : 45%)
9 : 3 : 8 (45% : 15% : 40%)
9 : 4 : 7 (45% : 20% : 35%)
9 : 5 : 6 (45% : 25% : 30%)
9 : 6 : 5 (45% : 30% : 25%)
9 : 7 : 4 (45% : 35% : 20%)
9 : 8 : 3 (45% : 40% : 15%)
9 : 9 : 2 (45% : 45% : 10%)
9 : 10 : 1 (45% : 50% : 5%)

10 : 1 : 9 (50% : 5% : 45%)
10 : 2 : 8 (50% : 10% : 40%)
10 : 3 : 7 (50% : 15% : 35%)
10 : 4 : 6 (50% : 20% : 30%)
10 : 5 : 5 (50% : 25% : 25%)
10 : 6 : 4 (50% : 30% : 20%)
10 : 7 : 3 (50% : 35% : 15%)
10 : 8 : 2 (50% : 40% : 10%)
10 : 9 : 1 /50% : 45% : 5%)

11 : 1 : 8 (55% : 5% : 40%)
11 : 2 : 7 (55% : 10% : 35%)
11 : 3 : 6 (55% : 15% : 30%)
11 : 4 : 5 (55% : 20% : 25%)
11 : 5 : 4 (55% : 25% : 20%)
11 : 6 : 3 (55% : 30% : 15%)
11 : 7 : 2 (55% : 35% : 10%)
11 : 8 : 1 (55% : 40% : 5%)

12 : 1 : 7 (60% : 5% : 35%)
12 : 2 : 6 (60% : 10% : 30%)
12 : 3 : 5 (60% : 15% : 25%)
12 : 4 : 4 (60% : 20% : 20%)
12 : 5 : 3 (60% : 25% : 15%)
12 : 6 : 2 (60% : 30% : 10%)
12 : 7 : 1 (60% : 35% : 5%)

13 : 1 : 6 (65% : 5% : 30%)
13 : 2 : 5 (65% : 10% : 25%)
13 : 3 : 4 (65% : 15% : 20%)
13 : 4 : 3 (65% : 20% : 15%)
13 : 5 : 2 (65% : 25% : 10%)
13 : 6 : 1 (65% : 30% : 5%)

14 : 1 : 5 (70% : 5% : 25%)
14 : 2 : 4 (70% : 10% : 20%)
14 : 3 : 3 (70% : 15% : 15%)
14 : 4 : 2 (70% : 20% : 10)
14 : 5 : 1 (70% : 25% : 5%)

15 : 1 : 4 (75% : 5% : 20%)
15 : 2 : 3 (75% : 10% : 15%)
15 : 3 : 2 (75% : 15% : 10%)
15 : 4 : 1 (75% : 20% : 5%)

16 : 1 : 3 (80% : 5% : 15%)
16 : 2 : 2 (80% : 10% : 10%)
16 : 3 : 1 (80% : 15% : 5%)

17 : 1 : 2 (85% : 5% : 10%)
17 : 2 : 1 (85% : 10% : 5%)

18 : 1 : 1 (90% : 5% : 5%)

Es ergeben sich also bei 3 Komponenten bei 5%-Schritten (vorbehaltlich Irrtümer, Rechen- und Logikfehler) 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18 = SUM(1...18) = 171 Möglichkeiten.

- Fortsetzung folgt -

Hallo Bullenwächter,

gibt es eine Möglichkeit für Zugriff auf Referenzwerte für die Materialien mit denen Ihr arbeitet? D.H. Referenzwerte zu der Schüttungsdichte der Materialien (Verhältnis Volumen zu Gewicht)?
Falls nicht, gibt es eine Möglichkeit, Referenzmessungen durchzuführen (z.B. 10 Referenzmessungen mit unterschiedlichen gestaffelten Mischungsverhältnissen)?

Von besonderem Interesse ist dabei die Frage, inwiefern sich die Schüttdichte der einzelnen Komponenten verhält im Verhältnis zu den miteinander verührten Komponenten (z.B. mögliches "Zusammensacken" einer Granatenfüllung).

Von großer Bedeutung für Deine Fragestellungen werden folgende Fragen sein, die daraus resultieren:

1: Wie hoch war der ursprüngliche Trockenheitsgrad der Materialien (Feuchtegrad) im Verhältnis zum Feuchtegrad bei Fundlage? Feuchtigkeit kann bei den Volumenverhältnissen eine Rolle gespielt haben (vorher/nachher). Dabei ist natürlich die Frage, unter welchen Bedingungen die Granaten hergestellt wurden.

2. Eine entscheidende Frage ist, ob die Füllungen der Granaten (im Verhältnis zum Innenvolumen der Keramikkörper) vollständig waren, oder die Tonkörper nicht vollständig aufgefüllt wurden.

