Die historische Erforschung der Zahlen
Verfasst: 05.01.2024 12:11
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Die historische Erforschung der Zahlen / Besondere Zahlen (1): Die Fibonacci-Zahlen
Mit den Eigenschaften von Zahlen setzt sich der Mensch seit der frühen Entwicklung der Mathematik und der Erfindung des Zählens auseinander. Schon die alten Mesopotamier und alten Ägyptern verfügten über ein umfangreiches mathematisches Wissen [FIL1].
Bereits die alten Griechen verfügten über ausführlicherere Erkenntnisse über Zahlen und deren Eigenschaften und setzen diese Erkenntnisse in universelle logische Schlussfolgerungen um. Damit etablierten u.A. die alten Griechen eine umfassendere Logik, die bis heute hilft, sich z.B. mathematischen Fragestellungen anzunähern [FIL1].
Ein Forschender, der die Möglichkeiten der logischen Analyse mit einer dezidierten Naturbeobachtung verband, war der italienische Mathematiker Leonardo Fibonacci (Leonardo von Pisa, vermutlich 1180-1250) [Reiss, 2005,45-46].
[ZITAT]:
Benannt ist die Folge nach Leonardo Fibonacci, der damit im Jahr 1202 das Wachstum einer Kaninchenpopulation beschrieb. Die Folge war aber schon in der Antike sowohl den Griechen als auch den Indern bekannt.
Weitere Untersuchungen zeigten, dass die Fibonacci-Folge auch noch zahlreiche andere Wachstumsvorgänge in der Natur beschreibt. Es scheint, als sei sie eine Art Wachstumsmuster in der Natur.
[ZITAT ENDE] [gWiki1]
Mit den sog. Fibonacci-Zahlen ist heute üblicherweise eine besondere Zahlenreihe (ℕ = natürliche Zahlen) benannt, die entsteht, wenn folgende Rechenoperation stetig wiederholt wird: Ausgangsbasis der verketteten Rechenoperation ist die erste Summierung der beiden Grundglieder mit dem gleichen Zahlenwert 1 und 1. Dabei lautet die Folge-Rechenregel, jeweils das nächste sich ergebende Glied als Zahlenwert mit dem vorherigen wieder zu einer neuen (nachfolgenden) Summe zu summieren. So entsteht schließlich die Reihe der Fibonacci-Zahlen:
1 + 1 = 2
1 + 2 = 3
2 + 3 = 5
3 + 5 = 8
5 + 8 = 13
8 + 13 = 21
usw. usf.
Die Fibonacci-Folge in ℕ lautet demnach:
F(1 ... ∞) ∈ ℕ = {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 ...}
Bei den Fibonacci-Zahlen handelt es sich also um eine in rekursiver Hinsicht "duale" Zahlenreihenentwicklung (zwei Elemente werden durch Addition jeweils zum Glied summiert).
Fibonacci-Zahlen sind u.A. für Künstler, Kunsthandwerker, Handwerker und Gestalter u.a.; aber auch für die Experimentalarchäologie und Kunsthistorik interessant: die Auseinandersetzung mit den Fibonacci-Zahlen liefert handfeste und einfach umzusetzende "Rezepturen" für die angewandte Gestaltungspraxis. Hervorzuheben ist dabei die gemeinhin bekannte sehr starke Nähe der Fibonacci-Zahlenreihen zum Prinzip des sog. Goldenen Schnitts. Damit ist eine Auseinandersetzung mit den Fibonacci-Zahlen stets dann interessant, wenn gestalterische Produkte der Vergangenheit beforscht und im Hinblick auf angewendete Gestaltungspraxis untersucht werden. Dies weil davon auszugehen ist, dass Künstler, Kunsthandwerker, Handwerker und Gestalter (u.a.) bestimmter Epochen nicht in jedem Fall zu z.B. Zirkel und Reichtscheit (bzw. Lineal) o.ä. griffen um etwa Proportionen in Anlehnung an den Goldenen Schnitt zu gestalten (sofern ableitbare gestaltete Proportionen die dem Goldenen Schnitt nahekamen, keine intuitiven, erfahrungsbasierten oder zufälligen Produkte waren; wie dies etwa beim freihändigen Zeichnen der Fall sein kann). Vielmehr ist naheliegender davon auszugehen, dass sich die gestaltenden bzw. mit gestalterischen Fragestellungen sich auseinandersetzenden Menschen der Vergangenheit für die konstruierende Erzeugung von Proportionen vielfach einfacher Näherungsformeln (als "Faustformeln") bedienten, womit die Fibonacci-Zahlen sehr interessant in dieser Hinsicht werden: um den Goldenen Schnitt (in zahlreichen Variationen) - z.B. für den Entwurf und die Herstellung etwa einer Bildfläche oder eines Möbelstücks (um nur zwei von vielen möglichen Beispielen zu nennen) - zu konstruieren und zu nutzen, genügt es, sich zweier direkt aufeinanderfolgenden Zahlen der Fibonacci-Zahlenreihe zu bedienen (Ausnahme sind hierbei die zweite und die dritte Fibonacci-Zahl mit 1 und 2. Durch die Duale Kombination zweier (spezifischer) direkt aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen (als Näherungs-Faustformel für den Goldenen Schnitt) ist eine Nähe zum Prinzip des Goldenen Schnitts -mit Ausnahmen- automatisch gegeben, z.B. für:
(gerundete Werte)
34 : 21 = 1,61904762 : 1 und 21 : 34 = 0,617647059 : 1
21 : 13 = 1,61538462 : 1 und 13 : 21 = 0,619047619 : 1
13 : 8 = 1,625 : 1 und 8 : 13 = 0,615384615 : 1
8 : 5 = 1,6 : 1 und 5 : 8 = 0,625 : 1
5 : 3 = 1,66(periode)* : 1 und 3 : 5 = 0,6 : 1
Die Proportion 5 : 3 lässt sich dabei unter Verwendung des sog. pythagoreischen Tripels 3 : 4 : 5 auf einfache Art und Weise vermessungstechnisch erzeugen. Nach heutiger gängiger Meinung weist die Chepren-Pyramide auf dem Plateau von Giseh diese Proportion auf [FIL1]. Hervorzuheben in Bezug auf dieses Thema ist auch die noch heute anhaltende Diskussion darüber, ob die alten Ägypter tasächlich die sog. 12-Knotenschnur als Vermessungswerkzeug (und damit auch als potenzielles Gestaltungswerkzeug) nutzten [siehe [FIL1]. Bei der Proportion 5 : 3 greift das (eindeutige) Prinzip Nähe zum (rechnerischen) Prinzip des Goldenen Schnitts als Approximation allerdings nicht mehr stark. Allerdings kann die Proportion 1,66(periode) : 1 und 0,6 : 1 mit der Proportion ~1,618 : 1 und 1 : ~0,618 (je nach Ausführung) durchaus verwechselt werden, bzw. als gestalterisch - je nach Anwendungsbereich und Ausführung - recht guter Ersatz für den Goldenen Schnitt bzw. als (sehr grobe) algebraische Aproxximation für den Goldenen Schnitt funktionieren: wird z.B. die Füllung für die Schwenktür eines Möbelstücks aus Eichenholz in der Proportion 5 : 3 gestaltet, ist es für den (durchschnittlichen) Betrachter wohl eher unerheblich, ob die zugrundeliegende Proportion für die Gestaltung der Füllung mit ~1,61 : 1 oder mit 1,66 : 1 konzipiert wurde. Der prozentuale Unterschied zwischen den beiden messtechnischen Annäherungen an das rechnerische Proportionsverhältnis des Goldenen Schnitts beträgt gerade einmal [1,61 : (1,66 : 100)]% = 96,98% bei rechnerischer Ansetzung des größeren Zahlenwerts für 100% und [1,66 : (1,61 : 100)]% = 103,10% bei rechnerischer Ansetzung des kleineren Zahlenwerts für 100%. Messtechnisch - und auch optisch - fallen solche Unterschiede bei kleineren gestalteten Objekten so gut wie gar nicht ins Gewicht, insbesondere wenn z.B. für die Holzverarbeitung zusätzlich beachtet werden muss, dass entsprechende Zugaben (Messtoleranzen) notwendig mit einkalkuliert werden müssen, weil Holz - je nach Sorte - mehr oder weniger stark arbeitet und z.B. auf Umgebungsluftfeuchte reagiert (siehe Schwundmaß bei Hölzern). Diese bei der Holzverarbeitung notwendig mit einzukalkulierenden Toleranzen bedingen auch gleichermaßen bestimmte handwerkliche und kunsthandwerkliche Vorgehensweisen bei der Gestaltung und Verarbeitung von Holzprodukten. Gleiches gilt dabei i.d.R. (je nach Papier- und Pappart und deren Zustand) sogar wesentlich stärker für Papier und Pappe und damit auch z.B. für die proportionstechnische Analyse historischer Kunstwerke aus Holz, Papier (und Pappe) und auf Holz, Papier und Pappe aufgebrachte historische Kunstwerke (siehe z.B. historische Kupferstiche oder Holzdrucke). Messergebnisse von wenigen Millimetern Unterschied können (und sollten) deshalb für die Analyse solcher historischer Kunstwerke und Objekte gar nicht erst ins Gewicht fallen um zu eindeutigen Schlussfolgerungen über den proportionstechnischen Aufbau eines Kunstwerks zu gelangen.