3. Eine weitere gewichtige Frage behandelt die Art und Weise der Verfüllung: Wurde die Verfüllung loose eingeschüttet (Schüttdichte) oder verdichtet? Bei potenzieller Verdichtung müsste dann noch eine Datenerhebung zu den Dichtegraden im Vergleich ermittelt werden, weil in ein Gefäß ja mehr verdichtetes Material hineinpasst als unverdichtetes.

Ich denke, die wesentlichsten Argumente für Effektivität werden schließlich Abrrennproben und und Erprobungen des fertigen Produkts unter Laborbedingungen sein...

Da wir immerhin von Erprobungen von Sprengstoffen im wissenschaftlichen Sinne reden, ist die Frage, inwieweit wir dieses Thema hier im Forum (wegen des verbotenen Nachahmungseffekts) öffentlich weiter ausbreiten sollten.

Meine Anregung ist deshalb, dass wir dieses Thema gerne in einem separaten Thema im internen Bereich dieses Forums weiter besprechen.

Die Gesamtanzahl der möglichen Mischungsverhältnisse bei einer Staffelung in 1%-Schritten wurden nun von mir ermittelt: Es handelt sich (bei Ausschluss von möglichen Logik- und Rechenfehlern meinerseits) um SUM(1...98) = 4851 Möglichkeiten.

@Bullenwächter: Das Ergebnis hier vom Aufwand und Platzbedarf her zu präsentieren, halte ich nicht für sinnvoll. Ich sende Dir aber gerne ein Tabellendokument mit den Daten per Email zu, wenn Du mir per PN eine Kontakt-Emailadresse mitteilst.

Anzahlen von Miachungsverhältnissen für 3er-Konstellation über Majorität ermitteln:
Potenzielle Logikfehler meinerseits ausgeschlossen, ergibt sich die Ermittlung der Gesamtanzahl von Mischungsverhältnissen (hier ausschließlich) in Kostellationen mit 3 Komponenten bei stetiger (mindestens minimaler) Beteiligung aller 3 Komponenten über die Ermittlung der Majorität einer Mischung.

Die zu ermittelnde Majorität als größtmöglicher Zahlenwert (ausschließlich) in einer 3er-Konstellation gibt vor, wieviele Zahlenwerte ausgehend vom Ursprung Zahlenwert 1 (Eins) miteinander lückenlos aufsummiert werden müssen.

Beispiele:

25%-Schritte:

Majorität = 2 : 1 : 1 oder auch 50% : 25% : 25%

daraus resultiert die Aufsummierung der Zahlenwerte 1 und 2:

1+2 = SUM(1...2) = 3

Das bedeutet also, dass sich bei 25%-Schritten als Staffelung in einer 3er-Konstellation insgesamt 3 verschiedene mögliche Mischungsverhältnisse ergeben, weil Die Majorität 2 gegeben ist und SUM(1...2) = 1+2 = 3 ist.

1 : 1 : 2
1 : 2 : 1
2 : 1 : 1

10%-Schritte:

Majorität = 8 : 1 : 1 oder auch 80% : 10% : 10%

SUM(1...8) = 1+2+3+4+5+6+7+8 = 36

Bei Majorität 8 : 1 : 1 existieren also 36 mögliche Mischungsverhältnisse.


1%-Schritte:

Majorität = 98 : 1 : 1 oder auch 98 % : 1% : 1%

SUM(1...98) = 1+2+3+4+5 ... 94+95+96+97+98 = 4.851

Bei Majorität 98 : 1 : 1 existieren also 4.851 mögliche Mischungsverhältnisse.

1-Promille-Schritte (also 1/1000-Schritte):

Majorität = 998 : 1 : 1 oder auch 998 Promille : 1 : Promille : 1 Promille

SUM(1...998) = 1+2+3+4+5 ... 994+995+996+997+998 = 498.501

Bei Majorität 998 : 1 : 1 existieren also 498.501 mögliche Mischungsverhältnisse (potenzielle Rechenfehler können nicht ausgeschlossen werden).

Summen dieser Größenordnung lassen sich noch komfortabel und simpel mit einer gängigen Office-Tabellenkalkulation ermitteln. Hierfür wird einfach die entsprechende Zahlenreihe für die Majorität aufgezogen. Anschließend wird über die Summenfunktion die Gesamtsumme (Aufsummierung) der Zahlenreihe ermittelt.

Anzahlen von Mischungsverhältnissen in 3er-Konstellationen von Komponenten nach Majoritäten
Gehen wir stringent nach Majoritäten vor, ergibt sich folgendes Entwicklungsschemata für die jeweilige Anzahl von Mischungsverhältnissen bei Verwendung von (ausschließlich) 3 Komponenten, wobei die Regel gelten muss, dass jede Komponente in jedem Mischungsverhältnis mit ihrem minimal möglichen Anteil auch wirklich enthalten sein muss:

minimalst mögliche Majorität = 1

maximalst mögliche Majorität = theoretisch unendlich (für verschiedene spezifische Zahlenarten - z.B. natürliche Zahlen [2] (ganze Zahlen mit denen wir tagtäglich zählen) und rationale Zahlen [3] (Bruchzahlen) möglich. Es muss dann bei Bedarf entsprechend in Volumeneinheiten, Dichteeinheiten, prozentuale Einheiten etc. umgerechnet werden.

Majoritätenentwicklung:
(Beispiele, ausgehend vom Ursprung)

1 : 1 : 1 (Anteilssumme = 3)
1 : 1 : 2 (Anteilssumme = 4)
1 : 1 : 3 (Anteilssumme = 5)
1 : 1 : 4 (Anteilssumme = 6)
1 : 1 : 5 (Anteilssumme = 7)
1 : 1 : 6 (Anteilssumme = 8)
1 : 1 : 7 (Anteilssumme = 9)
1 : 1 : 8 (Anteilssumme = 10)
1 : 1 : 9 (Anteilssumme = 11)
1 : 1 : 10 (Anteilssumme = 12)
usw.

Zuwachsraten zwischen zwischen Majoritäten und tatsächlicher Anzahl von möglichen Mischungsverhältnissen
(ausschließlich gültig für 3er-Konstellationen von Komponenten, wobei jede einzelne Komponente zwingend in einer Mischung enthalten sein muss)
Über die Zuwachsrate (als Faktor) lässt sich im sich ergebenden Produkt über die jeweilige Majorität auf simplem mathematischen Wege die tatsächliche Anmzahl an möglichen Mischungsverhältnissen ermittteln, ohne komplexere Formeln aus der Zahlentheorie verwenden zu müssen.

Hierfür werden einfach (z.B. in einem Tabellendokument einer gängigen Office-Tabellensoftware) drei verschiedene Zahlenreihen sich spezifisch entwicklend gegenübergestellt:

(in diesem Beispiel)

A = Majorität, B = Zuwachsfaktor, C = tasächliche Anzahl von möglichen Mischungsverhältnissen:

(Die jeweils einfassenden geschweiften Klammern stehen für eine jeweilige Spalte in einem Tabellendokument)

A : B : C
{1} {1} {1}
{2} {1,5} {3}
{3} {2} {6}
{4} {2,5} {10}
{5} {3} {15}
{6} {3,5} {21}
{7} {4} {28}
{8} {4,5} {36}
{9} {5} {45}
{10} {5,5} {55}
usw.

weil:

1 * 1 = 1
2 * 1,5 = 3
3 * 2 = 6
4 *2,5 = 10
5 * 3 = 15
6 * 3,5 = 21
7 * 4 = 28
8 * 4,5 = 36
9 * 5 = 45
10 * 5,5 = 55
usw.

Bezug der Anzahlen möglicher Mischungsverhältnisse zu der Reihe der Dreieckszahlen
(ausschließlich gültig für 3er-Konstellationen von Komponenten, wobei jede einzelne Komponente zwingend in einer Mischung vorkommen muss)
Eine Berechnung der möglichen Anzahlen von Mischungsverhältnissen einer spezifischen Majorität nimmt im Ergebnis stets Bezug auf die Entwicklung der Reihe der Dreieckszahlen [1], daher folgt: Die in direkter Folge vom Ursprung ausgehenden Majoritäten erzeugen im Ergebnis der Anzahlen von möglichen Mischungen (ausschließlich bei 3er-Konstellationen von Komponenten) die Reihe der Dreieckszahlen:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55 ...

QUELLEN:
[1] Seite „Dreieckszahl“. In: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 4. April 2022, 16:17 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?ti ... =221784081 (Abgerufen: 6. August 2022, 17:27 UTC)

[2] Seite „Natürliche Zahl“. In: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 16. März 2022, 06:49 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?ti ... =221173663 (Abgerufen: 6. August 2022, 17:29 UTC)

[3] Seite „Rationale Zahl“. In: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 1. Oktober 2021, 15:25 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?ti ... =216036605 (Abgerufen: 6. August 2022, 17:30 UTC)

Siehe zur grafischen Darstellung von ternären Gemischen (Gemischen aus 3 Komponenten) auch den Wikipediaartikel "Ternäres Gemisch" (siehe Gibbssches Dreiecksdiagram).

QUELLEN:
Seite „Ternäres Gemisch“. In: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 21. März 2021, 16:29 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?ti ... =210054022 (Abgerufen: 10. August 2022, 13:53 UTC)