Das Proportionsverhältnis des Goldenen Schnitts ist von siener Entstehung her mit a/b = a+b/a oder a/a+b = b/a beschrieben (siehe [gWiki8]). Das rechnerische (hier gerundete) Proportionsverhältnis das auch in der Mathematik "Goldener Schnitt" genannt wird und gemeinhin mit dem Formelzeichen "Phi" bezeichnet wird und die Proportionen
~1,6180339887 : 1 bzw. ~0,6180339887 : 1 erzeugt, ist mit der Formelstellung [1 : (sqrt(5)] : 1 bzw. 1 : [1 : (sqrt(5)] anzusetzen (sqrt = international übliche textuelle Abkürzung für "Quadratwurzel", also für das spezifische Wurzelzeichen.) . Eine z.B. zeichnerisch-konstruierende Annäherung des Prinzips des Goldenen Schnitts mit seiner Affinität auch z.B. zu Naturformen lässt sich z.B. mit Zirkel und Richtscheit bzw. Lineal auf verschiedene Arten und Weisen erzeugen (siehe z.B. [gWiki8]).
[ZITAT]:
Der Goldene Schnitt (lateinisch sectio aurea „Goldener Schnitt“, proportio divina „göttliche Proportion“), gelegentlich auch stetige Teilung einer Strecke, bezeichnet ihre Zerlegung in zwei Teilstrecken in der Weise, dass sich die längere Teilstrecke zur kürzeren Teilstrecke verhält wie die Gesamtstrecke zur längeren Teilstrecke. Das Konzept ist bereits seit der Antike zur Zeit des Euklid bekannt. Der Goldene Schnitt findet häufige Anwendung in der Kunst, taucht aber auch in der Natur auf.
[ZITAT ENDE] [gWiki8]
[ZITAT]:
Der Goldene Schnitt tritt seit der Antike in vielen Bereichen der Geometrie, Architektur, Musik, Kunst sowie der Philosophie auf, aber er erscheint auch in neueren Gebieten der Technik und der Fraktale.
[ZITAT ENDE] [Walser, 1996,Vorwort]
Das mathematische Prinzip des Goldenen Schnitts messtechnisch übertrieben exakt auf z.B. einzumessende zu gestaltende Objekte zu übertragen ist technisch selten nur bis zu einem bestimmten Grad möglich und in den allermeisten Fällen auch gar nicht sinnvoll (Ausnahmen bestätigen die Regel). Die Einhaltung einer einzigen Nachkommastelle des mathematisch exakten Proportionsverhältnisses des Goldenen Schnitts in der Ausführung z.B. einer kunsthandwerklichen Holzarbeit ist - je nach Größe und Ausführung - bereits eine Herausforderung. Um so unsinniger erscheint es etwa, wenn sog. Pyramidologen und Alternativtheoretiker selbst heute noch versuchen, mit übertriebenem Eifer Exaktheiten die sich angeblich z.B. aus den Proportionen der Pyramiden von Giseh (Ägypten) und anderen historischen Bauwerken weltweit (angeblich) ablesen lassen, als Argumente für den Nachweis der (angeblichen) Anwendung des Goldenen Schnitts auf z.B. historische Bauwerke anführen, sich dabei jedoch häufig genug in Zahlenspielerein verlieren (siehe z.B. [FIL1]).
In puncto für die Proportionsforschung anzusetzenden Toleranzen gilt gleiches sogar in verstärktem Maße für größere und sehr große Objekte wie etwa Bauwerke und Monumentalbauwerke: z.B. bei Gestaltung und Herstellung eines Bauwerks wie einer Orgel kann zwar gestalterisch (konstruierend zeichnerisch) mit dem Prinzip des Goldenen Schnitts gearbeitet werden - das jedoch bereits beim zeichnerischen Entwurf nur ungefähr und niemals rechnerisch exakt umgesetzt werden kann - und auch bei der anschließenden Herstellung und dem Aufbau z.B. einer Orgel sind sehr viele zusätzliche Toleranzen und sich aufsummierende Messfehler mit zu beachten, weil z.B. für den Bau einer Orgel sehr viele verschiedene Komponenten miteinander verbaut werden (um nur eins von sehr vielen möglichen Beispielen zu nennen).
Das Prinzip des Goldenen Schnitts ist also ein z.B. zur Zeit der Renaissance (in Rückbesinnung auf die Antike) zum Ideal erhobenes proportionstechnisches Prinzip, das in der realistischen alltäglichen Anwendung jedoch rasch seine pragmatischen Grenzen findet. Gleichzeitig ist diese gestalterische Unwägbarkeit jedoch ein gewichtiges Argument für die naheliegende Verwendung von Faustformeln für die (konstruierte) Erzeugung von Proportionen durch Künstler, Kunsthandwerker, Handwerker und Gestalter (u.a.) in der Geschichte des Gestaltens.
Näherungswerte für das proportionstechnische Anlegen des Goldenen Schnitts reichen für eine angewandte Gestaltungspraxis (z.B. messtechnisch, je nach Vorhaben) völlig aus, weil sich feinere Nachkommastellen bei der Ermittlung des originalen Proportionsverhältnisses des Goldenen Schnitts in konkreter Gestaltungspraxis (z.B. bei handwerklich-gestalterischen Entwürfen) ohnehin nicht umsetzen lassen und eine solche Umsetzung auch nicht sinnvoll ist. Deshalb ist es auch naheliegend anzunehmen, dass die Proportion des Goldenen Schnitts mit der Proportion 5 : 3 (1,66p : 1 bzw. 0,6 : 1 - je nach Exaktheit der Ausführung einer Gestaltung) durchaus verwechselt werden kann.
Wie übertrieben (und damit unangebracht) dabei im Hinblick auf die potenzielle Anwendung des Prinzips des Goldenen Schnitts stellenweise interpretiert wird (bzw. in der Geschichte interpretiert wurde) zeigt etwa der Versuch, durch Einzeichnen spezieller geometrischer Muster dem Nachweis dafür liefern zu wollen, dass z.B. ein bestimmtes Kunstwerk nach dem Prinzip des Goldenen Schnitts konzipiert sei: solches Unterfangen ist stellenweise - nicht jedoch generell - fehlgeleitete Forschung: ein Beispiel hierfür ist etwa der Versuch, eine sog. Fibonacci-Spirale in das Gemälde Mona Lisa von Leonardo da Vinci hinein zu konstruieren um dies als Argument dafür zu verwenden, die Mona Lisa sei als Gemälde nach dem Goldenen Schnitt konzipiert: wohlgemerkt mag es sehr wohl möglich sein dass da Vinci die Mona Lisa tatsächlich nach dem Goldenen Schnitt konzipiert hat und sich bestimmte geometrische Indizien hierfür auch aus dem Gesamtbildaufbau des Bildwerks ableiten lassen: es existieren meiner Ansicht nach jedoch keine sinnvoll anzunehmenden Gründe dafür, dass da Vinci die Mona Lisa nach dem Prinzip der Fibonacci-Spirale entworfen, gestaltet und gemalt haben soll [siehe gWiki7], die damit belegt werden könnten, dass eine Fibonacci-Spirale in das Kunstwerk hineinkonstruierbar ist: nach dem Prinzip des Ockham´schen Rasiermessers sprechen zahlreiche Argumente dagegen, dass eine solche Art der Bildwerksinterpretation überhaupt ausreichend exakt genug und damit entsprechend wahrscheinlich im Ergebnis ist.
Albrecht Dürer und seine mögliche Bezugnahme auf Fibonacci-Zahlen
Eine Bezugnahme auf die gestalterische Verwendung von Fibonacci-Zahlen finden wir möglicherweise; dies muss als Vermutung formuliert werden) bei Albrecht Dürer (d.J., 1471 - 1528). In Albrecht Dürers Kupferstich ("Meisterstich") Melencholia I besteht (möglicherweise) eine Bezugnahme Dürers auf die Fibonacci-Zahlen, wenn wir die Proportionen des Dürer-Werks insgesamt und im Speziellen, die im Bildwerk enthaltenen Informationen betrachten: hier damit gemeint sind das in Dürers Bildwerk Melencholia I enthaltene sog. "magische Quadrat" und die Gesamtabmessungen des Bildwerks.
Dürers Bildwerk Melencholia I weist (bezugnehmend auf Quelle [gWiki3]) eine Gesamtabmessung von 24,2 cm × 19,1 cm auf (Abmessungen können von Werk zu Werk tendenziell variieren, z.B. aufgrund von verwendeten Papieren für Drucke, sowie von klimatischen Bedingungen (Luftfeuchte), Erhaltungszustand u.a. ggf. stärker variieren (auch geht aus fden Angaben bei Wikipedia zur Abbildung von Dürers Meelncholia I nicht hervor, ob sich die Angabe der Abmessungen auf das Blatt Papier selbst bezieht auf den das Werk gedruckt ist, auf den das Bilkdwerk umgebenden - gestochenen - feinlinigen Rahmen der das Bildwerk einrahmt. Auch sind bei der Analyse von digitalisierten Abbildungen generell das Erfassungsprinzip (Scan oder Abfototgrafie?) sowie eventuelle Formatierungsfehler bei der Digitalisierung zu berücksichtigen. Scannen und Abfotografieren eines historischen Bildwerks können - je nach Größe des Bildwerks, je nach Abstand der Ablichtung, je nach Verzerrungen durch verwendete Objektive und Sensoren etc. sowie durch Bildbearbeitungen und Umformatierungen entstehen (und sich möglicherweise stellenweise unmerkliche einschleichen bzw. aufsummieren). Ein weiterer Faktor für sich potenziell einschleichende Verzerrungen bei der Reporoduktion eines historischen Bildwerks ist die für eine Vervielfältigung verwendete Belichtungstechnik (bei Papierabzügen) und
generell die verwendete Drucktechnik - etwa bei tintenstrahlgedruckten, thermogedruckten oder offsetgedruckten Reproduktionen. Deshalb sollten für die Analyse von historischen Bildwerken (sofern das Nachmessen am Original nicht möglich, bzw. nicht erlaubt ist) nach Möglichkeit stets Vervielfältigungen verwendet werden, bei denen mit der Ablichtung ein Messlineal o.ä. als Referenz erfasst wurde.
Die reinen Hauptabmessungen eines historischen Bildwerks - insbesondere in Reproduktionen, Ablichtungen und generell Vervielfältigungen können potenziell zu Verwechslungsgefahren für die Ermittlung der von Erzeugern ursprünglich verwendeten Proportionen führen.
Somit geben Reproduktionen eines historischen Bildwerks proportionstechnisch und Abmessungstechnisch häufig genug zu geringfügige Auskünfte, um zu möglichst eindeutigen Schlussfolgerungen zu gelangen. Ein Hinzuziehen weiterer Indizien (neben den genannten messtechnischen (z.B. Lineal mit ablichten oder selber nachmessen) in der für etwaige Schlussfolgerungen im Hinblick auf die Beforschung von Proportionen z.B. eines historischen Bildwerks ist deshalb nicht nur sinnvoll, sondern sogar notwendig: solche Indizien können etwa der generelle Bildwerksaufbau (Bildwerksflächenaufteilung, Orientierung von im Bildwerk dargestellten Objekten und Gegenständen - z.B. dargestellte Personen- sowie weitere in einem Bildwerke enthaltene Informationen sein (z.B. symbolhafte Anspielungen oder etwa das Darstellen von Gerätschaften wie Reißschiene und Reißzirkel (wie in Dürers Werk Melencholia I gegeben).
(mehr und spezielleres zu diesem Thema bei nächster Gelegenheit auch an anderer Stelle in diesem Forum, es ist hierfür erforderlich, noch einige Quellen zu sichten um zu eruieren, inwieweit es sich bei von mir in diesem Thema getätigten Annahmen um bisher noch unbekanntes Wissen handeln könnte).
Dürers Magisches Quadrat in Melencholia I
Das besondere an Dürers im Bildwerk Melencholia I enthaltenen magischem Quadrat ist, dass die Summen der im Quadrat befindlichen Zahlen (die von Dürer auf spezielle Art und Weise zueinander arrangiert wurden und damit die logische Zahlenfolge durchbrechen), jeweils die Zahl 34 ergeben. Die Summierung der Zahlen erfolgt dabei in sämtliche möglichen Richtungen, also horizontal, vertikal und diagonal u.a. [gWiki1]. Dabei ist hervorzuheben, dass es sich bei der Zahl 34 um eine Fibonacci-Zahl handelt, die wiederum Bezug auf aus dem magischen Quadrat Dürers ableitbare Zahlenzusammenhänge (als Summen) ermöglicht, die in Kombination mit der vordergründig auftretenden "Hauptzahl" (mit dem Zahlenwert 34 also) dual kombiniert die Herstellung eines Proportionalen Seitenverhältnisses mit starker Nähe zum Prinzip des Goldenen Schnitts ermöglichen (mehr dazu bei nächster Gelegenheit). So ist z.B. im Hinblick auf Dürer´s in Melencholia I enthaltenem magischen Quadrat festzustellen, dass die verdoppelte Kombination der direkt aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen 3 und 5 in der Summe 16 ergibt, also die Quadratzahl, die sich aus 4² ergibt und der Anzahl der Kästchen des magischen Quadrats im Bildwerk entspricht weil = 3 + 3 + 5 + 5 = 16 (um nur ein mögliches interpretatorisches Beispiel zu nennen, das jedoch auch reine Zahlenspielerei sein kann, die Dürer ursprünglich nicht beabsichtigte. Dieser interpretatorische Zusammenhang zeigt jedoch auf, wieviel verschiedenes sich komplex in Dürers Bildwerk hineininterpretieren lässt, weshalb diese Aspekte entsprechend dezidierter Überprüfung und Beurteilung bedürfen ).
Die Hauptproportionen von Dürers Bildwerk Melencholia I
Wie genau die (spekulierte) Bezugnahme Dürers auf das Prinzip des Goldenen Schnitts mit seinem Bildwerk Melencholia I gemeint ist, wird baldmöglich von mir erörtert. Soviel sei nur vorweggesagt: Die Hauptproportion des Bildwerks (also der quasi gestochene "Rahmen" der den Kupferstich umgibt, entspricht in seinen Abmessungen nicht dem Proportionsverhältnis des Goldenen Schnitts von ~1,618 : ~1, sondern eher der Quadratwurzel aus ~1,6 : ~1 = ~1,27 : ~1. Dürers Werk nimmt damit also (so ist es seitens des Verfassers gemeint) "auf den ersten Blick" - sofern überhaupt ursprünglich gewollt - einen indirekten Bezug auf Goldenen Schnitt.
Wesentlich wahrscheinlicher ist nach meiner Einschätzung jedoch davon auszugehen, dass Dürer sein Bildwerk Melencholia I in einem Proportionsverhältnis von 1,33(periode) : 1 geplant hat (was einer Anwendung des pythagoreischen Tripels 3:4:5 entsprechen würde; mehr dazu baldmöglich): diese Bildwerksplanung Dürers ist als sehr wahrscheinlich anzunehmen, weil sich eine sinnvolle Grundeinteilung des Bildwerks Melencholia I (auf die ich ebenfalls bei nächster Gelegenheit eingehen werde) mit einer solchen Bildwerksplanung korrespondiert.
Interessant an den Proportion von Dürers Bildwerk und hervorzuheben ist dabei, dass der Kupferstich Melencholia I damit Proportionen aufweist, die (ggf. nur ungefähr) denen der Chepren-Pyramide auf dem Plateau von Giseh entsprechen. Eine solche Proportion lässt sich gestalterisch alternativ sehr einfach erzeugen, z.B. indem eine Messschnur von 12 gleichlangen Einheiten Länge (als Teilstrecken) im Verhältnis 3:4:5 = 12 Einheiten aufgespannt wird - um nur eins von sicherlich vielen möglichen Beispielen zu nennen. Eine ungefähr ähnliche Proportion wie sie aus den Bauwerksabmessungen der Chepren-Pyramide ableiten lässt, lässt sich jedoch ebenfalls aus den (ungefähren) Bauwerksabmessungen der Cheops-Pyramide ableiten: die - je nach Interpretationsansatz als ggf. ungefähr zu bezeichnenden - Proportionen der Cheops-Pyramide lassen sich auf einfache Art und Weise erzeugen, indem z.B. eine Messschnur von 25 Grundeinheiten (als Teilstrecken) Länge bei 11 : 14 Einheiten abgewinkelt und z.B. als Schnurzirkel verwendet wird. Die Proportionen beider Pyramiden -sowohl die der Chepren- als auch die der als älter einzustufenden Cheops-Pyramide weisen damit Proportionen auf, die eine starke Nähe zueinander aufweisen und eine eindeutige Zuordnung anhand der aktuellen Quellenlage schwierig bis hin zu unmöglich machen (siehe [FIL1]).
Die potenzielle Nähe von Dürers Bildwerk Melencholia I zu den (potenziellen) Proportionen altägyptischer Pyramiden bedeutet jedoch keineswegs, dass Dürers Bildwerk und die Proportionen der Pyramiden von Giseh in irgendeinem mysteriösen (gewollten) Zusammenhang stehen: vielmehr könnte aus dieser interessanten (potenziell evtl. möglichen) Übereinstimmung lediglich sprechen, dass Gestalter der vergangenen Epochen sich eben stets bewährter Proportionen bedient haben um zu gestalten [qed]. Die Proportionen 4 : 3 (potenziell Chepren-Pyramide) sowie 14 : 11 (potenziell Cheops-Pyramide) lassen sich im Zahlenraum der natürlichen Zahlen relativ leicht entdecken und gehören mit zu den häufigsten, überhaupt aus dem Zahlenraum der natürlichen Zahlen ableitbaren - und deshalb auch von Gestaltern der Vergangenheit - naheliegend genutzten Proportionen (siehe [FIL1]).
Um aufzuzeigen, wie wichtig es deshalb ist, in der Proportionsforschung exakt zu differenzieren, zeigt die Tatsache auf, dass sich die Proportion von Dürers Bildwerk (ggf. ungefähr) ebenfalls mit den Proportionen der Mykerinos-Pyramide auf dem Plateau von Giseh in Verbindung bringen lassen (zwischen geometrischen Formen lassen sich häufig annähernde Übereinstimmungen feststellen. Solche - häufig nur scheinbaren Übereinstimmungen - sagen jedoch nicht zwangsläufig und automatisch grundlegendes über tatsächlich angewendete Gestaltungspraktiken zur Erzeugung von Proportionen und ursprünglich für die Gestaltung gewählte tatsächliche Proportionen aus; siehe zum Vergleich z.B. Varianten nebeneinandergestellter Rechteckflächen mit Nähe zum mathematischen Proportionsverhältnis des Goldenen Schnitts; Anhang 3).
Zum äußerst komplexen Gesamtkontext der Erforschung der Proportionen altägyptischer Pyramiden siehe hier [FIL1]: http://www.archaeoforum.de/viewtopic.ph ... 019#p60019
Meiner Ansicht nach ist - mit sehr großer Wanrhscheinlichkeit - davon auszugehen, dass Albrecht Dürer (d.J.) seinen Kupferstich Melencholia I nach der Proportion 4 : 3 (Höhe zu Breite) bei einer vermutlichen (ggf. gröbsten) Grundrastereinteilung von 8 : 6 (Höhe zu Breite) gestaltete: es sprechen sehr viele Indizien dafür. Diese Vermutung bezieht sich auf den gestochenen dünnlinigen Rahmen, der das Bildwerk als rechteckige Bildwerksfläche einfasst, aber auch im Bildwerk enthaltene Aufteilungen (mehr dazu später).
Sofern diese Einschätzung als stimmig angenommen werden kann [qed], wäre Dürers Bildwerk Melencholia I damit nach einer uralten und vermutlich bereits von z.B. den alten Ägyptern genutzten Proportion gestaltet, die alltagspragmatische Anwendung auch heute noch findet, weil sie auf dem Prinzip des pythagoreischen Tripels 3:4:5 beruht. Nach der Proportion 3:4:5 wird bereits seit vielen Jahrhunderten und ggf. Jahrtausenden gestaltet und vermessen. Besonders naheliegend erscheint diese Proportion für Dürers Proportionierung von Melencholia I weil sich diese Proportion - nach meiner Einschätzung - Verfassers - mit sehr großer Wahrscheinlichkeit auch für Dürers Bildwerk "Der Zeichner der Laute (1525)" nachweisen lässt. Nach dem Prinzip der Anwendung des Ockham´schen Rasiermessers ist die Proportion 3:4:5 eine (nach dem Auschlussprinzip für andere Proportionen) für die historische Bildwerksnalayse stark zu präferierende Proportion, siehe zum Vergleich hier:
http://www.archaeoforum.de/viewtopic.php?f=22&t=6828
[FIL2]
Das kaskadische Summenverhalten der Fibonacci-Zahlen im Zahlenraum der natürlichen Zahlen
Zu einer der leicht zu entdeckenden Eigenschaften der Fibonacci-Zahlen gehören die in den folgenden Ausführungen beschriebenen (siehe auch das Thema "Folgeglieder" in [gWiki8, 2.2] (mit ganz besonderem Dank an N.N. für Hilfestellung und Informationen zum Thema und zur Quellenlage).
Die kaskadische Bildung von Fibonnaci-Zahlen >3 als spezifische Summe jeweils zweier spezifischer aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen als Summanden.
Zu den erwähnenswerten Eigenschaften der Fibonacci-Zahlen gehört der folgende arithmetische Zusammenhang: eine beliebig große Fibonacci-Zahl lässt sich jeweils aus Gliedern der Summen zweier spezifisch kleinerer direkt aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen bilden, wobei die Anzahl der spezifischen Glieder stets aus den Zahlenwerten zweier direkt aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen besteht. Die Gesamtanzahl der zu summierenden Glieder muss dabei mindestens drei Glieder betragen.
Beispiele:
bei F(nc) = F(4), F(5), F(6):
Typ a + 2b = 1+2+2 = 5
Typ 2a + 3b = 1+1+2+2+2 = 8
Typ 3a + 5b = 1+1+1+2+2+2+2+2 = 13
Typ 5a + 8b = 1+1+1+1+1+2+2+2+2+2+2+2+2 = 21
usw. usf.
Typ a + 2b = 2+3+3 = 8
Typ 2a + 3b = 2+2+3+3+3 = 13
Typ 3a + 5b =2+2+2+3+3+3+3+3 = 21
Typ 5a + 8b = 2+2+2+2+2+3+3+3+3+3+3+3+3 = 34
usw. usf.
Typ a + 2b = 3+5+5 = 13
Typ 2a + 3b = 3+3+5+5+5 = 21
Typ 3a + 5b =3+3+3+5+5+5+5+5 = 34
Typ 5a + 8b = 3+3+3+3+3+5+5+5+5+5+5+5+5 = 55
usw. usf.
Die Fibonacci-Zahlen als Flächengesetzmäßigkeit
In einer flächenmäßigen Kombination zweier jeweils direkt aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen zum Quadrat (resp. zu quadratischen Fläche) wird die Flächengesetzmäßigkeit der Fibonacci-Zahlen deutlich: jede flächentechnische Kombination zweier direkt aufeinanderfolgender sog. Fibonacci-Quadrate erzeugt zur jeweils nächstgrößeren möglichen Quadratzahl (resp. Quadratfigur) hin, die beide direkt aufeinanderfolgenden Quadratzahlen (resp. Quadratfiguren) einbeschreibt, einen produktmäßigen (und flächentechnisch) betrachteten "Überschuss" (als "Restprodukt") in Größe jeweils zweier spezifisch direkt aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen. Sehr gut deutlich und einfach darstellbar wird dieser Zusammenhang in der Grafik (siehe Anhang 2). Für dies mit der Systematik
der Fibonacci-Spirale quasi beschriebene Entwicklungsprinzip wird hier im Beitrag aus Gründen des hierfür erforderlichen Umfangs kein explizit mathematischer Beweis zitiert. Das relevante Entstehungsprinzip der Fibonacci-Spirale lässt sich in den genannten Quellen gut nachlesen). Für die Reihenentwicklung der hier sog. "Zwei-Quadrate-Konstellation von Fibonacci-Zahlen" kann also geschrieben werden:
{F(n)² + F(n+1)² + ab(n) ∈ ℕ ׀ ab(n) < F(n)^2; ab(n) < F(n+1)^2; ab(n) = F(n+1)² - F(n)²}
dabei gilt dass die Zwei-Quadrate-Konstellation von Quadraten mit der Seitenlänge zweier direkt aufeinanderfolgender Fibonnaci-Quadrate jeweils die Berechnungsmöglickeit für {a,b} enthält mit:
{(a,b) ∈ ℕ ׀ (a,b) : F(n+1)² = a; (a,b) : F(n)² = b}
Aus dem vorbeschriebenen folgt die Entwicklung der spezifischen Zahlenreihen:
bei: [Spalte I] / [Spalte II] / [Spalte III] / [Spalte IV] // [Spalte V]
[a] / / [F(n)²] / [F(n+1)²] // [Zeile] / [Zuordnung, siehe Anhang 2]
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
[1] / [1] / [ 1²] / [2²] // [Zeile I] / [A]
[1] / [2] / [2²] / [3²] // [Zeile I] /
[2] / [3] / [3²] / [5²] // [Zeile I] / [C]
[3] / [5] / [5²] / [8²] // [Zeile I] / [D]
[5] / [8] / [8²] / [13²] // [Zeile I] / [E]
usw. usf.
oder auch:
[1] / [1] / [ 1] / [4] // [Zeile I] / [A]
[1] / [2] / [4] / [9] // [Zeile I] /
[2] / [3] / [9] / [25] // [Zeile I] / [C]
[3] / [5] / [25] / [64] // [Zeile I] / [D]
[5] / [8] / [64] / [169] // [Zeile I] / [E]
usw. usf.
- - -
Bibliographie:
- - -
(Hinweis: Wikipedia-Quellen werden nicht alphabetisch, sondern chronologisch - nach Zeitpunkt des Zugriffs sortiert - aufgelistet. Gleiches gilt für foreninterne Links als hier gelistete Quellen.)
[Bücher]:
Reiss, K.: Mathematik für das Lehramt – Basiswissen Zahlentheorie. 2. Aufl. Verlag Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2005. (45,46)
Walser, H.: Einblicke in die Wissenschaft : Mathematik: Der Goldene Schnitt. 2. erw. Aufl., vdf Hochschulverlag an der ETH, Stuttgart; Leipzig, 1996
[deutsschprachige Wikipedia]:
[gWiki1]:
Bibliografische Angaben für „Fibonacci-Folge“
Seitentitel: Fibonacci-Folge
Herausgeber: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie.
Autor(en): Wikipedia-Autoren, siehe Versionsgeschichte
Datum der letzten Bearbeitung: 4. Januar 2024, 12:44 UTC
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Permanentlink: https://de.wikipedia.org/w/index.php?ti ... =240832508
Datum des Abrufs: 5. Januar 2024, 11:45 UTC
[gWiki2]:
Bibliografische Angaben für „Albrecht Dürer“
Seitentitel: Albrecht Dürer
Herausgeber: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie.
Autor(en): Wikipedia-Autoren, siehe Versionsgeschichte
Datum der letzten Bearbeitung: 24. Dezember 2023, 11:26 UTC
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Bibliografische Angaben für „Melencolia I“
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Bibliografische Angaben für „Cheops-Pyramide“
Seitentitel: Cheops-Pyramide
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[gWiki5]
Bibliografische Angaben für „Mykerinos-Pyramide“
Seitentitel: Mykerinos-Pyramide
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[gWiki6]
Bibliografische Angaben für „Chephren-Pyramide“
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Bibliografische Angaben für „Mona Lisa“
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[gWiki8]:
Bibliografische Angaben für „Goldener Schnitt“
Seitentitel: Goldener Schnitt
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Foreninterne Quellen:
FIL = Foreninterner Link
[FIL1]:
http://www.archaeoforum.de/viewtopic.ph ... 019#p60019
Titel des Beitrags: "Die Proportionen altägyptischer Pyramiden"
Datum und Zeitpunkt des Zugriffs: 05.01.2024, 18:49 MEZ
Verfasser: User "Sculpteur"
[FIL2]:
http://www.archaeoforum.de/viewtopic.php?f=22&t=6828
Titel des Beitrags: "Bildwerksanalyse historischer Kunstwerke"
Datum und Zeitpunkt des Zugriffs: 06.01.2024, 11:18 MEZ
Verfasser: User "Sculpteur"
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Die historische Erforschung der Zahlen / Besondere Zahlen (1): Die Fibonacci-Zahlen
Mit den Eigenschaften von Zahlen setzt sich der Mensch seit der frühen Entwicklung der Mathematik und der Erfindung des Zählens auseinander. Schon die alten Mesopotamier und alten Ägyptern verfügten über ein umfangreiches mathematisches Wissen [FIL1].
Bereits die alten Griechen verfügten über ausführlicherere Erkenntnisse über Zahlen und deren Eigenschaften und setzen diese Erkenntnisse in universelle logische Schlussfolgerungen um. Damit etablierten u.A. die alten Griechen eine umfassendere Logik, die bis heute hilft, sich z.B. mathematischen Fragestellungen anzunähern [FIL1].
Ein Forschender, der die Möglichkeiten der logischen Analyse mit einer dezidierten Naturbeobachtung verband, war der italienische Mathematiker Leonardo Fibonacci (Leonardo von Pisa, vermutlich 1180-1250) [Reiss, 2005,45-46].
[ZITAT]:
Benannt ist die Folge nach Leonardo Fibonacci, der damit im Jahr 1202 das Wachstum einer Kaninchenpopulation beschrieb. Die Folge war aber schon in der Antike sowohl den Griechen als auch den Indern bekannt.
Weitere Untersuchungen zeigten, dass die Fibonacci-Folge auch noch zahlreiche andere Wachstumsvorgänge in der Natur beschreibt. Es scheint, als sei sie eine Art Wachstumsmuster in der Natur.
[ZITAT ENDE] [gWiki1]
Mit den sog. Fibonacci-Zahlen ist heute üblicherweise eine besondere Zahlenreihe (ℕ = natürliche Zahlen) benannt, die entsteht, wenn folgende Rechenoperation stetig wiederholt wird: Ausgangsbasis der verketteten Rechenoperation ist die erste Summierung der beiden Grundglieder mit dem gleichen Zahlenwert 1 und 1. Dabei lautet die Folge-Rechenregel, jeweils das nächste sich ergebende Glied als Zahlenwert mit dem vorherigen wieder zu einer neuen (nachfolgenden) Summe zu summieren. So entsteht schließlich die Reihe der Fibonacci-Zahlen:
1 + 1 = 2
1 + 2 = 3
2 + 3 = 5
3 + 5 = 8
5 + 8 = 13
8 + 13 = 21
usw. usf.
Die Fibonacci-Folge in ℕ lautet demnach:
F(1 ... ∞) ∈ ℕ = {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 ...}
Bei den Fibonacci-Zahlen handelt es sich also um eine in rekursiver Hinsicht "duale" Zahlenreihenentwicklung (zwei Elemente werden durch Addition jeweils zum Glied summiert).
Fibonacci-Zahlen sind u.A. für Künstler, Kunsthandwerker, Handwerker und Gestalter u.a.; aber auch für die Experimentalarchäologie und Kunsthistorik interessant: die Auseinandersetzung mit den Fibonacci-Zahlen liefert handfeste und einfach umzusetzende "Rezepturen" für die angewandte Gestaltungspraxis. Hervorzuheben ist dabei die gemeinhin bekannte sehr starke Nähe der Fibonacci-Zahlenreihen zum Prinzip des sog. Goldenen Schnitts. Damit ist eine Auseinandersetzung mit den Fibonacci-Zahlen stets dann interessant, wenn gestalterische Produkte der Vergangenheit beforscht und im Hinblick auf angewendete Gestaltungspraxis untersucht werden. Dies weil davon auszugehen ist, dass Künstler, Kunsthandwerker, Handwerker und Gestalter (u.a.) bestimmter Epochen nicht in jedem Fall zu z.B. Zirkel und Reichtscheit (bzw. Lineal) o.ä. griffen um etwa Proportionen in Anlehnung an den Goldenen Schnitt zu gestalten (sofern ableitbare gestaltete Proportionen die dem Goldenen Schnitt nahekamen, keine intuitiven, erfahrungsbasierten oder zufälligen Produkte waren; wie dies etwa beim freihändigen Zeichnen der Fall sein kann). Vielmehr ist naheliegender davon auszugehen, dass sich die gestaltenden bzw. mit gestalterischen Fragestellungen sich auseinandersetzenden Menschen der Vergangenheit für die konstruierende Erzeugung von Proportionen vielfach einfacher Näherungsformeln (als "Faustformeln") bedienten, womit die Fibonacci-Zahlen sehr interessant in dieser Hinsicht werden: um den Goldenen Schnitt (in zahlreichen Variationen) - z.B. für den Entwurf und die Herstellung etwa einer Bildfläche oder eines Möbelstücks (um nur zwei von vielen möglichen Beispielen zu nennen) - zu konstruieren und zu nutzen, genügt es, sich zweier direkt aufeinanderfolgenden Zahlen der Fibonacci-Zahlenreihe zu bedienen (Ausnahme sind hierbei die zweite und die dritte Fibonacci-Zahl mit 1 und 2. Durch die Duale Kombination zweier (spezifischer) direkt aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen (als Näherungs-Faustformel für den Goldenen Schnitt) ist eine Nähe zum Prinzip des Goldenen Schnitts -mit Ausnahmen- automatisch gegeben, z.B. für:
(gerundete Werte)
34 : 21 = 1,61904762 : 1 und 21 : 34 = 0,617647059 : 1
21 : 13 = 1,61538462 : 1 und 13 : 21 = 0,619047619 : 1
13 : 8 = 1,625 : 1 und 8 : 13 = 0,615384615 : 1
8 : 5 = 1,6 : 1 und 5 : 8 = 0,625 : 1
5 : 3 = 1,66(periode)* : 1 und 3 : 5 = 0,6 : 1
Die Proportion 5 : 3 lässt sich dabei unter Verwendung des sog. pythagoreischen Tripels 3 : 4 : 5 auf einfache Art und Weise vermessungstechnisch erzeugen. Nach heutiger gängiger Meinung weist die Chepren-Pyramide auf dem Plateau von Giseh diese Proportion auf [FIL1]. Hervorzuheben in Bezug auf dieses Thema ist auch die noch heute anhaltende Diskussion darüber, ob die alten Ägypter tasächlich die sog. 12-Knotenschnur als Vermessungswerkzeug (und damit auch als potenzielles Gestaltungswerkzeug) nutzten [siehe [FIL1]. Bei der Proportion 5 : 3 greift das (eindeutige) Prinzip Nähe zum (rechnerischen) Prinzip des Goldenen Schnitts als Approximation allerdings nicht mehr stark. Allerdings kann die Proportion 1,66(periode) : 1 und 0,6 : 1 mit der Proportion ~1,618 : 1 und 1 : ~0,618 (je nach Ausführung) durchaus verwechselt werden, bzw. als gestalterisch - je nach Anwendungsbereich und Ausführung - recht guter Ersatz für den Goldenen Schnitt bzw. als (sehr grobe) algebraische Aproxximation für den Goldenen Schnitt funktionieren: wird z.B. die Füllung für die Schwenktür eines Möbelstücks aus Eichenholz in der Proportion 5 : 3 gestaltet, ist es für den (durchschnittlichen) Betrachter wohl eher unerheblich, ob die zugrundeliegende Proportion für die Gestaltung der Füllung mit ~1,61 : 1 oder mit 1,66 : 1 konzipiert wurde. Der prozentuale Unterschied zwischen den beiden messtechnischen Annäherungen an das rechnerische Proportionsverhältnis des Goldenen Schnitts beträgt gerade einmal [1,61 : (1,66 : 100)]% = 96,98% bei rechnerischer Ansetzung des größeren Zahlenwerts für 100% und [1,66 : (1,61 : 100)]% = 103,10% bei rechnerischer Ansetzung des kleineren Zahlenwerts für 100%. Messtechnisch - und auch optisch - fallen solche Unterschiede bei kleineren gestalteten Objekten so gut wie gar nicht ins Gewicht, insbesondere wenn z.B. für die Holzverarbeitung zusätzlich beachtet werden muss, dass entsprechende Zugaben (Messtoleranzen) notwendig mit einkalkuliert werden müssen, weil Holz - je nach Sorte - mehr oder weniger stark arbeitet und z.B. auf Umgebungsluftfeuchte reagiert (siehe Schwundmaß bei Hölzern). Diese bei der Holzverarbeitung notwendig mit einzukalkulierenden Toleranzen bedingen auch gleichermaßen bestimmte handwerkliche und kunsthandwerkliche Vorgehensweisen bei der Gestaltung und Verarbeitung von Holzprodukten. Gleiches gilt dabei i.d.R. (je nach Papier- und Pappart und deren Zustand) sogar wesentlich stärker für Papier und Pappe und damit auch z.B. für die proportionstechnische Analyse historischer Kunstwerke aus Holz, Papier (und Pappe) und auf Holz, Papier und Pappe aufgebrachte historische Kunstwerke (siehe z.B. historische Kupferstiche oder Holzdrucke). Messergebnisse von wenigen Millimetern Unterschied können (und sollten) deshalb für die Analyse solcher historischer Kunstwerke und Objekte gar nicht erst ins Gewicht fallen um zu eindeutigen Schlussfolgerungen über den proportionstechnischen Aufbau eines Kunstwerks zu gelangen.
Das Proportionsverhältnis des Goldenen Schnitts ist von siener Entstehung her mit a/b = a+b/a oder a/a+b = b/a beschrieben (siehe [gWiki8]). Das rechnerische (hier gerundete) Proportionsverhältnis das auch in der Mathematik "Goldener Schnitt" genannt wird und gemeinhin mit dem Formelzeichen "Phi" bezeichnet wird und die Proportionen
~1,6180339887 : 1 bzw. ~0,6180339887 : 1 erzeugt, ist mit der Formelstellung [1 : (sqrt(5)] : 1 bzw. 1 : [1 : (sqrt(5)] anzusetzen (sqrt = international übliche textuelle Abkürzung für "Quadratwurzel", also für das spezifische Wurzelzeichen.) . Eine z.B. zeichnerisch-konstruierende Annäherung des Prinzips des Goldenen Schnitts mit seiner Affinität auch z.B. zu Naturformen lässt sich z.B. mit Zirkel und Richtscheit bzw. Lineal auf verschiedene Arten und Weisen erzeugen (siehe z.B. [gWiki8]).
[ZITAT]:
Der Goldene Schnitt (lateinisch sectio aurea „Goldener Schnitt“, proportio divina „göttliche Proportion“), gelegentlich auch stetige Teilung einer Strecke, bezeichnet ihre Zerlegung in zwei Teilstrecken in der Weise, dass sich die längere Teilstrecke zur kürzeren Teilstrecke verhält wie die Gesamtstrecke zur längeren Teilstrecke. Das Konzept ist bereits seit der Antike zur Zeit des Euklid bekannt. Der Goldene Schnitt findet häufige Anwendung in der Kunst, taucht aber auch in der Natur auf.
[ZITAT ENDE] [gWiki8]
[ZITAT]:
Der Goldene Schnitt tritt seit der Antike in vielen Bereichen der Geometrie, Architektur, Musik, Kunst sowie der Philosophie auf, aber er erscheint auch in neueren Gebieten der Technik und der Fraktale.
[ZITAT ENDE] [Walser, 1996,Vorwort]
Das mathematische Prinzip des Goldenen Schnitts messtechnisch übertrieben exakt auf z.B. einzumessende zu gestaltende Objekte zu übertragen ist technisch selten nur bis zu einem bestimmten Grad möglich und in den allermeisten Fällen auch gar nicht sinnvoll (Ausnahmen bestätigen die Regel). Die Einhaltung einer einzigen Nachkommastelle des mathematisch exakten Proportionsverhältnisses des Goldenen Schnitts in der Ausführung z.B. einer kunsthandwerklichen Holzarbeit ist - je nach Größe und Ausführung - bereits eine Herausforderung. Um so unsinniger erscheint es etwa, wenn sog. Pyramidologen und Alternativtheoretiker selbst heute noch versuchen, mit übertriebenem Eifer Exaktheiten die sich angeblich z.B. aus den Proportionen der Pyramiden von Giseh (Ägypten) und anderen historischen Bauwerken weltweit (angeblich) ablesen lassen, als Argumente für den Nachweis der (angeblichen) Anwendung des Goldenen Schnitts auf z.B. historische Bauwerke anführen, sich dabei jedoch häufig genug in Zahlenspielerein verlieren (siehe z.B. [FIL1]).
In puncto für die Proportionsforschung anzusetzenden Toleranzen gilt gleiches sogar in verstärktem Maße für größere und sehr große Objekte wie etwa Bauwerke und Monumentalbauwerke: z.B. bei Gestaltung und Herstellung eines Bauwerks wie einer Orgel kann zwar gestalterisch (konstruierend zeichnerisch) mit dem Prinzip des Goldenen Schnitts gearbeitet werden - das jedoch bereits beim zeichnerischen Entwurf nur ungefähr und niemals rechnerisch exakt umgesetzt werden kann - und auch bei der anschließenden Herstellung und dem Aufbau z.B. einer Orgel sind sehr viele zusätzliche Toleranzen und sich aufsummierende Messfehler mit zu beachten, weil z.B. für den Bau einer Orgel sehr viele verschiedene Komponenten miteinander verbaut werden (um nur eins von sehr vielen möglichen Beispielen zu nennen).
Das Prinzip des Goldenen Schnitts ist also ein z.B. zur Zeit der Renaissance (in Rückbesinnung auf die Antike) zum Ideal erhobenes proportionstechnisches Prinzip, das in der realistischen alltäglichen Anwendung jedoch rasch seine pragmatischen Grenzen findet. Gleichzeitig ist diese gestalterische Unwägbarkeit jedoch ein gewichtiges Argument für die naheliegende Verwendung von Faustformeln für die (konstruierte) Erzeugung von Proportionen durch Künstler, Kunsthandwerker, Handwerker und Gestalter (u.a.) in der Geschichte des Gestaltens.
Näherungswerte für das proportionstechnische Anlegen des Goldenen Schnitts reichen für eine angewandte Gestaltungspraxis (z.B. messtechnisch, je nach Vorhaben) völlig aus, weil sich feinere Nachkommastellen bei der Ermittlung des originalen Proportionsverhältnisses des Goldenen Schnitts in konkreter Gestaltungspraxis (z.B. bei handwerklich-gestalterischen Entwürfen) ohnehin nicht umsetzen lassen und eine solche Umsetzung auch nicht sinnvoll ist. Deshalb ist es auch naheliegend anzunehmen, dass die Proportion des Goldenen Schnitts mit der Proportion 5 : 3 (1,66p : 1 bzw. 0,6 : 1 - je nach Exaktheit der Ausführung einer Gestaltung) durchaus verwechselt werden kann.
Wie übertrieben (und damit unangebracht) dabei im Hinblick auf die potenzielle Anwendung des Prinzips des Goldenen Schnitts stellenweise interpretiert wird (bzw. in der Geschichte interpretiert wurde) zeigt etwa der Versuch, durch Einzeichnen spezieller geometrischer Muster dem Nachweis dafür liefern zu wollen, dass z.B. ein bestimmtes Kunstwerk nach dem Prinzip des Goldenen Schnitts konzipiert sei: solches Unterfangen ist stellenweise - nicht jedoch generell - fehlgeleitete Forschung: ein Beispiel hierfür ist etwa der Versuch, eine sog. Fibonacci-Spirale in das Gemälde Mona Lisa von Leonardo da Vinci hinein zu konstruieren um dies als Argument dafür zu verwenden, die Mona Lisa sei als Gemälde nach dem Goldenen Schnitt konzipiert: wohlgemerkt mag es sehr wohl möglich sein dass da Vinci die Mona Lisa tatsächlich nach dem Goldenen Schnitt konzipiert hat und sich bestimmte geometrische Indizien hierfür auch aus dem Gesamtbildaufbau des Bildwerks ableiten lassen: es existieren meiner Ansicht nach jedoch keine sinnvoll anzunehmenden Gründe dafür, dass da Vinci die Mona Lisa nach dem Prinzip der Fibonacci-Spirale entworfen, gestaltet und gemalt haben soll [siehe gWiki7], die damit belegt werden könnten, dass eine Fibonacci-Spirale in das Kunstwerk hineinkonstruierbar ist: nach dem Prinzip des Ockham´schen Rasiermessers sprechen zahlreiche Argumente dagegen, dass eine solche Art der Bildwerksinterpretation überhaupt ausreichend exakt genug und damit entsprechend wahrscheinlich im Ergebnis ist.
Albrecht Dürer und seine mögliche Bezugnahme auf Fibonacci-Zahlen
Eine Bezugnahme auf die gestalterische Verwendung von Fibonacci-Zahlen finden wir möglicherweise; dies muss als Vermutung formuliert werden) bei Albrecht Dürer (d.J., 1471 - 1528). In Albrecht Dürers Kupferstich ("Meisterstich") Melencholia I besteht (möglicherweise) eine Bezugnahme Dürers auf die Fibonacci-Zahlen, wenn wir die Proportionen des Dürer-Werks insgesamt und im Speziellen, die im Bildwerk enthaltenen Informationen betrachten: hier damit gemeint sind das in Dürers Bildwerk Melencholia I enthaltene sog. "magische Quadrat" und die Gesamtabmessungen des Bildwerks.
Dürers Bildwerk Melencholia I weist (bezugnehmend auf Quelle [gWiki3]) eine Gesamtabmessung von 24,2 cm × 19,1 cm auf (Abmessungen können von Werk zu Werk tendenziell variieren, z.B. aufgrund von verwendeten Papieren für Drucke, sowie von klimatischen Bedingungen (Luftfeuchte), Erhaltungszustand u.a. ggf. stärker variieren (auch geht aus fden Angaben bei Wikipedia zur Abbildung von Dürers Meelncholia I nicht hervor, ob sich die Angabe der Abmessungen auf das Blatt Papier selbst bezieht auf den das Werk gedruckt ist, auf den das Bilkdwerk umgebenden - gestochenen - feinlinigen Rahmen der das Bildwerk einrahmt. Auch sind bei der Analyse von digitalisierten Abbildungen generell das Erfassungsprinzip (Scan oder Abfototgrafie?) sowie eventuelle Formatierungsfehler bei der Digitalisierung zu berücksichtigen. Scannen und Abfotografieren eines historischen Bildwerks können - je nach Größe des Bildwerks, je nach Abstand der Ablichtung, je nach Verzerrungen durch verwendete Objektive und Sensoren etc. sowie durch Bildbearbeitungen und Umformatierungen entstehen (und sich möglicherweise stellenweise unmerkliche einschleichen bzw. aufsummieren). Ein weiterer Faktor für sich potenziell einschleichende Verzerrungen bei der Reporoduktion eines historischen Bildwerks ist die für eine Vervielfältigung verwendete Belichtungstechnik (bei Papierabzügen) und
generell die verwendete Drucktechnik - etwa bei tintenstrahlgedruckten, thermogedruckten oder offsetgedruckten Reproduktionen. Deshalb sollten für die Analyse von historischen Bildwerken (sofern das Nachmessen am Original nicht möglich, bzw. nicht erlaubt ist) nach Möglichkeit stets Vervielfältigungen verwendet werden, bei denen mit der Ablichtung ein Messlineal o.ä. als Referenz erfasst wurde.
Die reinen Hauptabmessungen eines historischen Bildwerks - insbesondere in Reproduktionen, Ablichtungen und generell Vervielfältigungen können potenziell zu Verwechslungsgefahren für die Ermittlung der von Erzeugern ursprünglich verwendeten Proportionen führen.
Somit geben Reproduktionen eines historischen Bildwerks proportionstechnisch und Abmessungstechnisch häufig genug zu geringfügige Auskünfte, um zu möglichst eindeutigen Schlussfolgerungen zu gelangen. Ein Hinzuziehen weiterer Indizien (neben den genannten messtechnischen (z.B. Lineal mit ablichten oder selber nachmessen) in der für etwaige Schlussfolgerungen im Hinblick auf die Beforschung von Proportionen z.B. eines historischen Bildwerks ist deshalb nicht nur sinnvoll, sondern sogar notwendig: solche Indizien können etwa der generelle Bildwerksaufbau (Bildwerksflächenaufteilung, Orientierung von im Bildwerk dargestellten Objekten und Gegenständen - z.B. dargestellte Personen- sowie weitere in einem Bildwerke enthaltene Informationen sein (z.B. symbolhafte Anspielungen oder etwa das Darstellen von Gerätschaften wie Reißschiene und Reißzirkel (wie in Dürers Werk Melencholia I gegeben).
(mehr und spezielleres zu diesem Thema bei nächster Gelegenheit auch an anderer Stelle in diesem Forum, es ist hierfür erforderlich, noch einige Quellen zu sichten um zu eruieren, inwieweit es sich bei von mir in diesem Thema getätigten Annahmen um bisher noch unbekanntes Wissen handeln könnte).
Dürers Magisches Quadrat in Melencholia I
Das besondere an Dürers im Bildwerk Melencholia I enthaltenen magischem Quadrat ist, dass die Summen der im Quadrat befindlichen Zahlen (die von Dürer auf spezielle Art und Weise zueinander arrangiert wurden und damit die logische Zahlenfolge durchbrechen), jeweils die Zahl 34 ergeben. Die Summierung der Zahlen erfolgt dabei in sämtliche möglichen Richtungen, also horizontal, vertikal und diagonal u.a. [gWiki1]. Dabei ist hervorzuheben, dass es sich bei der Zahl 34 um eine Fibonacci-Zahl handelt, die wiederum Bezug auf aus dem magischen Quadrat Dürers ableitbare Zahlenzusammenhänge (als Summen) ermöglicht, die in Kombination mit der vordergründig auftretenden "Hauptzahl" (mit dem Zahlenwert 34 also) dual kombiniert die Herstellung eines Proportionalen Seitenverhältnisses mit starker Nähe zum Prinzip des Goldenen Schnitts ermöglichen (mehr dazu bei nächster Gelegenheit). So ist z.B. im Hinblick auf Dürer´s in Melencholia I enthaltenem magischen Quadrat festzustellen, dass die verdoppelte Kombination der direkt aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen 3 und 5 in der Summe 16 ergibt, also die Quadratzahl, die sich aus 4² ergibt und der Anzahl der Kästchen des magischen Quadrats im Bildwerk entspricht weil = 3 + 3 + 5 + 5 = 16 (um nur ein mögliches interpretatorisches Beispiel zu nennen, das jedoch auch reine Zahlenspielerei sein kann, die Dürer ursprünglich nicht beabsichtigte. Dieser interpretatorische Zusammenhang zeigt jedoch auf, wieviel verschiedenes sich komplex in Dürers Bildwerk hineininterpretieren lässt, weshalb diese Aspekte entsprechend dezidierter Überprüfung und Beurteilung bedürfen ).
Die Hauptproportionen von Dürers Bildwerk Melencholia I
Wie genau die (spekulierte) Bezugnahme Dürers auf das Prinzip des Goldenen Schnitts mit seinem Bildwerk Melencholia I gemeint ist, wird baldmöglich von mir erörtert. Soviel sei nur vorweggesagt: Die Hauptproportion des Bildwerks (also der quasi gestochene "Rahmen" der den Kupferstich umgibt, entspricht in seinen Abmessungen nicht dem Proportionsverhältnis des Goldenen Schnitts von ~1,618 : ~1, sondern eher der Quadratwurzel aus ~1,6 : ~1 = ~1,27 : ~1. Dürers Werk nimmt damit also (so ist es seitens des Verfassers gemeint) "auf den ersten Blick" - sofern überhaupt ursprünglich gewollt - einen indirekten Bezug auf Goldenen Schnitt.
Wesentlich wahrscheinlicher ist nach meiner Einschätzung jedoch davon auszugehen, dass Dürer sein Bildwerk Melencholia I in einem Proportionsverhältnis von 1,33(periode) : 1 geplant hat (was einer Anwendung des pythagoreischen Tripels 3:4:5 entsprechen würde; mehr dazu baldmöglich): diese Bildwerksplanung Dürers ist als sehr wahrscheinlich anzunehmen, weil sich eine sinnvolle Grundeinteilung des Bildwerks Melencholia I (auf die ich ebenfalls bei nächster Gelegenheit eingehen werde) mit einer solchen Bildwerksplanung korrespondiert.
Interessant an den Proportion von Dürers Bildwerk und hervorzuheben ist dabei, dass der Kupferstich Melencholia I damit Proportionen aufweist, die (ggf. nur ungefähr) denen der Chepren-Pyramide auf dem Plateau von Giseh entsprechen. Eine solche Proportion lässt sich gestalterisch alternativ sehr einfach erzeugen, z.B. indem eine Messschnur von 12 gleichlangen Einheiten Länge (als Teilstrecken) im Verhältnis 3:4:5 = 12 Einheiten aufgespannt wird - um nur eins von sicherlich vielen möglichen Beispielen zu nennen. Eine ungefähr ähnliche Proportion wie sie aus den Bauwerksabmessungen der Chepren-Pyramide ableiten lässt, lässt sich jedoch ebenfalls aus den (ungefähren) Bauwerksabmessungen der Cheops-Pyramide ableiten: die - je nach Interpretationsansatz als ggf. ungefähr zu bezeichnenden - Proportionen der Cheops-Pyramide lassen sich auf einfache Art und Weise erzeugen, indem z.B. eine Messschnur von 25 Grundeinheiten (als Teilstrecken) Länge bei 11 : 14 Einheiten abgewinkelt und z.B. als Schnurzirkel verwendet wird. Die Proportionen beider Pyramiden -sowohl die der Chepren- als auch die der als älter einzustufenden Cheops-Pyramide weisen damit Proportionen auf, die eine starke Nähe zueinander aufweisen und eine eindeutige Zuordnung anhand der aktuellen Quellenlage schwierig bis hin zu unmöglich machen (siehe [FIL1]).
Die potenzielle Nähe von Dürers Bildwerk Melencholia I zu den (potenziellen) Proportionen altägyptischer Pyramiden bedeutet jedoch keineswegs, dass Dürers Bildwerk und die Proportionen der Pyramiden von Giseh in irgendeinem mysteriösen (gewollten) Zusammenhang stehen: vielmehr könnte aus dieser interessanten (potenziell evtl. möglichen) Übereinstimmung lediglich sprechen, dass Gestalter der vergangenen Epochen sich eben stets bewährter Proportionen bedient haben um zu gestalten [qed]. Die Proportionen 4 : 3 (potenziell Chepren-Pyramide) sowie 14 : 11 (potenziell Cheops-Pyramide) lassen sich im Zahlenraum der natürlichen Zahlen relativ leicht entdecken und gehören mit zu den häufigsten, überhaupt aus dem Zahlenraum der natürlichen Zahlen ableitbaren - und deshalb auch von Gestaltern der Vergangenheit - naheliegend genutzten Proportionen (siehe [FIL1]).
Um aufzuzeigen, wie wichtig es deshalb ist, in der Proportionsforschung exakt zu differenzieren, zeigt die Tatsache auf, dass sich die Proportion von Dürers Bildwerk (ggf. ungefähr) ebenfalls mit den Proportionen der Mykerinos-Pyramide auf dem Plateau von Giseh in Verbindung bringen lassen (zwischen geometrischen Formen lassen sich häufig annähernde Übereinstimmungen feststellen. Solche - häufig nur scheinbaren Übereinstimmungen - sagen jedoch nicht zwangsläufig und automatisch grundlegendes über tatsächlich angewendete Gestaltungspraktiken zur Erzeugung von Proportionen und ursprünglich für die Gestaltung gewählte tatsächliche Proportionen aus; siehe zum Vergleich z.B. Varianten nebeneinandergestellter Rechteckflächen mit Nähe zum mathematischen Proportionsverhältnis des Goldenen Schnitts; Anhang 3).
Zum äußerst komplexen Gesamtkontext der Erforschung der Proportionen altägyptischer Pyramiden siehe hier [FIL1]: http://www.archaeoforum.de/viewtopic.ph ... 019#p60019
Meiner Ansicht nach ist - mit sehr großer Wanrhscheinlichkeit - davon auszugehen, dass Albrecht Dürer (d.J.) seinen Kupferstich Melencholia I nach der Proportion 4 : 3 (Höhe zu Breite) bei einer vermutlichen (ggf. gröbsten) Grundrastereinteilung von 8 : 6 (Höhe zu Breite) gestaltete: es sprechen sehr viele Indizien dafür. Diese Vermutung bezieht sich auf den gestochenen dünnlinigen Rahmen, der das Bildwerk als rechteckige Bildwerksfläche einfasst, aber auch im Bildwerk enthaltene Aufteilungen (mehr dazu später).
Sofern diese Einschätzung als stimmig angenommen werden kann [qed], wäre Dürers Bildwerk Melencholia I damit nach einer uralten und vermutlich bereits von z.B. den alten Ägyptern genutzten Proportion gestaltet, die alltagspragmatische Anwendung auch heute noch findet, weil sie auf dem Prinzip des pythagoreischen Tripels 3:4:5 beruht. Nach der Proportion 3:4:5 wird bereits seit vielen Jahrhunderten und ggf. Jahrtausenden gestaltet und vermessen. Besonders naheliegend erscheint diese Proportion für Dürers Proportionierung von Melencholia I weil sich diese Proportion - nach meiner Einschätzung - Verfassers - mit sehr großer Wahrscheinlichkeit auch für Dürers Bildwerk "Der Zeichner der Laute (1525)" nachweisen lässt. Nach dem Prinzip der Anwendung des Ockham´schen Rasiermessers ist die Proportion 3:4:5 eine (nach dem Auschlussprinzip für andere Proportionen) für die historische Bildwerksnalayse stark zu präferierende Proportion, siehe zum Vergleich hier:
http://www.archaeoforum.de/viewtopic.php?f=22&t=6828
[FIL2]
Das kaskadische Summenverhalten der Fibonacci-Zahlen im Zahlenraum der natürlichen Zahlen
Zu einer der leicht zu entdeckenden Eigenschaften der Fibonacci-Zahlen gehören die in den folgenden Ausführungen beschriebenen (siehe auch das Thema "Folgeglieder" in [gWiki8, 2.2] (mit ganz besonderem Dank an N.N. für Hilfestellung und Informationen zum Thema und zur Quellenlage).
Die kaskadische Bildung von Fibonnaci-Zahlen >3 als spezifische Summe jeweils zweier spezifischer aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen als Summanden.
Zu den erwähnenswerten Eigenschaften der Fibonacci-Zahlen gehört der folgende arithmetische Zusammenhang: eine beliebig große Fibonacci-Zahl lässt sich jeweils aus Gliedern der Summen zweier spezifisch kleinerer direkt aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen bilden, wobei die Anzahl der spezifischen Glieder stets aus den Zahlenwerten zweier direkt aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen besteht. Die Gesamtanzahl der zu summierenden Glieder muss dabei mindestens drei Glieder betragen.
Beispiele:
bei F(nc) = F(4), F(5), F(6):
Typ a + 2b = 1+2+2 = 5
Typ 2a + 3b = 1+1+2+2+2 = 8
Typ 3a + 5b = 1+1+1+2+2+2+2+2 = 13
Typ 5a + 8b = 1+1+1+1+1+2+2+2+2+2+2+2+2 = 21
usw. usf.
Typ a + 2b = 2+3+3 = 8
Typ 2a + 3b = 2+2+3+3+3 = 13
Typ 3a + 5b =2+2+2+3+3+3+3+3 = 21
Typ 5a + 8b = 2+2+2+2+2+3+3+3+3+3+3+3+3 = 34
usw. usf.
Typ a + 2b = 3+5+5 = 13
Typ 2a + 3b = 3+3+5+5+5 = 21
Typ 3a + 5b =3+3+3+5+5+5+5+5 = 34
Typ 5a + 8b = 3+3+3+3+3+5+5+5+5+5+5+5+5 = 55
usw. usf.
Die Fibonacci-Zahlen als Flächengesetzmäßigkeit
In einer flächenmäßigen Kombination zweier jeweils direkt aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen zum Quadrat (resp. zu quadratischen Fläche) wird die Flächengesetzmäßigkeit der Fibonacci-Zahlen deutlich: jede flächentechnische Kombination zweier direkt aufeinanderfolgender sog. Fibonacci-Quadrate erzeugt zur jeweils nächstgrößeren möglichen Quadratzahl (resp. Quadratfigur) hin, die beide direkt aufeinanderfolgenden Quadratzahlen (resp. Quadratfiguren) einbeschreibt, einen produktmäßigen (und flächentechnisch) betrachteten "Überschuss" (als "Restprodukt") in Größe jeweils zweier spezifisch direkt aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen. Sehr gut deutlich und einfach darstellbar wird dieser Zusammenhang in der Grafik (siehe Anhang 2). Für dies mit der Systematik
der Fibonacci-Spirale quasi beschriebene Entwicklungsprinzip wird hier im Beitrag aus Gründen des hierfür erforderlichen Umfangs kein explizit mathematischer Beweis zitiert. Das relevante Entstehungsprinzip der Fibonacci-Spirale lässt sich in den genannten Quellen gut nachlesen). Für die Reihenentwicklung der hier sog. "Zwei-Quadrate-Konstellation von Fibonacci-Zahlen" kann also geschrieben werden:
{F(n)² + F(n+1)² + ab(n) ∈ ℕ ׀ ab(n) < F(n)^2; ab(n) < F(n+1)^2; ab(n) = F(n+1)² - F(n)²}
dabei gilt dass die Zwei-Quadrate-Konstellation von Quadraten mit der Seitenlänge zweier direkt aufeinanderfolgender Fibonnaci-Quadrate jeweils die Berechnungsmöglickeit für {a,b} enthält mit:
{(a,b) ∈ ℕ ׀ (a,b) : F(n+1)² = a; (a,b) : F(n)² = b}
Aus dem vorbeschriebenen folgt die Entwicklung der spezifischen Zahlenreihen:
bei: [Spalte I] / [Spalte II] / [Spalte III] / [Spalte IV] // [Spalte V]
[a] / / [F(n)²] / [F(n+1)²] // [Zeile] / [Zuordnung, siehe Anhang 2]
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
[1] / [1] / [ 1²] / [2²] // [Zeile I] / [A]
[1] / [2] / [2²] / [3²] // [Zeile I] /
[2] / [3] / [3²] / [5²] // [Zeile I] / [C]
[3] / [5] / [5²] / [8²] // [Zeile I] / [D]
[5] / [8] / [8²] / [13²] // [Zeile I] / [E]
usw. usf.
oder auch:
[1] / [1] / [ 1] / [4] // [Zeile I] / [A]
[1] / [2] / [4] / [9] // [Zeile I] /
[2] / [3] / [9] / [25] // [Zeile I] / [C]
[3] / [5] / [25] / [64] // [Zeile I] / [D]
[5] / [8] / [64] / [169] // [Zeile I] / [E]
usw. usf.
- - -
Bibliographie:
- - -
(Hinweis: Wikipedia-Quellen werden nicht alphabetisch, sondern chronologisch - nach Zeitpunkt des Zugriffs sortiert - aufgelistet. Gleiches gilt für foreninterne Links als hier gelistete Quellen.)
[Bücher]:
Reiss, K.: Mathematik für das Lehramt – Basiswissen Zahlentheorie. 2. Aufl. Verlag Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2005. (45,46)
Walser, H.: Einblicke in die Wissenschaft : Mathematik: Der Goldene Schnitt. 2. erw. Aufl., vdf Hochschulverlag an der ETH, Stuttgart; Leipzig, 1996
[deutsschprachige Wikipedia]:
[gWiki1]:
Bibliografische Angaben für „Fibonacci-Folge“
Seitentitel: Fibonacci-Folge
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[gWiki2]:
Bibliografische Angaben für „Albrecht Dürer“
Seitentitel: Albrecht Dürer
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[gWiki3]:
Bibliografische Angaben für „Melencolia I“
Seitentitel: Melencolia I
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[gWiki4]
Bibliografische Angaben für „Cheops-Pyramide“
Seitentitel: Cheops-Pyramide
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[gWiki5]
Bibliografische Angaben für „Mykerinos-Pyramide“
Seitentitel: Mykerinos-Pyramide
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[gWiki6]
Bibliografische Angaben für „Chephren-Pyramide“
Seitentitel: Chephren-Pyramide
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[wiki7]:
Bibliografische Angaben für „Mona Lisa“
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[gWiki8]:
Bibliografische Angaben für „Goldener Schnitt“
Seitentitel: Goldener Schnitt
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Foreninterne Quellen:
FIL = Foreninterner Link
[FIL1]:
http://www.archaeoforum.de/viewtopic.ph ... 019#p60019
Titel des Beitrags: "Die Proportionen altägyptischer Pyramiden"
Datum und Zeitpunkt des Zugriffs: 05.01.2024, 18:49 MEZ
Verfasser: User "Sculpteur"
[FIL2]:
http://www.archaeoforum.de/viewtopic.php?f=22&t=6828
Titel des Beitrags: "Bildwerksanalyse historischer Kunstwerke"
Datum und Zeitpunkt des Zugriffs: 06.01.2024, 11:18 MEZ
Verfasser: User "Sculpteur"
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